Premier principe de la thermodynamique

Énergie interne, travail et chaleur : le bilan énergétique de tout système thermodynamique.

1 L'idée

Le premier principe de la thermodynamique est un principe de conservation de l'énergie. Il énonce que la variation d'énergie interne $\Delta U$ d'un système est égale à la somme du travail $W$ et de la chaleur $Q$ qu'il reçoit de l'extérieur.

L'énergie interne $U$ est une fonction d'état : elle ne dépend que des variables d'état (température, pression, volume), non du chemin suivi. Pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de la température $T$.

2 Relations fondamentales

Premier principe

$\Delta U = W + Q$

Travail des forces de pression

$W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V$

Enthalpie

$H = U + PV$

Transformation isobare

$\Delta H = Q_P \quad (P = \text{cst})$

Gaz parfait — énergie interne

$\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T$

Relation de Mayer

$C_{P,m} - C_{V,m} = R$

3 Transformations particulières

Isochore ($\Delta V = 0$)

$W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V = 0$ : aucun travail échangé.

Le premier principe se réduit à $\Delta U = Q$.

Isobare ($P = \text{cst}$)

$W = -P\,\Delta V = -n\,R\,\Delta T$ (gaz parfait).

$\Delta H = \Delta U + P\,\Delta V = (W+Q) - W = Q$, donc $\Delta H = Q_P$.

Adiabatique ($Q = 0$)

Aucun échange thermique avec l'extérieur.

$\Delta U = W$ : la variation d'énergie interne est due au seul travail.

Conventions de signe (système = le gaz)

$W \gt 0$ : travail reçu par le gaz (compression, $\Delta V \lt 0$).
$W \lt 0$ : travail fourni par le gaz (détente, $\Delta V \gt 0$).
$Q \gt 0$ : chaleur reçue par le gaz (il se réchauffe).
$Q \lt 0$ : chaleur cédée par le gaz (il se refroidit).

Méthode — appliquer le premier principe

Identifier la transformation : isochore, isobare, adiabatique, quelconque.
Calculer $W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V$ ($W = 0$ si isochore ; $W = -n\,R\,\Delta T$ si isobare avec gaz parfait).
Calculer $\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T$ (gaz parfait) ou utiliser la donnée du problème.
En déduire $Q = \Delta U - W$ et vérifier la cohérence du signe.
Si transformation isobare, vérifier $\Delta H = n\,C_{P,m}\,\Delta T = Q_P$.

Erreurs fréquentes

$W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V$ : le signe moins est indispensable. Lors d'une détente ($\Delta V \gt 0$), on obtient $W \lt 0$.
$\Delta H = Q_P$ uniquement à pression constante ; en dehors de ce cas, utiliser $\Delta U = W + Q$.
Pour un gaz parfait, $\Delta U$ et $\Delta H$ ne dépendent que de $\Delta T$ : ils sont identiques quel que soit le chemin entre deux états de même température.
$C_{P,m} \neq C_{V,m}$ : toujours $C_{P,m} \gt C_{V,m}$ (relation de Mayer : $C_{P,m} = C_{V,m} + R$).