Bilan énergétique — Rendement

Les prérequis, en trente secondes

Trois choses que tu connais déjà, et qui suffisent pour tout comprendre ici.

1. L'énergie se mesure en joules (J). Ses multiples usuels : $1\ \text{kJ} = 10^{3}\ \text{J}$, $1\ \text{MJ} = 10^{6}\ \text{J}$.

2. La puissance se mesure en watts (W), et c'est de l'énergie par seconde. D'où la relation à avoir en tête : $E = P \times t$, avec $E$ en joules, $P$ en watts et $t$ en secondes.

3. L'énergie se conserve. Elle ne se crée pas, elle ne disparaît pas : elle change de forme. Un moteur ne « consomme » pas l'énergie électrique, il la transforme — en mouvement, et aussi en chaleur.

Un dernier mot de vocabulaire : un convertisseur, c'est un objet qui transforme une forme d'énergie en une autre. Un moteur, une ampoule, un panneau solaire, une pile : tous des convertisseurs.

L'essentiel et les formules à connaître

Quand un convertisseur fonctionne, l'énergie qu'on lui donne se sépare en deux paquets :

— l'énergie utile $E_{\text{utile}}$ : l'effet qu'on voulait obtenir (le mouvement pour un moteur, la lumière pour une lampe) ;

— l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$ : le reste, dissipé dans l'environnement sous forme de chaleur.

D'où le bilan énergétique, qui n'est rien d'autre que la conservation de l'énergie écrite proprement :

$E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$

Le rendement, noté $\eta$ (la lettre grecque « êta »), répond à la question « quelle fraction de ce que j'ai donné est vraiment utile ? ». C'est une simple division :

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$   et en pourcentage   $\eta_{\%} = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} \times 100$

Si les puissances sont constantes, la même formule marche avec des puissances : $\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}}$.

Deux conséquences immédiates à retenir :

— On a toujours $0 \le \eta \le 1$, c'est-à-dire entre $0\,\%$ et $100\,\%$. On ne récupère jamais plus que ce qu'on a fourni. Si tu trouves $\eta > 1$, tu as inversé la division.

— L'énergie perdue se retrouve avec $E_{\text{perdue}} = (1 - \eta)\,E_{\text{fournie}}$.

Et si plusieurs convertisseurs se suivent, les rendements se multiplient : $\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n$.

Un exemple traité du début à la fin

Énoncé. Un moteur électrique reçoit $E_{\text{fournie}} = 500$ J d'énergie électrique et produit $E_{\text{utile}} = 380$ J d'énergie mécanique. Calculer l'énergie perdue et le rendement.

Étape 1 — l'énergie perdue. On part du bilan $E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$, donc :

$E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}}$

$E_{\text{perdue}} = 500 - 380 = 120$ J

Ces 120 J sont dissipés en chaleur, essentiellement par effet Joule dans les bobinages.

Étape 2 — le rendement. On applique la définition :

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \dfrac{380}{500}$

$\eta = 0{,}76$

Étape 3 — en pourcentage. On multiplie par 100 :

$\eta_{\%} = 0{,}76 \times 100 = 76\,\%$

Vérification rapide. $\eta = 0{,}76$ est bien compris entre 0 et 1 : c'est cohérent. Et $380 + 120 = 500$ : le bilan est bouclé.

Le schéma ci-dessous, appelé diagramme de Sankey, montre la même chose en dessin : la largeur des flèches est proportionnelle à l'énergie transportée.

Conservation de l'énergie et bilan énergétique

Le principe de conservation de l'énergie. L'énergie ne se crée ni ne se détruit : elle se transforme et se transfère. Autrement dit, pour un convertisseur, tout ce qui entre finit par ressortir, sous une forme ou sous une autre.

Les trois grandeurs du bilan.

— $E_{\text{fournie}}$ : l'énergie reçue par le convertisseur, aussi appelée énergie entrante ou absorbée. C'est ce qu'on paie.

— $E_{\text{utile}}$ : l'énergie convertie sous la forme recherchée. Elle dépend de ce qu'on veut faire de l'appareil : pour un moteur c'est l'énergie mécanique, pour une lampe l'énergie lumineuse, pour un radiateur l'énergie thermique.

— $E_{\text{perdue}}$ : l'énergie convertie sous une forme non recherchée, presque toujours de la chaleur dissipée dans l'environnement.

Le bilan énergétique traduit la conservation :

$E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$

Attention à un point de vocabulaire important : les pertes ne sont pas de l'énergie détruite. Elle est bien toujours là, mais sous forme thermique, diluée dans l'air ambiant, et donc inexploitable pour l'usage voulu.

Le diagramme de Sankey est la représentation graphique de ce bilan : chaque flux d'énergie est une flèche dont la largeur est proportionnelle à la valeur de l'énergie. La flèche d'entrée se divise en une flèche utile (qui continue tout droit) et une ou plusieurs flèches de pertes (qui partent sur le côté ou vers le bas). Un coup d'œil suffit alors pour voir où part l'énergie.

Le rendement : définition, deux écritures, propriétés

Définition. Le rendement d'un convertisseur est le quotient de l'énergie utile par l'énergie fournie :

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$

Écriture en puissances. Si les puissances sont constantes et évaluées sur la même durée $t$, alors $E = P \times t$ des deux côtés, et le $t$ se simplifie :

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \dfrac{P_{\text{utile}} \times t}{P_{\text{fournie}} \times t} = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}}$

C'est pratique quand l'énoncé donne des watts plutôt que des joules. Mais la condition compte : puissances constantes, sur la même durée.

Propriété 1 — le rendement n'a pas d'unité. C'est un quotient de deux énergies (ou de deux puissances) : les unités se simplifient. On l'écrit soit comme un nombre décimal ($0{,}76$), soit en pourcentage ($76\,\%$), jamais avec des joules ou des watts derrière.

Propriété 2 — il est compris entre 0 et 1. Puisque $E_{\text{perdue}} \ge 0$, on a $E_{\text{utile}} \le E_{\text{fournie}}$, donc :

$0 \le \eta \le 1$, c'est-à-dire de $0\,\%$ à $100\,\%$

Un rendement supérieur à 1 signifierait qu'on récupère plus d'énergie qu'on n'en fournit : impossible.

Propriété 3 — les pertes se déduisent du rendement. En partant du bilan et en remplaçant $E_{\text{utile}} = \eta\, E_{\text{fournie}}$ :

$E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = E_{\text{fournie}} - \eta\,E_{\text{fournie}}$

$E_{\text{perdue}} = (1 - \eta)\,E_{\text{fournie}}$

Un convertisseur de rendement $0{,}76$ perd donc $1 - 0{,}76 = 0{,}24$, soit $24\,\%$ de ce qu'on lui a donné.

Chaînes de conversion et méthode pas à pas

Chaîne de conversion. Souvent, l'énergie traverse plusieurs convertisseurs à la suite : la sortie utile du premier devient l'entrée du deuxième, et ainsi de suite. Le rendement global est alors le produit des rendements successifs :

$\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n$

Conséquence importante : le rendement global est toujours plus petit que le plus faible des rendements de la chaîne. Multiplier des nombres inférieurs à 1 fait descendre le résultat à chaque étape.

Mini-exemple traité. Une chaîne comporte deux étages, de rendements $\eta_1 = 0{,}90$ et $\eta_2 = 0{,}80$.

$\eta_{\text{global}} = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72$, soit $72\,\%$.

Ce n'est ni la somme ($1{,}70$, impossible), ni la moyenne ($0{,}85$, trop optimiste).

La méthode, à dérouler dans cet ordre.

1. Identifier l'énergie fournie (ce qui entre dans le système) et l'énergie utile (l'effet voulu). C'est l'étape où l'on se trompe le plus : relis l'énoncé pour savoir à quoi sert l'appareil.

2. Vérifier que les deux grandeurs sont dans la même unité (J, kJ ou kWh) et convertir si besoin.

3. Appliquer $\eta = E_{\text{utile}} / E_{\text{fournie}}$, puis multiplier par 100 pour le pourcentage.

4. S'il y a une chaîne de conversion, multiplier les rendements : $\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots$

5. Vérifier que le résultat est bien entre 0 et 1, et que le bilan $E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$ boucle.

Exemple 1 — travailler avec des puissances (une lampe)

Énoncé. Une lampe LED est alimentée sous une puissance électrique constante $P_{\text{fournie}} = 12{,}0$ W. La puissance lumineuse qu'elle rayonne vaut $P_{\text{utile}} = 9{,}0$ W. Calculer son rendement, puis l'énergie perdue au bout de 2,0 heures de fonctionnement.

On repère d'abord qui est qui. Ce qu'on paie, c'est l'électricité : c'est la grandeur fournie. Ce qu'on veut d'une lampe, c'est de la lumière : c'est la grandeur utile. Aucune ambiguïté ici.

Les puissances sont constantes — l'énoncé le dit — donc on a le droit d'utiliser directement la version « puissances » de la formule.

$\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}} = \dfrac{9{,}0}{12{,}0}$

$\eta = 0{,}75$, soit $75\,\%$

Contrôle de vraisemblance : $0{,}75$ est bien entre 0 et 1. On continue.

Maintenant l'énergie perdue. Deux chemins possibles, on les fait tous les deux pour se rassurer.

Chemin A — par la puissance perdue. $P_{\text{perdue}} = P_{\text{fournie}} - P_{\text{utile}} = 12{,}0 - 9{,}0 = 3{,}0$ W.

On convertit la durée en secondes, sinon la formule $E = P \times t$ ne donne pas des joules : $t = 2{,}0 \times 3600 = 7200$ s.

$E_{\text{perdue}} = P_{\text{perdue}} \times t = 3{,}0 \times 7200$

$E_{\text{perdue}} = 21\,600$ J, soit $2{,}16 \times 10^{4}$ J ou encore $21{,}6$ kJ.

Chemin B — par la formule des pertes. On calcule d'abord l'énergie fournie : $E_{\text{fournie}} = 12{,}0 \times 7200 = 86\,400$ J.

$E_{\text{perdue}} = (1 - \eta)\,E_{\text{fournie}} = (1 - 0{,}75) \times 86\,400 = 0{,}25 \times 86\,400$

$E_{\text{perdue}} = 21\,600$ J

Les deux chemins donnent la même valeur : c'est le meilleur signe que le raisonnement tient. Retiens le réflexe de la conversion des heures en secondes, c'est là que se perdent la moitié des points.

Exemple 2 — une chaîne de conversion (installation solaire)

Énoncé. Une installation solaire comporte trois étages : un panneau photovoltaïque de rendement $\eta_1 = 0{,}20$, un onduleur de rendement $\eta_2 = 0{,}95$ et une batterie de rendement $\eta_3 = 0{,}90$. Le soleil apporte au panneau une énergie $E_{\text{fournie}} = 5{,}0$ kWh sur la journée. Calculer le rendement global, l'énergie finalement stockée et l'énergie perdue.

On identifie la structure. Les trois convertisseurs sont en série : la sortie de l'un alimente le suivant. C'est donc une chaîne, et les rendements se multiplient.

$\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \eta_3 = 0{,}20 \times 0{,}95 \times 0{,}90$

On calcule pas à pas pour ne pas se tromper : $0{,}20 \times 0{,}95 = 0{,}19$, puis $0{,}19 \times 0{,}90 = 0{,}171$.

$\eta_{\text{global}} = 0{,}171$, soit environ $17{,}1\,\%$

Regarde bien ce résultat : il est plus petit que le plus faible des trois rendements ($0{,}20$). C'est toujours le cas, et ça te sert de contrôle.

L'énergie stockée se déduit de la définition du rendement, réécrite dans l'autre sens :

$E_{\text{utile}} = \eta_{\text{global}} \times E_{\text{fournie}} = 0{,}171 \times 5{,}0$

$E_{\text{utile}} = 0{,}855$ kWh, soit environ $0{,}86$ kWh.

Ici les deux grandeurs sont en kWh, donc pas de conversion : on répond en kWh, c'est légitime.

L'énergie perdue sur toute la chaîne :

$E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 5{,}0 - 0{,}855 = 4{,}145$ kWh, soit environ $4{,}1$ kWh.

On peut aussi l'obtenir directement : $E_{\text{perdue}} = (1 - 0{,}171) \times 5{,}0 = 0{,}829 \times 5{,}0 = 4{,}145$ kWh. Même résultat, comme prévu.

Erreur à ne surtout pas commettre ici : additionner les rendements ($0{,}20 + 0{,}95 + 0{,}90 = 2{,}05$) ou en faire la moyenne ($0{,}68$). Le premier dépasse 1, donc il est physiquement absurde ; le second est faux aussi. Le rendement d'une chaîne est un produit.

Exemple 3 — remonter la formule à l'envers (moteur thermique)

Énoncé. Un moteur thermique a un rendement de $35\,\%$. On veut qu'il fournisse une énergie mécanique utile de $2{,}1$ MJ. Quelle énergie doit-on lui fournir sous forme de carburant ? Quelle énergie sera dissipée en chaleur ?

Ici l'inconnue a changé de place : on connaît $\eta$ et $E_{\text{utile}}$, on cherche $E_{\text{fournie}}$. On ne réapprend pas de formule, on isole l'inconnue dans celle qu'on a.

Étape 1 — convertir le pourcentage. Un rendement s'utilise en nombre décimal dans les calculs :

$\eta = \dfrac{35}{100} = 0{,}35$

Étape 2 — isoler $E_{\text{fournie}}$. On part de la définition :

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$

On multiplie les deux membres par $E_{\text{fournie}}$ : $\eta \times E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}}$.

Puis on divise les deux membres par $\eta$ :

$E_{\text{fournie}} = \dfrac{E_{\text{utile}}}{\eta}$

Étape 3 — application numérique.

$E_{\text{fournie}} = \dfrac{2{,}1}{0{,}35} = 6{,}0$ MJ

Contrôle immédiat : l'énergie fournie doit être plus grande que l'énergie utile. $6{,}0 > 2{,}1$ : c'est bon. Si tu avais trouvé une valeur plus petite, c'est que tu aurais multiplié par $\eta$ au lieu de diviser.

Étape 4 — l'énergie dissipée. Par le bilan :

$E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 6{,}0 - 2{,}1 = 3{,}9$ MJ

Ou directement : $E_{\text{perdue}} = (1 - 0{,}35) \times 6{,}0 = 0{,}65 \times 6{,}0 = 3{,}9$ MJ.

Lecture physique. Près des deux tiers de l'énergie du carburant partent en chaleur, dans les gaz d'échappement et le circuit de refroidissement. Cette énergie n'a pas disparu : elle est simplement passée dans l'environnement, sous une forme dont on ne peut plus rien tirer pour faire avancer le véhicule.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

Subtilité 1 — « utile » dépend de l'usage, pas de l'appareil. Pour un moteur, la chaleur est une perte. Pour un radiateur électrique, la chaleur est justement l'effet recherché : c'est elle l'énergie utile. Avant tout calcul, demande-toi : à quoi sert cet appareil ? La réponse détermine ce qu'on met au numérateur.

Subtilité 2 — l'homogénéité des unités. $\eta$ n'a de sens que si numérateur et dénominateur sont dans la même unité. Les conversions utiles :

$1\ \text{kJ} = 10^{3}\ \text{J}$ ; $1\ \text{MJ} = 10^{6}\ \text{J}$ ; $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}$ ; $1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$.

Le kWh vient de $E = P \times t$ : une puissance de $1$ kW pendant $1$ h, soit $1000 \times 3600 = 3{,}6 \times 10^{6}$ J.

Subtilité 3 — la version « puissances » a une condition. $\eta = P_{\text{utile}} / P_{\text{fournie}}$ n'est valable que si les puissances sont constantes et mesurées sur la même durée. Si une puissance varie dans le temps, il faut revenir aux énergies.

Subtilité 4 — le rendement d'une chaîne est un produit. Jamais une somme, jamais une moyenne. Et il est toujours inférieur au plus petit des rendements de la chaîne : c'est un contrôle gratuit sur ta copie.

Ce que le correcteur attend, point par point.

— La formule littérale écrite avant l'application numérique : $\eta = E_{\text{utile}} / E_{\text{fournie}}$, puis les nombres. Une valeur seule, sans formule, perd des points même si elle est juste.

— Les unités à chaque ligne, sauf pour $\eta$ qui n'en a pas.

— Une identification explicite de l'énergie utile et de l'énergie fournie, en une phrase (« l'énergie utile est l'énergie thermique reçue par l'eau »). C'est souvent un point à part entière.

— Un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données : si l'énoncé donne $9{,}0$ et $12{,}0$, réponds $0{,}75$ et non $0{,}7500000$.

— Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, et si possible un mot de commentaire physique (« environ $30\,\%$ de l'énergie est dissipée par les parois »).

Problème type 1 — la bouilloire, entièrement résolu

Énoncé. Une bouilloire de puissance électrique $P = 2000$ W porte $m = 1{,}5$ kg d'eau de $20\,{}^{\circ}\text{C}$ à $100\,{}^{\circ}\text{C}$ en $6{,}0$ minutes. On donne la capacité thermique massique de l'eau : $c = 4185$ $\text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$. Déterminer le rendement de la bouilloire, puis l'énergie dissipée.

Étape 0 — identifier les deux énergies. On paie de l'électricité, on veut chauffer de l'eau. Donc : énergie fournie = énergie électrique consommée ; énergie utile = énergie thermique effectivement reçue par l'eau. Écris cette phrase sur ta copie, elle vaut un point.

Étape 1 — l'énergie fournie. La puissance est constante, on utilise $E = P \times t$ avec $t$ en secondes :

$t = 6{,}0 \times 60 = 360$ s

$E_{\text{fournie}} = P \times t = 2000 \times 360$

$E_{\text{fournie}} = 720\,000\ \text{J} = 7{,}20 \times 10^{5}$ J, soit $720$ kJ.

Étape 2 — l'énergie utile. C'est l'énergie thermique absorbée par l'eau, donnée par $Q = m\,c\,\Delta\theta$ :

$\Delta\theta = 100 - 20 = 80\ {}^{\circ}\text{C}$ (un écart de $80\,{}^{\circ}\text{C}$ vaut un écart de $80$ K, donc l'unité de $c$ est cohérente)

$E_{\text{utile}} = m \times c \times \Delta\theta = 1{,}5 \times 4185 \times 80$

$1{,}5 \times 4185 = 6277{,}5$, puis $6277{,}5 \times 80 = 502\,200$

$E_{\text{utile}} = 502\,200\ \text{J} \approx 5{,}0 \times 10^{5}$ J, soit environ $502$ kJ.

Étape 3 — le rendement. Les deux énergies sont en joules : on peut diviser.

$\eta = \dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \dfrac{502\,200}{720\,000}$

$\eta \approx 0{,}697 \approx 0{,}70$, soit environ $70\,\%$

Étape 4 — l'énergie dissipée.

$E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 720\,000 - 502\,200 = 217\,800$ J

$E_{\text{perdue}} \approx 2{,}2 \times 10^{5}$ J, soit environ $218$ kJ.

Conclusion rédigée. Le rendement de la bouilloire vaut environ $70\,\%$ : près de $30\,\%$ de l'énergie électrique, soit environ $218$ kJ, sont dissipés dans l'environnement — par les parois de l'appareil, la vapeur qui s'échappe et le chauffage du support.

Contrôles à faire avant de rendre : $\eta < 1$ (oui) ; $502\,200 + 217\,800 = 720\,000$, le bilan boucle (oui) ; les chiffres significatifs sont cohérents avec les données à deux chiffres.

Problème type 2 — chaîne de production d'électricité, et les pièges

Énoncé. Dans une centrale hydroélectrique, l'eau fournit $E_{\text{fournie}} = 100$ MJ d'énergie mécanique à une turbine de rendement $\eta_1 = 0{,}90$. La turbine entraîne un alternateur de rendement $\eta_2 = 0{,}95$, et l'électricité produite est transportée par une ligne de rendement $\eta_3 = 0{,}92$. Calculer le rendement global, l'énergie livrée au consommateur, et l'énergie perdue par la turbine seule.

Étape 1 — le rendement global. Les trois éléments sont en série, donc on multiplie :

$\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \eta_3 = 0{,}90 \times 0{,}95 \times 0{,}92$

$0{,}90 \times 0{,}95 = 0{,}855$, puis $0{,}855 \times 0{,}92 = 0{,}7866$

$\eta_{\text{global}} \approx 0{,}79$, soit environ $79\,\%$

Étape 2 — l'énergie livrée.

$E_{\text{utile}} = \eta_{\text{global}} \times E_{\text{fournie}} = 0{,}7866 \times 100$

$E_{\text{utile}} = 78{,}66\ \text{MJ} \approx 79$ MJ

Étape 3 — les pertes de la turbine seule. Attention, c'est la question qui piège : on ne demande pas les pertes totales, mais celles du premier étage. La turbine reçoit les $100$ MJ, donc :

$E_{\text{perdue, turbine}} = (1 - \eta_1) \times 100 = (1 - 0{,}90) \times 100 = 0{,}10 \times 100$

$E_{\text{perdue, turbine}} = 10$ MJ

Et à sa sortie, elle transmet $0{,}90 \times 100 = 90$ MJ à l'alternateur : c'est cette valeur, et pas $100$ MJ, qui sert d'entrée à l'étage suivant.

Vérification complète du bilan. Alternateur : il reçoit $90$ MJ et en perd $(1 - 0{,}95) \times 90 = 4{,}5$ MJ, il en transmet $85{,}5$ MJ. Ligne : elle reçoit $85{,}5$ MJ et en perd $(1 - 0{,}92) \times 85{,}5 = 6{,}84$ MJ, elle livre $78{,}66$ MJ. Total des pertes : $10 + 4{,}5 + 6{,}84 = 21{,}34$ MJ, et $78{,}66 + 21{,}34 = 100$ MJ. Le bilan boucle exactement.

Les pièges classiques, à connaître par cœur.

— $\eta > 1$ est physiquement impossible. Si tu l'obtiens, tu as inversé $E_{\text{utile}}$ et $E_{\text{fournie}}$ dans la division.

— Additionner ou moyenner les rendements d'une chaîne. C'est un produit, toujours.

— Croire que les pertes détruisent l'énergie. Elles la convertissent en chaleur ; le bilan global reste conservé. Une copie qui écrit « l'énergie disparaît » perd le point de raisonnement.

— Mélanger les unités : diviser des kWh par des joules, ou oublier de convertir les minutes en secondes avant $E = P \times t$.

— Réutiliser l'énergie d'entrée initiale pour calculer les pertes d'un étage intermédiaire, alors que cet étage ne reçoit que ce que le précédent lui a transmis.

Pourquoi les rendements se multiplient : la démonstration

La formule $\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2$ est souvent admise en cours. Elle se démontre en trois lignes, et la comprendre évite définitivement l'erreur de la somme.

Considérons deux convertisseurs en série. Le premier reçoit $E_0$ et transmet au second son énergie utile $E_1$. Le second reçoit donc $E_1$ et produit $E_2$, l'énergie finalement exploitée.

Par définition du rendement de chacun :

$\eta_1 = \dfrac{E_1}{E_0}$  donc  $E_1 = \eta_1 E_0$

$\eta_2 = \dfrac{E_2}{E_1}$  donc  $E_2 = \eta_2 E_1$

On substitue la première égalité dans la seconde :

$E_2 = \eta_2 \times (\eta_1 E_0) = (\eta_1 \eta_2)\,E_0$

Or le rendement global de l'ensemble est, par définition, $\eta_{\text{global}} = \dfrac{E_2}{E_0}$. Donc :

$\eta_{\text{global}} = \dfrac{(\eta_1 \eta_2) E_0}{E_0} = \eta_1 \times \eta_2$

Le raisonnement se prolonge de proche en proche à $n$ convertisseurs, ce qui donne $\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n$. C'est une récurrence, exactement le type de démonstration que tu manipules en mathématiques.

On en tire aussi la propriété qu'on utilisait comme contrôle : chaque $\eta_i$ étant inférieur ou égal à 1, multiplier par $\eta_i$ ne peut que faire diminuer le résultat. D'où $\eta_{\text{global}} \le \min(\eta_1, \ldots, \eta_n)$.

D'où viennent vraiment les pertes : les deux principes

Le premier principe, c'est ce que tu viens de faire. En thermodynamique, on l'écrit $\Delta U = W + Q$ : la variation d'énergie interne d'un système est la somme du travail et du transfert thermique reçus. Ton bilan $E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$ en est une écriture simplifiée. Le premier principe dit que l'énergie se conserve — il ne dit rien sur ce qu'on peut en faire.

Le second principe, lui, dit ce qui est possible. Toutes les formes d'énergie ne se valent pas. L'énergie mécanique ou électrique est entièrement convertible en chaleur ; l'inverse est faux. Une fois l'énergie dégradée en agitation thermique désordonnée, on ne peut plus la récupérer intégralement. C'est la notion d'entropie, au programme des études supérieures.

La conséquence spectaculaire : la limite de Carnot. Pour une machine thermique fonctionnant entre une source chaude à la température $T_c$ et une source froide à $T_f$ (températures en kelvins), le rendement ne peut jamais dépasser :

$\eta_{\max} = 1 - \dfrac{T_f}{T_c}$

Prends un moteur dont les gaz atteignent $T_c = 900$ K, rejetant dans l'air à $T_f = 300$ K : $\eta_{\max} = 1 - 300/900 = 1 - 0{,}333 = 0{,}667$, soit environ $67\,\%$. Et c'est une limite théorique et inatteignable : les frottements et les échanges réels font descendre bien plus bas. Voilà pourquoi le moteur de l'exemple 3 plafonnait à $35\,\%$ — ce n'est pas un défaut de fabrication, c'est une loi de la nature.

À l'inverse, un convertisseur électrique n'est pas soumis à cette limite : un transformateur ou un moteur électrique bien conçu peut dépasser $95\,\%$, parce qu'il ne passe pas par une étape thermique obligatoire.

Ce que tu retrouveras ailleurs, et l'an prochain

Le lien avec l'électricité. Les pertes d'un appareil électrique sont surtout dues à l'effet Joule : un conducteur de résistance $R$ parcouru par un courant $I$ dissipe une puissance $P = R I^{2}$. C'est ce terme qu'on retrouve dans les pertes de la ligne haute tension du problème 2 — et c'est précisément pour le réduire qu'on transporte l'électricité sous très haute tension, donc à faible intensité.

Le lien avec la mécanique. Le rendement d'un dispositif mécanique se calcule de la même façon, avec des travaux : $\eta = W_{\text{utile}} / W_{\text{fourni}}$. Les pertes viennent alors des forces de frottement, dont le travail est toujours résistant, c'est-à-dire négatif.

Un faux ami à éviter. En chimie, on parle aussi de « rendement » pour une synthèse : c'est le quotient de la quantité de produit réellement obtenue par la quantité maximale attendue. La logique est la même (obtenu sur attendu), mais les grandeurs sont des quantités de matière ou des masses, pas des énergies. Ne mélange pas les deux dans une copie.

Un cas qui surprend : la pompe à chaleur. On lui associe un coefficient de performance, le COP, défini comme le quotient de l'énergie thermique délivrée par l'énergie électrique consommée. Et ce COP vaut couramment 3 ou 4 — donc « plus de 1 ». Contradiction avec tout ce qu'on vient de dire ? Non : la pompe à chaleur ne crée pas d'énergie, elle en déplace. Elle prélève de la chaleur à l'extérieur et la transfère à l'intérieur, l'électricité ne servant qu'à actionner ce transfert. Le bilan énergétique reste parfaitement conservé, mais comme le numérateur compte une énergie qui n'était pas dans le dénominateur, le rapport peut dépasser 1. C'est pour cette raison qu'on l'appelle un coefficient de performance et non un rendement.

L'an prochain. En études supérieures, tu formaliseras tout cela : premier et second principes, entropie, cycles thermodynamiques (Carnot, Otto, Diesel), diagrammes de Sankey appliqués à des installations complètes. Le bilan énergétique que tu poses aujourd'hui en deux lignes est le point de départ de toute cette construction — et il ne changera jamais de forme.