V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Physique-ChimieTerminaleL'energie : conversions et transfertsExercices + corrigé

Transferts thermiques — Exercices

De la paroi simple au bâtiment isolé : applications progressives du flux thermique et de la résistance thermique.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Paroi en béton/ 5 pts
Un mur en béton a une conductivité thermique $\lambda = 1{,}0$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$, une épaisseur $e = 0{,}20$ m et une surface $S = 10$ m². La face intérieure est à $20$ °C et la face extérieure à $0$ °C.
  1. Calculer la résistance thermique $R_{th}$ de ce mur.
  2. En déduire le flux thermique $\Phi$ traversant ce mur.
  3. Calculer l'énergie $Q$ dissipée par ce mur en $6$ h. Exprimer le résultat en joules puis en kWh.
2Paroi double — isolation/ 5 pts
On colle contre le mur de l'exercice 1 une couche de laine de verre de conductivité $\lambda_2 = 0{,}040$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$ et d'épaisseur $e_2 = 0{,}10$ m. La surface $S$ et les températures des deux faces extrêmes sont inchangées.
  1. Calculer la résistance thermique $R_{th,2}$ de la laine de verre.
  2. En déduire la résistance thermique totale $R_{\text{tot}}$ de la paroi composite.
  3. Calculer le nouveau flux $\Phi'$ traversant cette paroi.
  4. Par quel facteur l'ajout de l'isolant a-t-il réduit le flux ?
3Coût thermique d'un bâtiment/ 5 pts
Les murs d'un logement ont une surface totale $S = 40$ m². Ils sont composés d'une couche de béton ($\lambda_1 = 1{,}0$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$, $e_1 = 0{,}20$ m) et d'une couche de laine de verre ($\lambda_2 = 0{,}040$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$, $e_2 = 0{,}10$ m). Température intérieure : $19$ °C ; température extérieure : $-1$ °C.
  1. Calculer $R_{th,1}$, $R_{th,2}$ et $R_{\text{tot}}$.
  2. Calculer le flux thermique $\Phi$ perdu par les murs.
  3. Calculer l'énergie $Q$ perdue en $24$ h, en joules puis en kWh ($1$ kWh $= 3{,}6 \times 10^6$ J).
  4. À $0{,}18$ €/kWh, quel est le coût journalier de ces pertes thermiques ?
4Choix de l'isolant/ 5 pts
On veut isoler une façade de surface $S = 20$ m² soumise à $\Delta T = 25$ K, avec un flux maximal admissible $\Phi_{\text{max}} = 50$ W. Deux isolants sont disponibles : laine de verre ($\lambda_A = 0{,}040$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$) et mousse de polyuréthane ($\lambda_B = 0{,}025$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$). On néglige la résistance de la paroi support.
  1. Montrer que la résistance thermique minimale à atteindre est $R_{\text{min}} = 0{,}50$ K/W.
  2. Calculer l'épaisseur minimale $e_A$ de laine de verre requise.
  3. Calculer l'épaisseur minimale $e_B$ de mousse de polyuréthane requise.
  4. Comparer les deux résultats et conclure sur la compacité de chaque isolant.
Corrigé détaillé
1Paroi en béton
a) \(R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} = \dfrac{0{,}20}{1{,}0 \times 10} =\) \(0{,}020 \text{ K/W}\)
b) \(\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}} = \dfrac{20}{0{,}020} =\) \(1\,000 \text{ W} = 1{,}0 \text{ kW}\)
c) \(Q = \Phi \times \Delta t = 1\,000 \times (6 \times 3\,600) = 1\,000 \times 21\,600 =\) \(2{,}16 \times 10^{7} \text{ J} = 6{,}0 \text{ kWh}\)
2Paroi double — isolation
a) \(R_{th,2} = \dfrac{e_2}{\lambda_2 \cdot S} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 10} = \dfrac{0{,}10}{0{,}40} =\) \(0{,}25 \text{ K/W}\)
b) \(R_{\text{tot}} = R_{th,1} + R_{th,2} = 0{,}020 + 0{,}25 =\) \(0{,}270 \text{ K/W}\)
c) \(\Phi' = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} = \dfrac{20}{0{,}270} \approx\) \(74 \text{ W}\)
d) \(\dfrac{\Phi}{\Phi'} = \dfrac{1\,000}{74} \approx\) \(13{,}5 \quad \Rightarrow \quad \text{le flux est divisé par environ } 13{,}5\)
3Coût thermique d'un bâtiment
a) \(R_{th,1} = \dfrac{0{,}20}{1{,}0 \times 40} = 0{,}005 \text{ K/W} \quad;\quad R_{th,2} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 40} = \dfrac{0{,}10}{1{,}60} = 0{,}0625 \text{ K/W} \quad;\quad R_{\text{tot}} = 0{,}005 + 0{,}0625\) \(R_{\text{tot}} = 0{,}0675 \text{ K/W}\)
b) \(\Delta T = 19 - (-1) = 20 \text{ K} \quad;\quad \Phi = \dfrac{20}{0{,}0675} \approx\) \(296 \text{ W}\)
c) \(Q = 296 \times (24 \times 3\,600) = 296 \times 86\,400 \approx 2{,}56 \times 10^{7} \text{ J} \quad;\quad Q = \dfrac{2{,}56 \times 10^7}{3{,}6 \times 10^6} \approx\) \(7{,}1 \text{ kWh}\)
d) \(\text{Coût} = 7{,}1 \times 0{,}18 \approx\) \(1{,}28 \text{ €/jour}\)
4Choix de l'isolant
a) \(\Phi \le 50 \text{ W} \Rightarrow R_{th} \ge \dfrac{\Delta T}{\Phi_{\text{max}}} = \dfrac{25}{50} =\) \(R_{\text{min}} = 0{,}50 \text{ K/W}\)
b) \(R_{th} = \dfrac{e_A}{\lambda_A \cdot S} \ge 0{,}50 \Rightarrow e_A \ge 0{,}50 \times \lambda_A \times S = 0{,}50 \times 0{,}040 \times 20 =\) \(e_A \ge 0{,}40 \text{ m}\)
c) \(e_B \ge 0{,}50 \times \lambda_B \times S = 0{,}50 \times 0{,}025 \times 20 =\) \(e_B \ge 0{,}25 \text{ m}\)
d) \(e_B = 0{,}25 \text{ m} \lt e_A = 0{,}40 \text{ m} \quad (\text{même } R_{\text{min}} = 0{,}50 \text{ K/W})\) \(\text{La mousse de polyuréthane est plus compacte à performances égales.}\)