Physique-Chimie · Terminale

Énergie mécanique et non-conservation

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique. Tu n'as jamais étudié la non-conservation de l'énergie mécanique en cours, mais ton contrôle arrive. On va repartir de ce que tu as vu en 1ère et construire le nouveau morceau juste-à-temps. Dans 20 minutes, tu sauras calculer une vitesse avec frottements.

Petit rappel de 1ère : l’énergie mécanique et sa conservation

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :

$$E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2}mv^2 + mgz$$

En 1ère, tu as vu que lorsque seules des forces conservatives travaillent (le poids, la force de rappel d'un ressort), l'énergie mécanique reste constante : on dit qu'elle se conserve. Cela te permettait de trouver une vitesse ou une hauteur en écrivant $E_{m,\text{final}} = E_{m,\text{initial}}$.

Ce qui change en Terminale : les frottements

Les forces de frottement (air, neige, route…) ne sont pas conservatives. Leur travail $W_f$ vient diminuer l'énergie mécanique. Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit alors :

$$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$$

où $\sum W_{nc}$ est la somme des travaux des forces non conservatives. Le plus souvent, la seule force non conservative est un frottement constant $f$ opposé au déplacement :

$$W_f = - f \times d \qquad (f > 0,\; d > 0)$$

L'énergie perdue est dissipée en chaleur : $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m \geq 0$.

À toi de jouer

1. On étudie un pendule simple de masse $m = 50$ g lâché sans vitesse du point A à une hauteur $h = 0{,}20$ m au-dessus du point B le plus bas. Il n’y a aucun frottement. Niveau de référence des altitudes : point B.
Complète :

Corrigé

Énergie mécanique en A :
$E_{c,A} = 0$ J (pas de vitesse initiale).
$E_{pp,A} = mgh = 0{,}050 \times 10 \times 0{,}20 = 0{,}10$ J.
Donc $E_{m,A} = 0{,}10$ J.

Comme il n'y a pas de frottement, $\Delta E_m = 0$ J, donc $E_{m,B} = E_{m,A} = 0{,}10$ J.

En B, $z = 0$ donc $E_{pp,B} = 0$ J. Alors $E_{c,B} = E_{m,B} = 0{,}10$ J.

On en déduit la vitesse en B :
$v_B = \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}10}{0{,}050}} = \sqrt{\frac{0{,}20}{0{,}050}} = \sqrt{4{,}0} = 2{,}0$ m/s.

2. On reprend le même pendule mais avec des frottements de l'air. Le travail des forces de frottement entre A et B vaut $W_f = -0{,}03$ J. La masse et la hauteur sont inchangées ($m = 50$ g, $h = 0{,}20$ m).
Complète en utilisant le théorème de l'énergie mécanique :

Corrigé

État A : $E_{m,A} = mgh = 0{,}050 \times 10 \times 0{,}20 = 0{,}10$ J (vitesse nulle).

Théorème de l'énergie mécanique : $\Delta E_m = W_f$
$E_{m,B} - E_{m,A} = -0{,}03$ J
$E_{m,B} = 0{,}10 - 0{,}03 = 0{,}07$ J.

En B, $E_{pp,B} = 0$, donc $E_{c,B} = E_{m,B} = 0{,}07$ J.

$v_B = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}07}{0{,}050}} = \sqrt{\frac{0{,}14}{0{,}050}} = \sqrt{2{,}8} \approx 1{,}67$ m/s.

Comparaison : la vitesse est plus petite que sans frottement (2,0 m/s) car une partie de l'énergie a été dissipée en chaleur.

3. Complète les égalités fondamentales :
a) $E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $\Delta E_m = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\sum W_{nc} = 0$ signifie que l'énergie mécanique se .
d) Pour une force de frottement constante $f$ sur une distance $d$, $W_f = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) L'énergie dissipée est toujours positive : $E_{\text{diss}} = -\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $E_m = E_c + E_{pp}$
b) $\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A}$
c) $\sum W_{nc} = 0$ signifie que l'énergie mécanique se conserve.
d) $W_f = - f \times d$
e) $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m$ (ou $-W_f$).

Ah oui, ça revient ! Voyons maintenant la méthode complète pour appliquer le théorème de l'énergie mécanique, du choix des états jusqu'à la résolution. On s'entraîne avec des exercices guidés.

Les formules à avoir en tête

$E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + m g z$
$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$
Travail d'une force de frottement constante : $W_f = - f \times d$ (négatif car opposé au déplacement)
Ne pas inclure le poids dans $\sum W_{nc}$ : sa contribution est déjà dans $\Delta E_{pp}$.

Méthode en 6 étapes

Choisir deux états A (initial) et B (final).
Fixer le niveau de référence pour l'énergie potentielle (souvent le point le plus bas).
Exprimer $E_{m,A}$ et $E_{m,B}$ en fonction des données et de l'inconnue (souvent $v_B$ ou une distance).
Identifier les forces non conservatives (frottements…) et calculer leur travail $W_{nc}$ avec le bon signe.
Écrire l'équation $E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$.
Résoudre l'équation pour obtenir la grandeur cherchée.

À toi de jouer

1. Un bloc de masse $m = 0{,}80$ kg glisse le long d'un plan incliné. Il part du point A (en haut) sans vitesse initiale et atteint le point B en bas. Le dénivelé est $h = 0{,}40$ m et la longueur parcourue $L = 1{,}20$ m. Une force de frottement constante $f = 1{,}0$ N s'exerce tout au long du trajet. Niveau de référence des altitudes : le bas (point B).

Complète le calcul de la vitesse en B :

Corrigé

État A : $E_{c,A}=0$, $E_{pp,A}=mgh = 0{,}80 \times 10 \times 0{,}40 = 3{,}2$ J, donc $E_{m,A}=3{,}2$ J.
État B : $E_{pp,B}=0$ (niveau de référence), $E_{c,B} = \frac{1}{2} m v_B^2$.
Travail des frottements : seule force non conservative = frottement $f$ opposé au déplacement sur la distance $L$. $W_{nc}=W_f = -f \times L = -1{,}0 \times 1{,}20 = -1{,}2$ J.

Théorème : $E_{m,B}-E_{m,A} = W_{nc}$
$\frac{1}{2} m v_B^2 - 3{,}2 = -1{,}2$
$\frac{1}{2} \times 0{,}80 \times v_B^2 = 3{,}2 - 1{,}2 = 2{,}0$ J
$0{,}40 \, v_B^2 = 2{,}0 \Rightarrow v_B^2 = \frac{2{,}0}{0{,}40} = 5{,}0$
$v_B = \sqrt{5{,}0} \approx 2{,}2$ m/s.

2. Une petite voiture de masse $m = 0{,}10$ kg est lancée sur une table horizontale avec une vitesse initiale $v_0 = 2{,}0$ m/s. Elle s'arrête au bout d'une distance $d$ à cause d'un frottement constant $f = 0{,}20$ N. Niveau de référence : la table ($z=0$).

Complète la détermination de la distance d'arrêt :

Corrigé

$E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}10 \times 2{,}0^2 = 0{,}20$ J.
$E_{c,f} = 0$ J (arrêt). $\Delta E_{pp}=0$ car plan horizontal.
Donc $\Delta E_m = 0 - 0{,}20 = -0{,}20$ J.

Seule force non conservative : frottement. $W_f = - f \times d$.
Théorème : $\Delta E_m = W_f \Rightarrow -0{,}20 = -0{,}20 \times d$
$d = \frac{0{,}20}{0{,}20} = 1{,}0$ m.

3. Un pendule de masse $m = 100$ g est lâché sans vitesse depuis une hauteur $h = 0{,}30$ m au-dessus du point bas. On mesure une vitesse $v = 1{,}5$ m/s au passage en bas. Calcule l'énergie mécanique initiale, l'énergie mécanique finale, puis le travail $W_f$ des frottements et l'énergie dissipée. (Aide : pas de trous cette fois, mais tu peux t’inspirer des étapes de la méthode.)

Corrigé

$E_{m,A} = mgh = 0{,}100 \times 10 \times 0{,}30 = 0{,}30$ J (vitesse nulle).
$E_{m,B} = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = 0{,}5 \times 0{,}100 \times (1{,}5)^2 = 0{,}1125$ J $\approx 0{,}11$ J.
$\Delta E_m = 0{,}11 - 0{,}30 = -0{,}19$ J.
$W_f = \Delta E_m = -0{,}19$ J (car seule force non conservative).
Énergie dissipée : $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m = 0{,}19$ J.

Maintenant, on répète le même geste mécanique pour que ça devienne réflexe. Cinq situations quasi identiques, tu vas voir, tu vas finir par le faire les yeux fermés.

À toi de jouer

1. Un bloc de 1,0 kg descend un plan incliné de hauteur h = 0,50 m et de longueur L = 1,5 m. Frottement constant f = 2,0 N. Niveau de référence en bas.
Calcule en complétant :

Corrigé

$E_{m,A} = mgh = 1{,}0 \times 10 \times 0{,}50 = 5{,}0$ J.
$W_f = -f \times L = -2{,}0 \times 1{,}5 = -3{,}0$ J.
$E_{m,B} = 5{,}0 - 3{,}0 = 2{,}0$ J.
$E_{c,B} = E_{m,B}$ car $E_{pp,B}=0$.
$\frac{1}{2} m v_B^2 = 2{,}0 \Rightarrow v_B^2 = 4{,}0 \Rightarrow v_B = 2{,}0$ m/s.

2. Même dispositif. Masse m = 2,0 kg, h = 0,80 m, L = 2,0 m, f = 4,0 N.
Complète :

Corrigé

$E_{m,A} = mgh = 2{,}0 \times 10 \times 0{,}80 = 16$ J.
$W_f = -4{,}0 \times 2{,}0 = -8{,}0$ J.
$E_{m,B} = 16 - 8{,}0 = 8{,}0$ J.
$v_B = \sqrt{2 \times 8{,}0 / 2{,}0} = \sqrt{8{,}0} \approx 2{,}83$ m/s.

3. Même dispositif. m = 0,50 kg, h = 1,0 m, L = 2,5 m, f = 1,2 N.
Complète :

Corrigé

$E_{m,A} = 0{,}50 \times 10 \times 1{,}0 = 5{,}0$ J.
$W_f = -1{,}2 \times 2{,}5 = -3{,}0$ J.
$E_{m,B} = 2{,}0$ J. $v_B = \sqrt{2 \times 2{,}0 / 0{,}50} = \sqrt{8{,}0} \approx 2{,}83$ m/s.

4. Même dispositif. m = 3,0 kg, h = 0,60 m, L = 1,8 m, f = 5,0 N.
Complète :

Corrigé

$E_{m,A} = 3{,}0 \times 10 \times 0{,}60 = 18$ J.
$W_f = -5{,}0 \times 1{,}8 = -9{,}0$ J.
$E_{m,B} = 9{,}0$ J. $v_B = \sqrt{2 \times 9{,}0 / 3{,}0} = \sqrt{6{,}0} \approx 2{,}45$ m/s.

5. Même dispositif. m = 0,200 kg, h = 0,30 m, L = 0,90 m, f = 0,50 N.
Complète :

Corrigé

$E_{m,A} = 0{,}200 \times 10 \times 0{,}30 = 0{,}60$ J.
$W_f = -0{,}50 \times 0{,}90 = -0{,}45$ J.
$E_{m,B} = 0{,}15$ J. $v_B = \sqrt{2 \times 0{,}15 / 0{,}200} = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22$ m/s.

C'est l'heure du vrai contrôle. Plus de trous, mais tu as maintenant tous les outils. On traite des problèmes complets : surface horizontale, plan incliné, pendule et distance de freinage. Chaque étape doit être justifiée, comme le jour J.

À toi de jouer

1. Un palet de masse $m = 200$ g glisse sur une table horizontale. Il est lancé avec une vitesse $v_0 = 3{,}0$ m/s et parcourt $d = 1{,}8$ m avant de s'arrêter.
a) Calcule l'énergie cinétique initiale et finale.
b) Justifie que la variation d'énergie potentielle est nulle et déduis $\Delta E_m$.
c) Quel est le travail des forces de frottement ?
d) Détermine l'intensité $f$ de la force de frottement, supposée constante.

Corrigé

a) $E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_0^2 = 0{,}5 \times 0{,}200 \times 3{,}0^2 = 0{,}90$ J ; $E_{c,f} = 0$ J (arrêt).
b) Plan horizontal $\Rightarrow \Delta z = 0$, donc $\Delta E_{pp} = 0$. $\Delta E_m = \Delta E_c = -0{,}90$ J.
c) Seule force non conservative = frottement. $W_f = \Delta E_m = -0{,}90$ J.
d) $W_f = -f \times d \Rightarrow f = -W_f / d = 0{,}90 / 1{,}8 = 0{,}50$ N.

2. Un skieur de masse $m = 80$ kg s'élance du haut d'une piste rectiligne de longueur $L = 60$ m et de dénivelé $h = 25$ m. Il part sans vitesse. Une force de frottement constante $f = 160$ N s'oppose à son mouvement tout au long de la descente. Niveau de référence : le bas de la piste.
a) Exprime et calcule l'énergie mécanique au sommet A.
b) Calcule le travail $W_f$ des frottements.
c) En utilisant le théorème de l'énergie mécanique, détermine la vitesse du skieur en bas de la piste.
d) Quelle est l'énergie dissipée sous forme thermique ?

Corrigé

a) $E_{m,A} = mgh = 80 \times 10 \times 25 = 20 000$ J.
b) $W_f = -f \times L = -160 \times 60 = -9 600$ J.
c) $E_{m,B} = E_{m,A} + W_f = 20 000 - 9 600 = 10 400$ J. En B, $E_{pp,B}=0$ donc $E_{c,B}=E_{m,B}$.
$\frac{1}{2} m v_B^2 = 10 400 \Rightarrow v_B^2 = \frac{20 800}{80} = 260 \Rightarrow v_B \approx 16{,}1$ m/s.
d) $E_{\text{diss}} = -W_f = 9 600$ J.

3. Un pendule simple est constitué d'une bille de masse $m = 150$ g suspendue à un fil de longueur $L = 0{,}60$ m. On l'écarte d'un angle de 60° par rapport à la verticale puis on le lâche sans vitesse. On rappelle que la hauteur initiale par rapport au point bas est $h = L(1 - \cos\theta_0)$ avec $\cos 60° = 0{,}50$. On mesure une vitesse $v = 1{,}8$ m/s au premier passage en bas.
a) Calcule la hauteur $h$.
b) Calcule l'énergie mécanique initiale et l'énergie mécanique au point bas.
c) Déduis l'énergie dissipée par les frottements lors de cette demi-oscillation.
d) Quelle serait la vitesse au point bas sans frottement ? Compare.

Corrigé

a) $h = 0{,}60 \times (1 - 0{,}50) = 0{,}30$ m.
b) $E_{m,A} = mgh = 0{,}150 \times 10 \times 0{,}30 = 0{,}45$ J. $E_{m,B} = \frac{1}{2} m v^2 = 0{,}5 \times 0{,}150 \times 1{,}8^2 = 0{,}243$ J.
c) $E_{\text{diss}} = E_{m,A} - E_{m,B} = 0{,}45 - 0{,}243 = 0{,}207$ J.
d) Sans frottement : $E_{m,B} = 0{,}45$ J $\Rightarrow v = \sqrt{2 \times 0{,}45 / 0{,}150} = \sqrt{6{,}0} \approx 2{,}45$ m/s. La vitesse réelle (1,8 m/s) est bien inférieure à cause des frottements.

4. Une voiture de masse $m = 1 000$ kg roule sur une route horizontale à $v = 90$ km/h. Elle freine brusquement et s'arrête sur une distance $d$. La force de freinage, supposée constante, est modélisée par une force de frottement $f = 5 000$ N.
a) Convertis la vitesse en m/s.
b) Exprime la variation d'énergie mécanique en fonction de $d$.
c) Détermine la distance de freinage $d$ à l'aide du théorème de l'énergie mécanique.
d) Même question si la vitesse initiale est doublée (180 km/h). Que peux-tu conclure pour la sécurité routière ?

Corrigé

a) On convertit la vitesse en m/s :

$v = \dfrac{90}{3{,}6} = 25$ m/s

b) La route est horizontale, donc l'altitude ne change pas : $\Delta E_{pp} = 0$, et par suite $\Delta E_m = \Delta E_c$.
La voiture passe de la vitesse $v$ à l'arrêt, donc :
$\Delta E_m = 0 - \dfrac{1}{2}mv^2 = -\dfrac{1}{2}mv^2$
D'après le théorème de l'énergie mécanique, $\Delta E_m = W_f$ où $W_f$ est le travail de la force de frottement.
La force $f$ est constante et opposée au déplacement, donc $W_f = -f \times d$.
On obtient ainsi l'expression de la variation d'énergie mécanique en fonction de $d$ :
$$\Delta E_m = -f \times d$$

c) On applique le résultat de la question b) avec les valeurs numériques :
$-\dfrac{1}{2}mv^2 = -f \times d$
$d = \dfrac{mv^2}{2f} = \dfrac{1\,000 \times 25^2}{2 \times 5\,000} = \dfrac{625\,000}{10\,000}$
$$\boxed{d = 62{,}5 \text{ m}}$$

d) On convertit la nouvelle vitesse : $v' = \dfrac{180}{3{,}6} = 50$ m/s.
On applique le même raisonnement :
$d' = \dfrac{mv'^2}{2f} = \dfrac{1\,000 \times 50^2}{2 \times 5\,000} = \dfrac{2\,500\,000}{10\,000}$
$$\boxed{d' = 250 \text{ m}}$$
Le rapport $\dfrac{d'}{d} = \dfrac{250}{62{,}5} = 4$ : lorsque la vitesse est doublée, la distance de freinage est multipliée par 4.
Cela s'explique par le fait que l'énergie cinétique est proportionnelle à $v^2$ ; doubler $v$ quadruple $E_c$, et donc quadruple la distance nécessaire pour dissiper cette énergie.
Conclusion pour la sécurité routière : une faible augmentation de vitesse entraîne une augmentation très importante de la distance de freinage. Respecter les limitations de vitesse est donc essentiel pour réduire le risque de collision.

Tu maîtrises la base ? Alors explorons deux situations qui te préparent à la physique de l'an prochain : quand la vitesse reste constante malgré les frottements, et quand le frottement dépend de la vitesse.

À toi de jouer

1. Un skieur de masse $m = 90$ kg descend une pente de dénivelé $h = 15$ m à vitesse constante $v = 8{,}0$ m/s. La piste a une longueur $L = 50$ m. Niveau de référence en bas.
a) Exprime la variation d'énergie cinétique entre le haut et le bas. Que vaut-elle ?
b) Écris le théorème de l'énergie mécanique et déduis le travail $W_f$ de la force de frottement.
c) Calcule la puissance moyenne $P_f$ dissipée par les frottements si la descente dure $\Delta t = 6{,}25$ s.
d) Explique pourquoi, bien que la vitesse soit constante, l'énergie mécanique ne se conserve pas.

Corrigé

a) $\Delta E_c = 0$ car $v$ constante. $\Delta E_{pp} = -mgh = -90 \times 10 \times 15 = -13 500$ J. Donc $\Delta E_m = -13 500$ J.
b) $\Delta E_m = W_f \Rightarrow W_f = -13 500$ J.
c) $P_f = \frac{|W_f|}{\Delta t} = \frac{13 500}{6{,}25} = 2 160$ W, soit environ 2,2 kW.
d) L'énergie mécanique diminue car l'énergie potentielle perdue est intégralement dissipée par les frottements au lieu d'être convertie en énergie cinétique. La résultante des forces est nulle (mouvement uniforme), mais les forces de frottement travaillent et transforment l'énergie mécanique en chaleur.

2. Une bille de masse $m = 50$ g est lancée dans un liquide visqueux. La force de frottement n'est plus constante : elle s'écrit $f = k v$, avec $k = 0{,}10$ N·s/m. La vitesse initiale est $v_0 = 4{,}0$ m/s.
On ne te demande pas de résoudre l'équation du mouvement, mais d'estimer la distance $d$ parcourue jusqu'à l'arrêt en faisant l'hypothèse simplificatrice que la force de frottement garde sa valeur initiale moyenne sur le trajet (c'est-à-dire $f \approx k \times v_{\text{moy}}$ avec $v_{\text{moy}} = v_0/2$).
a) Dans ce modèle grossier, quelle est la valeur de $f$ utilisée ?
b) En appliquant le théorème de l'énergie mécanique, détermine $d$.
c) Compare avec le cas d'un frottement constant de même valeur initiale $k v_0$. Pourquoi est-ce différent ? (L'an prochain, tu verras comment traiter rigoureusement ces forces dépendant de la vitesse avec des équations différentielles.)

Corrigé

a) $v_{\text{moy}} = v_0/2 = 2{,}0$ m/s, donc $f \approx 0{,}10 \times 2{,}0 = 0{,}20$ N.

b) Le théorème de l'énergie mécanique donne $\Delta E_m = W_f$ :
$0 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 = -f \times d$
$-\tfrac{1}{2} \times 0{,}050 \times 4{,}0^2 = -0{,}20 \times d$
$-0{,}40 = -0{,}20 \times d \quad \Rightarrow \quad d = 2{,}0$ m.

c) Avec un frottement constant égal à la valeur initiale $f_0 = kv_0 = 0{,}10 \times 4{,}0 = 0{,}40$ N, on aurait :
$d_0 = \dfrac{\tfrac{1}{2}mv_0^2}{f_0} = \dfrac{0{,}40}{0{,}40} = 1{,}0$ m.
La distance est deux fois plus grande dans le modèle à frottement variable, ce qui se comprend bien : quand la bille ralentit, la force de frottement diminue elle aussi, donc elle dissipe l'énergie moins vite et la bille va plus loin.

Point important — correction de la conclusion : contrairement à ce qu'on pourrait croire, le modèle simplifié ne donne pas une borne inférieure de la distance réelle. L'équation exacte du mouvement s'écrit $m\,v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -kv$, soit, en simplifiant par $v$ (non nul) : $m\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -k$. La vitesse décroît donc linéairement avec la position, ce qui signifie que la vitesse moyenne sur le trajet est exactement $v_0/2$. Notre hypothèse simplificatrice est ainsi parfaitement vérifiée, et le résultat $d = mv_0/k = 2{,}0$ m est exact. L'an prochain, en résolvant l'équation différentielle $m\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -kv$, tu retrouveras cette même valeur limite : la bille n'atteint jamais l'arrêt en un temps fini, mais la distance totale parcourue converge bien vers $\dfrac{mv_0}{k} = \dfrac{0{,}050 \times 4{,}0}{0{,}10} = 2{,}0$ m.