Pas de panique, on va reprendre depuis le début avec ce qu'il faut savoir. L'effet Doppler, c'est un phénomène qui explique pourquoi le son d'une sirène est plus aigu quand elle s'approche et plus grave quand elle s'éloigne. On va d'abord parler de ce qu'est une fréquence, puis on verra comment le mouvement change la fréquence perçue. Prêt ? C'est parti !
Prérequis : fréquence, onde sonore, vitesse de propagation, conversion km/h ↔ m/s.
Une onde sonore est une vibration qui se propage dans l'air. On caractérise un son par sa fréquence $f$, mesurée en hertz (Hz) : une fréquence élevée correspond à un son aigu, une fréquence basse à un son grave. La vitesse du son dans l'air, notée $v$, vaut environ $340$ m/s (elle dépend de la température, mais on prendra cette valeur).
En mouvement, la distance entre les fronts d'onde change : si la source s'approche, les fronts sont comprimés → fréquence perçue plus élevée ; si elle s'éloigne, les fronts sont étirés → fréquence plus basse.
Pour une source sonore se déplaçant à la vitesse $v_s$ et émettant une fréquence $f_s$, un observateur immobile perçoit :
En approche (source se rapproche) : $f_{obs} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$
En éloignement (source s'éloigne) : $f_{obs} = f_s \times \dfrac{v}{v + v_s}$
$v$ est la vitesse du son dans l'air (340 m/s). $v_s$ doit être en m/s !
Pour passer d'une vitesse en km/h à des m/s, on divise par 3,6 (car $1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{3,6} \text{ m/s}$). Exemple : $72 \text{ km/h} = 72 \div 3,6 = 20 \text{ m/s}$.
Ah oui, ça revient ! Tu te rappelles la formule avec le $v \pm v_s$ ? On va réactiver tout ça étape par étape pour que ça devienne un réflexe.
Pour utiliser l'effet Doppler :
Après le calcul, demande-toi : le résultat est-il plus grand ou plus petit que $f_s$ ? Si la source approche, la fréquence doit augmenter ; si elle s'éloigne, elle doit diminuer. Si ce n'est pas le cas, tu as sans doute inversé le signe.
On complète la case avec la vitesse de la source : $v_s = 10$ m/s.
$1000 \times \dfrac{340}{340 - 10} = 1000 \times \dfrac{340}{330} \approx 1030$ Hz
Or la fréquence perçue indiquée est 1047 Hz. L'écart est $1047 - 1030 = 17$ Hz, soit environ 1,6 % : c'est trop important pour être attribué à une simple approximation de calcul.
L'égalité $1047 \approx 1000 \times \dfrac{340}{340 - 10}$ n'est pas vérifiée.
Réponse : non $\underline{\hspace{1.1em}}$, ce n'est pas cohérent — une source s'approchant à 10 m/s produirait une fréquence perçue d'environ 1030 Hz, pas 1047 Hz.
C'est l'heure de mécaniser le calcul. Voici cinq mini-exercices identiques, change juste les chiffres. À la fin, tu feras ça les yeux fermés !
Maintenant on passe aux vrais exercices de contrôle. Plus de trous, c'est à toi de jouer ! N'oublie pas de bien rédiger.
1. Sirène d'ambulance (5 pts)
Une ambulance émet une sirène à $f_s = 520$ Hz et se déplace en ligne droite à $v_s = 90$ km/h. La vitesse du son est $v = 340$ m/s.
a) Convertir $v_s$ en m/s.
b) Calculer la fréquence $f_1$ perçue par un observateur immobile quand l'ambulance s'approche.
c) Calculer la fréquence $f_2$ perçue par ce même observateur quand l'ambulance s'éloigne.
d) Quelle fréquence entend le conducteur de l'ambulance ? Justifier.
a) $v_s = 90 \div 3,6 = 25$ m/s.
b) En approche : $f_1 = 520 \times \dfrac{340}{340 - 25} = 520 \times \dfrac{340}{315} \approx 561,3$ Hz.
c) En éloignement : $f_2 = 520 \times \dfrac{340}{340 + 25} = 520 \times \dfrac{340}{365} \approx 484,4$ Hz.
d) Le conducteur est solidaire de la source : aucun mouvement relatif entre lui et la sirène. Il perçoit donc $f_s = 520$ Hz.
2. Déterminer la vitesse d'une source (4 pts)
Un camion klaxonne à $f_s = 300$ Hz. Un piéton immobile perçoit $f_{obs} = 330$ Hz lorsque le camion approche. La vitesse du son est $v = 340$ m/s.
a) À partir de la formule exacte, exprimer $v_s$ en fonction de $f_{obs}$, $f_s$ et $v$.
b) Calculer numériquement $v_s$ en m/s puis en km/h.
c) Vérifier avec l'approximation $\Delta f / f_s \approx v_s / v$. Cette approximation est-elle justifiée ici ?
a) $f_{obs} = f_s \dfrac{v}{v - v_s} \Rightarrow v - v_s = v \dfrac{f_s}{f_{obs}} \Rightarrow v_s = v\,\dfrac{f_{obs} - f_s}{f_{obs}}$.
b) $v_s = 340 \times \dfrac{330 - 300}{330} = \dfrac{10\,200}{330} \approx 30{,}9$ m/s.
Conversion sans arrondi intermédiaire : $v_s = \dfrac{10\,200}{330} \times 3{,}6 = \dfrac{36\,720}{330} \approx 111{,}3$ km/h.
c) Approximation : $v_{s,\text{approx}} \approx v\,\dfrac{\Delta f}{f_s} = 340 \times \dfrac{30}{300} = 34$ m/s.
Écart absolu avec la valeur exacte : $34 - 30{,}9 \approx 3{,}1$ m/s, soit un écart relatif de $\dfrac{3{,}1}{30{,}9} \approx 10{,}0\,\%$.
On peut montrer que cet écart relatif vaut exactement $\dfrac{\Delta f}{f_s} = \dfrac{30}{300} = 10\,\%$ : l'approximation revient en effet à remplacer $f_{obs}$ par $f_s$ au dénominateur de la formule exacte $v_s = v\,\dfrac{\Delta f}{f_{obs}}$, d'où $\dfrac{v_{s,\text{approx}} - v_{s,\text{exact}}}{v_{s,\text{exact}}} = \dfrac{f_{obs}}{f_s} - 1 = \dfrac{\Delta f}{f_s}$.
On vérifie par ailleurs $v_s/v = 30{,}9/340 \approx 9{,}1\,\%$, qui n'est pas petit devant 1. L'approximation n'est donc pas justifiée ici.
3. Décalage spectral d'une galaxie (4 pts)
Une galaxie émet la raie du calcium à $\lambda_0 = 500{,}0$ nm. Un observatoire mesure $\lambda_{obs} = 502{,}0$ nm. On donne $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s.
a) S'agit-il d'un redshift ou d'un blueshift ? La galaxie s'approche-t-elle ou s'éloigne-t-elle ?
b) Calculer $\Delta\lambda$, puis en déduire la vitesse radiale $v$ de la galaxie en m/s et en km/s.
c) Vérifier que l'approximation $v \ll c$ est bien justifiée.
a) $\lambda_{obs} > \lambda_0$, donc c'est un redshift (décalage vers le rouge). La galaxie s'éloigne.
b) $\Delta\lambda = 502,0 - 500,0 = 2,0$ nm. $v = c \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3,00 \times 10^8 \times \dfrac{2,0}{500,0} = 1,20 \times 10^6$ m/s $= 1,20 \times 10^3$ km/s.
c) $v/c = 1,20 \times 10^6 / 3,00 \times 10^8 = 4,00 \times 10^{-3}$, donc $v \ll c$, l'approximation est excellente.
4. Radar de contrôle routier (3 pts)
Un radar émet en continu à $f_s = 24{,}0$ GHz. Lorsqu'il détecte un véhicule approchant, le double effet Doppler (aller-retour du signal) conduit à : $\Delta f = \dfrac{2\,v_{cible}}{c}\,f_s$. Le radar mesure $\Delta f = 4{,}80 \times 10^3$ Hz. La limite de vitesse est 90 km/h. On donne $c = 3{,}00 \times 10^8$ m/s.
a) Calculer $v_{cible}$ en m/s puis en km/h.
b) Le conducteur a-t-il dépassé la limite autorisée ?
a) $v_{cible} = \dfrac{c \, \Delta f}{2 f_s} = \dfrac{3,00 \times 10^8 \times 4,80 \times 10^3}{2 \times 24,0 \times 10^9} = \dfrac{3,00 \times 10^8 \times 4,80 \times 10^3}{48,0 \times 10^9} = \dfrac{3,00 \times 10^8 \times 10^{-6} \times 4,80 \times 10^3}{48,0 \times 10^3} = \dfrac{3,00 \times 4,80}{48,0} \times 10^2 = 30,0$ m/s. En km/h : $30,0 \times 3,6 = 108$ km/h.
b) 108 km/h > 90 km/h, donc le conducteur a dépassé la limite autorisée.
Prêt à aller plus loin ? L'effet Doppler est partout, de la médecine à l'astronomie. On va voir comment mesurer la vitesse du sang avec des ultrasons, et on jette un œil sur l'effet Doppler pour la lumière en relativité. Accroche-toi !
Échographie Doppler : un émetteur envoie des ultrasons qui se réfléchissent sur les globules rouges en mouvement. Le décalage de fréquence à la réception est proportionnel à la vitesse du sang : $\Delta f = \dfrac{2 f_e v \cos\theta}{c}$, où $f_e$ est la fréquence émise, $\theta$ l'angle entre le faisceau et l'écoulement, $c$ la vitesse des ultrasons dans le milieu.
Cas général (source et observateur mobiles) : lorsque les deux se déplacent sur la même droite, la fréquence perçue est $f_{obs} = f_s \dfrac{v \pm v_{obs}}{v \mp v_{src}}$, avec $v_{obs}$ vitesse de l'observateur (positive s'il se rapproche de la source), $v_{src}$ vitesse de la source (positive si elle se rapproche de l'observateur).
1. Doppler sanguin
Un échographe Doppler émet des ultrasons de fréquence $f_e = 5,00$ MHz. Les globules rouges en mouvement réfléchissent ces ondes. Le décalage de fréquence mesuré est $\Delta f = 4,00$ kHz. L'angle entre le faisceau ultrasonore et l'écoulement est $\theta = 60^\circ$. La vitesse des ultrasons dans le sang est $c = 1,50 \times 10^3$ m/s. La formule simplifiée pour un écoulement laminaire est : $\Delta f = \dfrac{2 f_e v \cos\theta}{c}$.
Calcule la vitesse $v$ du sang en m/s.
$\cos 60^\circ = 0,5$. On a $v = \dfrac{\Delta f \cdot c}{2 f_e \cos\theta} = \dfrac{4,00 \times 10^3 \times 1,50 \times 10^3}{2 \times 5,00 \times 10^6 \times 0,5} = \dfrac{6,00 \times 10^6}{5,00 \times 10^6} = 1,20$ m/s.
2. Généralisation : piéton et voiture
Une voiture klaxonne (source de fréquence $f_s = 1000$ Hz) se dirige vers l'est à $v_s = 10$ m/s. Un piéton marche vers l'ouest (donc vers la voiture) à $v_p = 5$ m/s. La vitesse du son est toujours $v = 340$ m/s.
En combinant les deux mouvements, la fréquence perçue est $f_{obs} = f_s \dfrac{v + v_p}{v - v_s}$ (les deux se rapprochent).
a) Calcule $f_{obs}$ dans cette situation.
b) Quelle serait la formule si le piéton s'éloignait de la voiture (il marche vers l'est, même sens que la voiture mais elle le rattrape) ?
a) $f_{obs} = 1000 \times \dfrac{340 + 5}{340 - 10} = 1000 \times \dfrac{345}{330} \approx 1045,5$ Hz.
b) Si le piéton s'éloigne (vitesse $v_p$ dans le même sens que la source), il faut changer le signe de $v_p$ : $f_{obs} = f_s \dfrac{v - v_p}{v - v_s}$ (car il contribue à diminuer la fréquence perçue en s'éloignant).
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous.
Tu bloques encore ? Écris-nous, on t'aide gratuitement : contact@vidyalaya.fr.
Fiche librement réutilisable sous licence CC BY-SA 4.0 — copiez, imprimez, adaptez, en citant Vidyalaya et en conservant la même licence.