Bon, le contrôle approche et tu n'as jamais entendu parler des lois de Newton en Terminale ? On va te faire un résumé express, à partir de ce que tu sais déjà de la 2e loi de Newton en Première. Accroche-toi, ça va être rapide et efficace.
En Première, tu as rencontré la deuxième loi de Newton sous une forme simple : la force résultante est égale à la masse multipliée par l'accélération. Si on note $F$ la force (en newtons, N), $m$ la masse (en kg) et $a$ l'accélération (en m/s²), on écrit :
$$F = m a$$
Cette loi dit que si tu exerces une force sur un objet, il va accélérer, et plus la masse est grande, plus il faut de force pour la même accélération. Elle s'applique dans un référentiel galiléen (le référentiel terrestre pour un laboratoire).
Maintenant, on travaille avec des forces vectorielles : chaque force a une direction, un sens et une intensité. La relation devient :
$$\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$$
Le symbole $\sum \vec{F}_{ext}$ signifie la somme de toutes les forces extérieures qui agissent sur l'objet.
Pour résoudre un problème, on projette cette équation sur un axe bien choisi. Si l'accélération se fait selon l'axe $x$, on écrit : $\sum F_x = m a_x$. Sur l'axe perpendiculaire $y$, s'il n'y a pas de mouvement vertical, on a $\sum F_y = 0$, ce qui permet souvent de trouver la réaction du support.
Méthode :
1. Définis le système (l'objet).
2. Fais l'inventaire des forces extérieures (poids, réaction, traction, etc.) et représente-les.
3. Choisis un repère avec un axe le long du mouvement.
4. Écris $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$ et projette sur chaque axe.
5. Résous les équations pour trouver l'accélération ou une force inconnue.
Un bloc de masse $m = 2{,}0$ kg subit une force horizontale $F = 8{,}0$ N vers la droite. On néglige les frottements. Bilan : son poids $\vec{P}$ (vers le bas), la réaction normale $\vec{N}$ (vers le haut), la force de traction $\vec{F}$ (horizontale vers la droite).
Axe $x$ (horizontal vers la droite) : $F = m a_x\ \Rightarrow\ a_x = \frac{8{,}0}{2{,}0} = 4{,}0\ \text{m/s}^2$.
Axe $y$ (vertical vers le haut) : $N - P = m a_y = 0$ car le bloc ne décolle pas, donc $N = mg = 2{,}0 \times 9{,}8 = 19{,}6$ N.
Exercice 1 (à trous). Une caisse de masse $m = 500$ kg est poussée par une force horizontale $F = 1500$ N. Il n'y a pas de frottement. On choisit un axe $x$ horizontal dans le sens du mouvement.
Complète :
D'après la 2e loi de Newton projetée sur $x$ : $\underline{\hspace{1.1em}} = m a_x$.
Donc $a_x = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
L'accélération de la caisse est donc de $\underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
D'après la 2e loi de Newton projetée sur $x$ : $F = m a_x$.
Donc $a_x = \frac{F}{m} = \frac{1500}{500} = 3{,}0$ m/s².
L'accélération de la caisse est donc de 3,0 m/s².
Exercice 2 (à trous). Même caisse, mais on prend en compte une force de frottement $f = 300$ N opposée au mouvement. La force motrice reste $F = 1500$ N.
Sur l'axe $x$ : $F - \underline{\hspace{1.1em}} = m a_x$.
Donc $a_x = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
L'accélération est plus $\underline{\hspace{1.1em}}$ (grande / petite) que sans frottement.
Sur l'axe $x$ : $F - f = m a_x$.
Donc $a_x = \frac{F - f}{m} = \frac{1500 - 300}{500} = \frac{1200}{500} = 2{,}4$ m/s².
L'accélération est plus petite que sans frottement.
Exercice 3 (à trous, avec figure). Un skieur de masse $m = 80$ kg est tiré par un bateau avec une force $F = 400$ N inclinée de 30° par rapport à l'horizontale. On ne considère que la composante horizontale de la traction (la neige est sans frottement).
La composante horizontale de $\vec{F}$ est $F_x = F \cos(30°) = 400 \times 0{,}87 \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ N.
Projection sur l'axe $x$ horizontal : $\underline{\hspace{1.1em}} = m a_x$.
Donc $a_x = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
La composante horizontale de $\vec{F}$ est $F_x = 400 \times 0{,}87 \approx 348$ N.
Projection sur l'axe $x$ : $F_x = m a_x$.
Donc $a_x \approx \frac{348}{80} \approx 4{,}35$ m/s² (arrondi à 4,4 m/s²).
Tu te souviens un peu, n'est-ce pas ? On va réactiver tout ça proprement, avec la méthode complète et des exercices pour vérifier que tu maîtrises.
1re loi (principe d'inertie) : Si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors la vitesse est constante (immobile ou mouvement rectiligne uniforme).
2e loi (principe fondamental de la dynamique) : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.
3e loi (actions réciproques) : $\vec{F}_{A \to B} = - \vec{F}_{B \to A}$. Attention, ces deux forces s'appliquent sur deux corps différents, donc elles ne se compensent jamais dans le bilan d'un seul objet.
Erreur classique : projeter sans tenir compte des signes. Si une force s'oppose au sens de l'axe, sa projection est négative.
Un bloc de masse $m = 3{,}0$ kg sur un plan incliné de 30° (sans frottement). Bilan : poids $\vec{P}$ (vertical vers le bas), réaction normale $\vec{N}$ (perpendiculaire au plan). On choisit l'axe $x$ descendant le plan, $y$ perpendiculaire.
Projection de $\vec{P}$ : $P_x = mg \sin\alpha$, $P_y = -mg \cos\alpha$ (car opposé à $y$). $N$ est selon $+y$.
2e loi → $x$ : $mg\sin\alpha = m a$, donc $a = g \sin\alpha = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9$ m/s².
$y$ : $N - mg\cos\alpha = 0$, donc $N = mg\cos\alpha = 3{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}87 \approx 25{,}6$ N.
Exercice 1 (à trous) – Bloc sur table avec frottement. Un palet de hockey de masse $m = 0{,}17$ kg glisse sur la glace sous l'effet d'une force de crosse horizontale $F = 5{,}1$ N. Une force de frottement $f = 0{,}85$ N s'oppose au mouvement.
Choisis un axe $x$ horizontal dans le sens du mouvement. Projette la 2e loi :
$\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = m a$.
Donc $a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
L'accélération du palet est de $\underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
Axe $x$ : $F - f = m a$.
$a = \frac{5{,}1 - 0{,}85}{0{,}17} = \frac{4{,}25}{0{,}17} = 25$ m/s².
Exercice 2 (à trous) – Skieur tracté (suite). Reprenons le skieur de masse 80 kg avec une force de traction $F = 400$ N inclinée de 30°. On va maintenant considérer la force de frottement des skis sur la neige $f = 60$ N horizontale (opposée au mouvement).
Composante horizontale de la traction : $F_x = F \cos 30° = 400 \times 0{,}87 \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ N.
2e loi projetée sur $x$ : $\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = m a$.
Donc $a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$F_x \approx 348$ N.
$F_x - f = m a$ donc $a \approx \frac{348 - 60}{80} = \frac{288}{80} = 3{,}6$ m/s².
Exercice 3 (à trous, plus guidé). Un ascenseur de masse $m = 600$ kg monte avec une accélération $a = 1{,}2$ m/s² vers le haut. On appelle $T$ la tension du câble (force vers le haut) et $P = mg$ le poids. On prend $g = 9{,}8$ N/kg, axe $y$ vers le haut.
Bilan sur l'ascenseur : $\vec{T}$ (vers le haut), $\vec{P}$ (vers le bas).
Projette la 2e loi : $\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = m \underline{\hspace{1.1em}}$.
Calcule $P = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ N.
Déduis $T = mg + m a = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ N.
$T - P = m a$.
$P = 600 \times 9{,}8 = 5880$ N.
$T = 5880 + 600 \times 1{,}2 = 5880 + 720 = 6600$ N.
Cinq exercices quasi identiques pour mécaniser le réflexe de projeter la 2e loi. C'est du gagne-pain : même méthode, des nombres différents.
Mini-exo 1 : Un mobile de masse 2,0 kg subit une force horizontale de 10 N (pas de frottement). Calcule son accélération.
Complète : $a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$a = \frac{10}{2{,}0} = 5{,}0$ m/s².
Mini-exo 2 : Une luge de 8,0 kg est tirée par un chien avec une force de 24 N. On suppose les frottements négligeables. Accélération ?
$a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$a = \frac{24}{8{,}0} = 3{,}0$ m/s².
Mini-exo 3 : Un wagonnet de masse 150 kg est poussé avec une force résultante de 300 N. Trouve $a$.
$a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$a = \frac{300}{150} = 2{,}0$ m/s².
Mini-exo 4 : Une bille d'acier de 0,05 kg est frappée : la force moyenne durant le choc est 20 N. Calcule l'accélération (instantanée).
$a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$a = \frac{20}{0{,}05} = 400$ m/s² (oui, 400 !).
Mini-exo 5 : Une fusée école de 500 g (0,50 kg) subit une poussée de 6,0 N vers le haut. La résistance de l'air est de 1,0 N vers le bas. On néglige le poids dans cet essai (soufflerie verticale). Accélération vers le haut ?
Axe vertical vers le haut : $F_{poussee} - F_{air} = m a$.
$a = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s².
$a = \frac{6{,}0 - 1{,}0}{0{,}50} = \frac{5{,}0}{0{,}50} = 10$ m/s².
Ça y est, on attaque des exercices du niveau contrôle. Ici, pas de trous : tu es autonome. Applique la méthode et rédige tes réponses.
Exercice 1 — Accélération d'une voiture. Une voiture de masse $m = 1\,500$ kg démarre de l'arrêt et atteint $v = 100$ km/h en $t = 8{,}0$ s sur une route horizontale. On suppose le mouvement rectiligne uniformément accéléré et on néglige les frottements.
a) Convertis $v = 100$ km/h en m/s.
b) Calcule l'accélération $a$ supposée constante.
c) Fais le bilan des forces puis applique la 2e loi de Newton pour déterminer la force motrice $F$ et la réaction normale $N$. (Prends $g = 9{,}8$ m/s².)
a) $v = \dfrac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8$ m/s.
b) Si l'on réutilise la valeur arrondie $27{,}8$ m/s dans la division, on obtient $27{,}8 / 8{,}0 = 3{,}475$, qui s'arrondit à $3{,}48$ m/s² — non à $3{,}47$. Pour obtenir $3{,}47$ m/s² sans contradiction, on calcule directement avec la valeur exacte :
$a = \dfrac{\Delta v}{t} = \dfrac{100/3{,}6}{8{,}0} = \dfrac{100}{28{,}8} \approx 3{,}47$ m/s².
c) Bilan des forces appliquées à la voiture : poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), réaction normale $\vec{N}$ (vertical, vers le haut), force motrice $\vec{F}$ (horizontale, sens du mouvement). Les frottements sont négligés.
Axe $x$ horizontal : $\sum F_x = ma$ donne $F = ma = 1\,500 \times 3{,}47 \approx 5\,205$ N.
Axe $y$ vertical : $\sum F_y = 0$ (pas d'accélération verticale) donne $N - mg = 0$, donc $N = mg = 1\,500 \times 9{,}8 = 14\,700$ N.
Exercice 2 — Plan incliné sans frottement. Un bloc de masse $m = 4{,}0$ kg est posé sur un plan incliné d'angle $\alpha = 20°$ par rapport à l'horizontale, sans frottement. Il est lâché sans vitesse initiale et glisse vers le bas.
On donne $\sin 20° \approx 0{,}34$, $\cos 20° \approx 0{,}94$, $g = 9{,}8$ m/s².
a) Fais le bilan des forces appliquées au bloc.
b) Choisis un repère : axe $x$ orienté vers le bas du plan, axe $y$ perpendiculaire au plan vers le haut. Projette $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ sur chaque axe.
c) Calcule l'accélération $a$ et la réaction normale $N$.
a) Forces : poids $\vec{P}$ (vertical vers le bas) et réaction normale $\vec{N}$ (perpendiculaire au plan, vers le haut).
b) Axe $x$ : $P_x = mg\sin\alpha$, pas de force en $x$ autre, donc $mg\sin\alpha = m a$.
Axe $y$ : $N - mg\cos\alpha = 0$.
c) $a = g\sin\alpha = 9{,}8 \times 0{,}34 \approx 3{,}33$ m/s².
$N = mg\cos\alpha = 4{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}94 \approx 36{,}8$ N.
Exercice 3 — Plan incliné avec frottement. On reprend le bloc de l'exercice 2 ($m = 4{,}0$ kg, $\alpha = 20°$). On ajoute une force de frottement solide $f = 7{,}0$ N s'opposant au mouvement (orientée vers le haut du plan).
a) Complète le bilan des forces en ajoutant $\vec{f}$.
b) Projette sur l'axe $x$ (vers le bas du plan) et calcule la nouvelle accélération $a'$.
c) Compare $a'$ à $a$ de l'ex. 2 et interprète.
a) Bilan : poids, réaction normale, frottement $\vec{f}$ vers le haut du plan.
b) Projection $x$ : $mg\sin\alpha - f = m a'$ → $a' = \frac{mg\sin\alpha - f}{m} = \frac{4{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}34 - 7{,}0}{4{,}0} = \frac{13{,}33 - 7{,}0}{4{,}0} \approx 1{,}58$ m/s².
c) $a'$ est plus faible que $a \approx 3{,}33$ m/s² car le frottement s'oppose au mouvement, l'accélération diminue.
Exercice 4 — Machine d'Atwood. Deux masses $m_1 = 2{,}0$ kg et $m_2 = 4{,}0$ kg sont reliées par un fil inextensible passant sur une poulie fixe (poulie et fil de masse négligeable, sans frottement). On lâche le système sans vitesse initiale ; $m_2$ descend et $m_1$ monte.
On note $T$ la tension du fil (identique des deux côtés), $g = 9{,}8$ m/s².
a) Applique la 2e loi de Newton à $m_1$ (axe orienté vers le haut) et à $m_2$ (axe orienté vers le bas).
b) Résous le système de deux équations pour obtenir l'accélération commune $a$.
c) Déduis-en la tension $T$.
d) Vérifie en réappliquant la relation à $m_2$.
a) Pour $m_1$ (monte) : $T - m_1 g = m_1 a$. Pour $m_2$ (descend) : $m_2 g - T = m_2 a$.
b) Addition : $(m_2 - m_1)g = (m_1 + m_2)a$ → $a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g = \frac{4{,}0 - 2{,}0}{6{,}0} \times 9{,}8 = \frac{2{,}0}{6{,}0} \times 9{,}8 \approx 3{,}27$ m/s².
c) $T = m_1(g + a) = 2{,}0 \times (9{,}8 + 3{,}27) \approx 26{,}1$ N.
d) Vérification avec $m_2$ : $T = m_2(g - a) = 4{,}0 \times (9{,}8 - 3{,}27) \approx 26{,}1$ N, cohérent.
Tu maîtrises la mécanique de Newton ? Voyons comment ces lois permettent d'aller plus loin, par exemple en ajoutant des frottements fluides, ce qui mène à des équations différentielles. C'est un avant-goût de ce que tu feras l'année prochaine en prépa ou à l'université.
Dans de nombreux cas réels (chute dans un fluide, mouvement d'un projectile avec résistance de l'air), la force de frottement dépend de la vitesse. Par exemple, pour une goutte d'eau tombant dans l'air, on a une force de frottement fluide $\vec{f} = - \lambda \vec{v}$ (modèle linéaire). La 2e loi donne alors une équation différentielle :
$$m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{P} + \vec{f}$$
En projetant sur un axe vertical descendant $z$ : $m \frac{dv}{dt} = mg - \lambda v$. C'est une équation différentielle du premier ordre que l'on apprend à résoudre en mathématiques. L'année prochaine, tu utiliseras souvent ce type de modélisation.
Exercice 1 — Chute avec frottement fluide (modèle linéaire). Une goutte de brouillard de masse $m = 0{,}10$ g ($= 1{,}0 \times 10^{-4}$ kg) tombe verticalement dans l'air immobile. Outre son poids, elle subit une force de frottement $\vec{f} = -\lambda \vec{v}$, avec $\lambda = 2{,}0 \times 10^{-4}$ N·s/m. On prend $g = 10$ m/s² et on oriente l'axe $z$ vers le bas.
a) Applique la 2e loi de Newton et projette sur $z$ pour établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse $v_z(t)$.
b) Montre que la vitesse limite $v_{\ell}$ vaut $v_{\ell} = \dfrac{mg}{\lambda}$. Calcule-la.
c) Vérifie que la fonction $v(t) = v_{\ell} \left(1 - e^{-\lambda t / m}\right)$ est solution de l'équation différentielle.
d) Que devient la vitesse au bout d'un temps très long ? Commentaire.
a) Bilan : $\vec{P} + \vec{f} = m \vec{a}$. En projection $z$ : $mg - \lambda v_z = m \frac{dv_z}{dt}$, soit $\frac{dv_z}{dt} + \frac{\lambda}{m} v_z = g$.
b) Quand la vitesse limite est atteinte, $\frac{dv_z}{dt} = 0$, donc $0 + \frac{\lambda}{m} v_{\ell} = g$ → $v_{\ell} = \frac{mg}{\lambda} = \frac{1{,}0 \times 10^{-4} \times 10}{2{,}0 \times 10^{-4}} = \frac{10^{-3}}{2 \times 10^{-4}} = 5{,}0$ m/s.
c) On calcule $v' = v_{\ell} \cdot \frac{\lambda}{m} e^{-\lambda t/m}$. En reportant : $v' + \frac{\lambda}{m} v = v_{\ell}\frac{\lambda}{m}e^{-\lambda t/m} + \frac{\lambda}{m} v_{\ell}(1-e^{-\lambda t/m}) = \frac{\lambda}{m} v_{\ell} = \frac{\lambda}{m} \cdot \frac{mg}{\lambda} = g$. Donc solution.
d) Pour $t \to \infty$, $e^{-\lambda t/m} \to 0$, donc $v(t) \to v_{\ell}$. La goutte atteint une vitesse constante (mouvement uniforme) car le frottement compense exactement le poids.
Exercice 2 — Équation du mouvement pour un système avec ressort. Un objet de masse $m$ accroché à un ressort horizontal (sans frottement) subit une force de rappel $F = -k x$ (loi de Hooke). Applique la 2e loi pour obtenir l'équation différentielle $m \frac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0$. Explique pourquoi la solution est une oscillation sinusoïdale (ce que tu verras en détail plus tard).
2e loi : $\sum F_x = -k x = m a_x = m \frac{d^2 x}{dt^2}$, donc $m \frac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0$. C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. En mathématiques, on montre que ses solutions sont de la forme $x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. Cela décrit un mouvement oscillatoire harmonique, très important en physique (pendules, circuits LC, etc.).
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