Transferts thermiques, flux thermique

On applique la formule de la résistance thermique de conduction :

$R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} = \dfrac{0{,}25}{1{,}0 \times 12} = \dfrac{0{,}25}{12} \approx 0{,}0208$ K/W

Pour le flux thermique, afin d'éviter une erreur d'arrondi, on part de l'expression exacte plutôt que de la valeur arrondie de $R_{th}$ :

$\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}} = \dfrac{\Delta T \cdot \lambda \cdot S}{e} = \dfrac{18 \times 1{,}0 \times 12}{0{,}25} = \dfrac{216}{0{,}25} = \mathbf{864}$ W

Attention : si tu calcules $\Phi = 18 / 0{,}0208$, tu obtiens $\approx 865$ W à cause de l'arrondi intermédiaire. La valeur exacte est 864 W. En physique, il est conseillé de ne substituer les valeurs arrondies qu'au dernier calcul, ou de conserver la fraction exacte $R_{th} = 0{,}25/12$ dans l'étape suivante.

1. Résistances thermiques de chaque couche

La formule est $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S}$.

$R_{th,1} = \dfrac{0{,}15}{1{,}0 \times 15} = 0{,}010$ K/W

$R_{th,2} = \dfrac{0{,}08}{0{,}035 \times 15} = \dfrac{0{,}08}{0{,}525} \approx 0{,}1524$ K/W

$R_{th,3} = \dfrac{0{,}02}{0{,}25 \times 15} = \dfrac{0{,}02}{3{,}75} \approx 5{,}33 \times 10^{-3}$ K/W

2. Résistance totale et flux thermique

Les couches étant en série : $R_{\text{tot}} = R_{th,1} + R_{th,2} + R_{th,3}$.

$R_{\text{tot}} = 0{,}010 + 0{,}1524 + 0{,}00533 \approx 0{,}1677$ K/W $\approx 0{,}168$ K/W

Remarque : arrondir trop tôt les résistances intermédiaires fait dériver la somme vers 0,167 K/W au lieu de 0,168 K/W ; il faut conserver au moins quatre chiffres significatifs avant de sommer.

$\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} = \dfrac{22}{0{,}1677} \approx 131$ W

3. Énergie perdue en 12 heures

$\Delta t = 12 \times 3\,600 = 43\,200$ s

$Q = \Phi \times \Delta t = 131 \times 43\,200 \approx 5{,}66 \times 10^6$ J

Conversion en kWh : $Q = \dfrac{5{,}66 \times 10^6}{3{,}6 \times 10^6} \approx 1{,}57$ kWh

Question 1

$T_m = \dfrac{T_c + T_f}{2} = \dfrac{30 + 0}{2} = 15\,\text{°C}$

$\lambda(T_m) = 0{,}040 \times (1 + 0{,}002 \times 15) = 0{,}040 \times 1{,}03 = 0{,}0412\,\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}$

$R_{th} = \dfrac{e}{\lambda(T_m)\cdot S} = \dfrac{0{,}10}{0{,}0412 \times 10} \approx 0{,}243\,\text{K/W}$

$\Phi = \dfrac{T_c - T_f}{R_{th}} = \dfrac{30}{0{,}243} \approx 123\,\text{W}$

Question 2 — Dérivation rigoureuse

En régime permanent pour une paroi plane, le flux $\Phi$ est constant en tout point de la paroi. La loi de Fourier locale s'écrit :

$\Phi = -\lambda(T)\,S\,\dfrac{dT}{dx} = -\lambda_0(1+aT)\,S\,\dfrac{dT}{dx}$

On sépare les variables :

$\Phi\,dx = -\lambda_0(1+aT)\,S\,dT$

On intègre de $x = 0$ (où $T = T_c$) à $x = e$ (où $T = T_f$) :

$\Phi \cdot e = -\lambda_0 S\int_{T_c}^{T_f}(1+aT)\,dT = \lambda_0 S\int_{T_f}^{T_c}(1+aT)\,dT$

$= \lambda_0 S\left[T + \dfrac{a}{2}T^2\right]_{T_f}^{T_c} = \lambda_0 S\left[(T_c - T_f) + \dfrac{a}{2}(T_c^2 - T_f^2)\right]$

En factorisant $(T_c - T_f)$ :

$\Phi \cdot e = \lambda_0 S\,(T_c - T_f)\left[1 + \dfrac{a(T_c + T_f)}{2}\right]$

La résistance thermique est donc :

$R_{th} = \dfrac{T_c - T_f}{\Phi} = \dfrac{e}{\lambda_0\,S\!\left[1 + \dfrac{a(T_c + T_f)}{2}\right]}$

Remarque importante : la formule logarithmique proposée dans l'énoncé ne découle pas de cette intégration. L'intégration directe de la loi de Fourier avec $\lambda(T) = \lambda_0(1+aT)$ donne une expression polynomiale faisant intervenir la moyenne arithmétique de $\lambda$ sur $[T_f, T_c]$, soit $\bar{\lambda} = \lambda_0\!\left[1+\tfrac{a(T_c+T_f)}{2}\right]$. La formule à logarithmes correspond à la moyenne logarithmique de $\lambda(T_c)$ et $\lambda(T_f)$, notion qui apparaît naturellement en géométrie cylindrique (paroi tubulaire) mais pas pour une paroi plane. Les deux expressions sont numériquement très proches car elles coïncident au premier ordre en $a\,\Delta T$, mais elles ne sont pas mathématiquement équivalentes.

Question 3

En appliquant la formule rigoureuse établie en question 2 :

$R_{th,\text{corr}} = \dfrac{e}{\lambda_0\,S\!\left[1 + \dfrac{a(T_c+T_f)}{2}\right]} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 10 \times \left(1 + \dfrac{0{,}002 \times 30}{2}\right)} = \dfrac{0{,}10}{0{,}40 \times 1{,}03} = \dfrac{0{,}10}{0{,}412} \approx 0{,}243\,\text{K/W}$

$\Phi_\text{corr} = \dfrac{30}{0{,}243} \approx 123\,\text{W}$

Comparaison : on retrouve exactement le résultat de la question 1. Ce n'est pas une coïncidence : pour une fonction $\lambda(T)$ linéaire, la valeur en $T_m = (T_c+T_f)/2$ est rigoureusement égale à la moyenne de $\lambda$ sur l'intervalle $[T_f, T_c]$ — c'est une propriété des fonctions affines. L'évaluation à la température moyenne n'est donc pas une approximation ici : c'est le résultat exact.

Conclusion : pour une variation linéaire de $\lambda$, l'approximation à $T_m$ est rigoureusement exacte et aucune correction n'est nécessaire. C'est uniquement lorsque $\lambda(T)$ présente une dépendance non linéaire — quadratique, exponentielle, etc. — que l'intégration rigoureuse devient indispensable et modifie le résultat de façon significative.

Point liminaire — choix des températures absolues.
Le panneau isolant est limité à $200$ °C : sa face froide (côté extérieur) se trouve à $T_\text{froid}$, et sa face chaude (interface laine de roche / panneau) doit également rester en dessous de cette limite. Or $T_\text{froid} = T_\text{chaud} - \Delta T = T_\text{chaud} - 500$ K. La condition minimale pour que le panneau soit utilisable est donc $T_\text{froid} < 200$ °C, soit $T_\text{chaud} < 700$ °C. Un choix $T_\text{chaud} = 800$ °C entraîne $T_\text{froid} = 300$ °C $> 200$ °C : le panneau serait en surchauffe dès sa face froide, ce qui invalide la conception. On choisit ici $T_\text{chaud} = 600$ °C et $T_\text{froid} = 100$ °C ($\Delta T = 500$ K respecté).

1. Structure multicouche proposée (de la face chaude vers la face froide)
— Brique réfractaire ($\lambda_1 = 1{,}2$ W/(m·K), max $1\,200$ °C) : $e_1 = 0{,}10$ m, au contact direct du four.
— Laine de roche ($\lambda_2 = 0{,}040$ W/(m·K), max $600$ °C) : $e_2 = 0{,}20$ m, couche principale d'isolation.
— Panneau isolant ($\lambda_3 = 0{,}015$ W/(m·K), max $200$ °C) : $e_3 = 0{,}015$ m, côté extérieur.
Cette disposition place chaque matériau dans la zone de la paroi où la température est compatible avec sa limite de service.

2. Calcul des résistances thermiques et vérification du flux ($S = 1$ m²)
$R_1 = \dfrac{e_1}{\lambda_1 \cdot S} = \dfrac{0{,}10}{1{,}2} \approx 0{,}083$ K/W

$R_2 = \dfrac{e_2}{\lambda_2 \cdot S} = \dfrac{0{,}20}{0{,}040} = 5{,}0$ K/W

$R_3 = \dfrac{e_3}{\lambda_3 \cdot S} = \dfrac{0{,}015}{0{,}015} = 1{,}0$ K/W

$R_\text{tot} = R_1 + R_2 + R_3 \approx 0{,}083 + 5{,}0 + 1{,}0 = 6{,}08$ K/W

$\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{tot}} = \dfrac{500}{6{,}08} \approx 82$ W $< 200$ W $\checkmark$

Vérification des températures aux interfaces :
$\Delta T_1 = \Phi \cdot R_1 \approx 82 \times 0{,}083 \approx 6{,}8$ K
$\Rightarrow T_\text{brique/laine} = 600 - 6{,}8 \approx 593$ °C $\leq 600$ °C $\checkmark$ (limite de la laine de roche respectée)

$\Delta T_2 = \Phi \cdot R_2 \approx 82 \times 5{,}0 = 410$ K
$\Rightarrow T_\text{laine/panneau} = 593 - 410 \approx 183$ °C $\leq 200$ °C $\checkmark$ (limite du panneau isolant respectée)

$\Delta T_3 = \Phi \cdot R_3 \approx 82 \times 1{,}0 = 82$ K
$\Rightarrow T_\text{froid} = 183 - 82 \approx 101$ °C $\approx 100$ °C $\checkmark$ (cohérent avec la température extérieure choisie)

Toutes les contraintes de sécurité et de flux sont respectées.

3. Compromis performance / coût / compacité
La laine de roche ($e_2 = 0{,}20$ m) assure environ $82\,\%$ de la résistance totale : c'est le cœur isolant de la paroi. La brique ($\lambda_1 = 1{,}2$ W/(m·K), assez conductrice) contribue peu à l'isolation mais est indispensable pour sa résistance mécanique et sa tenue à haute température face au four. Le panneau isolant, très performant thermiquement, ajoute $16\,\%$ de résistance avec seulement $1{,}5$ cm d'épaisseur — au prix d'un coût plus élevé et d'une fragilité accrue. Pour réduire l'épaisseur totale de la paroi (ici $0{,}315$ m), on peut épaissir le panneau isolant en amincissant la laine de roche. À l'inverse, si le budget est contraint, on peut allonger la couche de laine de roche et se passer du panneau, à condition que la température de la face froide reste inférieure à la limite de service de la laine de roche.