Effet Doppler — Exercices

Du klaxon de camion au redshift galactique. Corrigé détaillé en fin de fiche.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée

1Sirène d'ambulance/ 5 pts

Une ambulance émet une sirène à $f_s = 440$ Hz et se déplace en ligne droite à $v_s = 72$ km/h. La vitesse du son est $v = 340$ m/s.

a) Convertir $v_s$ en m/s.
b) Calculer la fréquence $f_1$ perçue par un observateur immobile quand l'ambulance s'approche.
c) Calculer la fréquence $f_2$ perçue par ce même observateur quand l'ambulance s'éloigne.
d) Quelle fréquence entend le conducteur de l'ambulance ? Justifier.

2Déterminer la vitesse d'une source/ 4 pts

Un camion klaxonne à $f_s = 320$ Hz. Un piéton immobile perçoit $f_{obs} = 340$ Hz lorsque le camion approche. La vitesse du son est $v = 340$ m/s.

a) À partir de la formule exacte, exprimer $v_s$ en fonction de $f_{obs}$, $f_s$ et $v$.
b) Calculer numériquement $v_s$ en m/s puis en km/h.
c) Vérifier avec l'approximation $\Delta f / f_s \approx v_s / v$. Cette approximation est-elle justifiée ici ?

3Décalage spectral d'une galaxie/ 4 pts

Une galaxie émet la raie du calcium à $\lambda_0 = 600{,}0$ nm. Un observatoire mesure $\lambda_{obs} = 602{,}0$ nm. On donne $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s.

a) S'agit-il d'un redshift ou d'un blueshift ? La galaxie s'approche-t-elle ou s'éloigne-t-elle ?
b) Calculer $\Delta\lambda$, puis en déduire la vitesse radiale $v$ de la galaxie en m/s et en km/s.
c) Vérifier que l'approximation $v \ll c$ est bien justifiée.

4Radar de contrôle routier/ 3 pts

Un radar émet en continu à $f_s = 24{,}0$ GHz. Lorsqu'il détecte un véhicule approchant, le double effet Doppler (aller-retour du signal) conduit à : $\Delta f = \dfrac{2\,v_{cible}}{c}\,f_s$. Le radar mesure $\Delta f = 4{,}80 \times 10^3$ Hz. La limite de vitesse est 90 km/h. On donne $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s.

a) Calculer $v_{cible}$ en m/s puis en km/h.
b) Le conducteur a-t-il dépassé la limite autorisée ?

Corrigé détaillé

1Sirène d'ambulance

a) $v_s = 72 \times \dfrac{1000}{3600} =$ $20 \text{ m/s}$

b) En approche $f_1 = 440 \times \dfrac{340}{340 - 20} = 440 \times \dfrac{340}{320} =$ $467{,}5 \text{ Hz}$

c) En éloignement $f_2 = 440 \times \dfrac{340}{340 + 20} = 440 \times \dfrac{340}{360} \approx$ $415{,}6 \text{ Hz}$

d) Conducteur $\text{Solidaire de la source : aucun mouvement relatif entre le conducteur et la sirène.}$ $f = f_s = 440 \text{ Hz}$

2Déterminer la vitesse d'une source

a) Expression $f_{obs}(v - v_s) = f_s v \Rightarrow v_s = v\left(1 - \dfrac{f_s}{f_{obs}}\right) =$ $v_s = v \cdot \dfrac{f_{obs} - f_s}{f_{obs}}$

b) Calcul $v_s = 340 \times \dfrac{340 - 320}{340} = 340 \times \dfrac{20}{340} = 20 \text{ m/s}$ $v_s = 20 \text{ m/s} = 72 \text{ km/h}$

c) Approximation $v_s \approx v \cdot \dfrac{\Delta f}{f_s} = 340 \times \dfrac{20}{320} \approx 21{,}3 \text{ m/s}$ $\text{Écart de 6\,\% avec la valeur exacte : } v_s/v \approx 6\,\% \text{, approximation peu fiable ici.}$

3Décalage spectral d'une galaxie

a) $\lambda_{obs} \gt \lambda_0 \Rightarrow \text{redshift (décalage vers le rouge).}$ $\text{La galaxie s'éloigne.}$

b) Vitesse radiale $\Delta\lambda = 602{,}0 - 600{,}0 = 2{,}0 \text{ nm} \qquad v = c\,\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3{,}00 \times 10^8 \times \dfrac{2{,}0}{600{,}0} =$ $v = 1{,}00 \times 10^6 \text{ m/s} = 1000 \text{ km/s}$

c) Validité $\dfrac{v}{c} = \dfrac{1{,}00 \times 10^6}{3{,}00 \times 10^8} = 3{,}3 \times 10^{-3} \ll 1$ $\text{Approximation } v \ll c \text{ justifiée.}$

4Radar de contrôle routier

a) Vitesse $v_{cible} = \dfrac{\Delta f \cdot c}{2\,f_s} = \dfrac{4{,}80 \times 10^3 \times 3{,}00 \times 10^8}{2 \times 24{,}0 \times 10^9} = \dfrac{1{,}44 \times 10^{12}}{4{,}80 \times 10^{10}} =$ $v_{cible} = 30 \text{ m/s} = 108 \text{ km/h}$

b) Infraction $108 \text{ km/h} \gt 90 \text{ km/h}$ $\text{Oui, le conducteur dépasse la limite de 18 km/h.}$