Énergie mécanique et non-conservation

Les trois briques à connaître avant tout

Première brique — l'énergie cinétique. C'est l'énergie que possède un objet parce qu'il bouge : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$, avec $m$ en kilogrammes, $v$ en mètres par seconde, et $E_c$ en joules (J). Objet immobile, $v = 0$, donc $E_c = 0$.

Deuxième brique — l'énergie potentielle de pesanteur. C'est l'énergie que possède un objet parce qu'il est en hauteur : $E_{pp} = mgz$, où $z$ est l'altitude comptée à partir d'un niveau de référence que tu choisis toi-même, et $g$ l'intensité de la pesanteur ($g \approx 9{,}81$ m/s², souvent arrondie à $10$ m/s² dans les exercices). Au niveau de référence, $z = 0$ donc $E_{pp} = 0$.

Troisième brique — l'énergie mécanique. C'est simplement la somme des deux précédentes : $E_m = E_c + E_{pp} = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgz$. Elle aussi se mesure en joules.

Sur le schéma ci-dessous : en A la bille est en haut et immobile, toute son énergie mécanique est potentielle. En B elle est en bas et rapide, toute son énergie mécanique est cinétique. Entre les deux, l'énergie s'est transformée.

L'essentiel en trois phrases, la formule clé, un exemple entièrement traité

Phrase 1. Si les seules forces qui travaillent sont conservatives (le poids, la force d'un ressort), alors l'énergie mécanique ne change pas : $E_m = \text{constante}$. On dit qu'elle est conservée.

Phrase 2. Dès qu'une force non conservative travaille (frottements solides, résistance de l'air), une partie de l'énergie mécanique se dégrade en chaleur : $E_m$ diminue.

Phrase 3. La formule qui chiffre cette perte est le théorème de l'énergie mécanique, entre un état initial A et un état final B :

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$

Pour une force de frottement d'intensité $f$ constante qui s'oppose au mouvement sur une distance parcourue $d$ : $W_f = -f \cdot d < 0$ (avec $f > 0$ et $d > 0$). L'énergie dissipée en chaleur vaut $E_{\text{diss}} = -\sum W_{nc} = -W_f \geq 0$.

Exemple entièrement traité (sans frottement). Une bille de masse $m = 200$ g est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 1{,}25$ m. On prend $g = 10$ m/s² et on choisit le bas comme niveau de référence. Quelle est sa vitesse en bas ?

Étape 1 — convertir. $m = 200$ g $= 0{,}200$ kg.

Étape 2 — énergie mécanique en A. La bille est immobile donc $E_c = 0$, et elle est à l'altitude $h$ donc $E_{pp} = mgh$ :

$E_{m,A} = 0 + mgh = 0{,}2 \times 10 \times 1{,}25 = 2{,}5$ J

Étape 3 — pas de frottement. Donc $\sum W_{nc} = 0$, donc $\Delta E_m = 0$, donc $E_{m,B} = E_{m,A} = 2{,}5$ J.

Étape 4 — énergie mécanique en B. En bas, $z = 0$ donc $E_{pp} = 0$, et il ne reste que le cinétique : $E_{m,B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 = 2{,}5$ J.

Étape 5 — isoler la vitesse. $v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}5}{0{,}2}} = \sqrt{25} = 5$ m/s

Réponse : $v_B = 5$ m/s. Si le contrôle ajoute des frottements, tu remplaces juste l'étape 3 par $\Delta E_m = W_f = -f \cdot d$, et tu continues pareil.

Définitions propres : conservatif, non conservatif, travail

Énergie mécanique. Pour un système en mouvement dans le champ de pesanteur, $E_m = E_c + E_{pp} = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgz$. Deux choses sont à annoncer avant tout calcul : le système étudié (la bille, le skieur, la caisse) et le niveau de référence à partir duquel on compte $z$, presque toujours le point le plus bas de la trajectoire.

Travail d'une force. Une force travaille lorsqu'elle possède une composante dans le sens du déplacement. Le travail est une énergie, en joules. Il est moteur (positif) quand la force accompagne le mouvement, résistant (négatif) quand elle s'y oppose, et nul quand la force est perpendiculaire au déplacement.

Force conservative. Une force dont le travail peut s'écrire comme une perte d'énergie potentielle : c'est le cas du poids et de la force d'un ressort. Le travail du poids est déjà comptabilisé dans le terme $E_{pp} = mgz$ de l'énergie mécanique. C'est exactement pour cela qu'il ne faut jamais le remettre une seconde fois dans le bilan.

Force non conservative. Une force qui ne dérive pas d'une énergie potentielle et qui dégrade l'énergie du système : frottements solides (contact entre deux surfaces) et résistance de l'air. Leur travail est négatif : l'énergie mécanique perdue part sous forme de chaleur, dans l'objet et dans le milieu.

Cas particulier utile. La réaction normale $\vec{N}$ du support est perpendiculaire au déplacement : son travail est nul. Elle n'intervient donc jamais dans $\sum W_{nc}$, même si elle apparaît sur ton schéma des forces.

Le théorème de l'énergie mécanique et la méthode en quatre étapes

Le théorème s'écrit, entre un état initial A et un état final B :

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$

En clair : la variation d'énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives. Rien d'autre n'entre dans le membre de droite.

Étape 1 — poser le cadre. Choisir les deux états A (initial) et B (final), et fixer le niveau de référence pour $E_{pp}$, en général au point le plus bas. Écris-le explicitement sur ta copie.

Étape 2 — exprimer les énergies. Écrire $E_{m,A} = \dfrac{1}{2}mv_A^2 + mgz_A$ et $E_{m,B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgz_B$, en faisant apparaître l'inconnue cherchée (souvent $v_B$, parfois $f$, parfois une distance).

Étape 3 — inventorier les forces non conservatives. Repérer les frottements, calculer leur travail. Pour une force de frottement d'intensité constante $f$ opposée au mouvement sur une distance parcourue $d$ : $W_f = -f \cdot d$. Le signe moins n'est pas décoratif, il traduit le fait que la force s'oppose au mouvement.

Étape 4 — appliquer et résoudre. Écrire $E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$, remplacer, isoler l'inconnue, puis conclure avec l'unité.

Les deux directions du raisonnement. Ce théorème se lit dans les deux sens. Si on te donne les frottements, tu en déduis la vitesse finale. Si on te donne les deux vitesses, tu en déduis l'énergie dissipée, et donc l'intensité $f$ des frottements par $f = \dfrac{E_{\text{diss}}}{d}$. C'est la même équation, lue de gauche à droite ou de droite à gauche.

Les deux cas, côte à côte, avec leurs exemples traités

Cas 1 — conservation. Si $\sum W_{nc} = 0$, alors $\Delta E_m = 0$ et $E_m = \text{constante}$. L'énergie cinétique et l'énergie potentielle s'échangent en permanence, mais leur somme ne bouge pas : c'est le graphe de gauche.

Exemple A. Bille de $m = 200$ g $= 0{,}2$ kg lâchée sans vitesse initiale de $h = 1{,}25$ m, référence en bas, $g = 10$ m/s².

$E_{m,A} = 0 + mgh = 0{,}2 \times 10 \times 1{,}25 = 2{,}5$ J

Pas de frottement, donc $\sum W_{nc} = 0$, donc $E_{m,B} = 2{,}5$ J.

$\dfrac{1}{2}mv_B^2 = 2{,}5 \;\Rightarrow\; v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}5}{0{,}2}} = \sqrt{25} = 5$ m/s

Cas 2 — non-conservation. Si une force non conservative travaille, $\Delta E_m = \sum W_{nc} < 0$ : l'énergie mécanique décroît. L'écart entre la droite horizontale pointillée et la courbe descendante, sur le graphe de droite, c'est exactement l'énergie dissipée.

Exemple B. Même situation, mais avec un frottement d'intensité $f = 0{,}5$ N le long d'une pente de longueur $L = 2{,}5$ m.

$W_f = -f \cdot L = -0{,}5 \times 2{,}5 = -1{,}25$ J

$\Delta E_m = W_f = -1{,}25$ J, donc $E_{m,B} = 2{,}5 - 1{,}25 = 1{,}25$ J

$v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}25}{0{,}2}} = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}5$ m/s

Cette vitesse est inférieure aux $5$ m/s du cas sans frottement : c'est cohérent, et ce genre de vérification rapporte des points.

Enfin, l'énergie dissipée se calcule par $E_{\text{diss}} = -\sum W_{nc} = -W_f = 1{,}25$ J. Elle est positive, alors que $\Delta E_m = -1{,}25$ J est négatif : ce sont deux grandeurs opposées, pas la même.

Ensemble 1 — le pendule : un cas conservatif où la masse disparaît

Énoncé. Une bille accrochée à un fil de longueur $\ell = 1{,}00$ m est écartée d'un angle $\theta = 60°$ par rapport à la verticale, puis lâchée sans vitesse initiale. Les frottements sont négligés, $g = 10$ m/s². Quelle est la vitesse de la bille au point le plus bas ?

Ligne 1 — je pose le cadre. Système : la bille. État A : bille écartée de $60°$, immobile. État B : bille au point le plus bas. Référence des altitudes : le point le plus bas, donc $z_B = 0$.

Ligne 2 — je cherche la hauteur de chute. C'est la seule difficulté géométrique du problème. La bille est à la distance $\ell$ du point d'attache ; verticalement elle se trouve $\ell \cos \theta$ sous ce point, alors qu'au plus bas elle est à $\ell$ sous ce point. La dénivelée vaut donc :

$h = \ell - \ell \cos \theta = \ell\,(1 - \cos \theta) = 1{,}00 \times (1 - 0{,}5) = 0{,}50$ m

Ligne 3 — énergie mécanique en A. Elle est immobile, donc $E_c = 0$ :

$E_{m,A} = 0 + mgh = m \times 10 \times 0{,}50 = 5{,}0\,m$ (en joules, avec $m$ en kg)

Ligne 4 — je vérifie quelles forces travaillent. Le poids est conservatif, il est déjà dans $E_{pp}$. La tension du fil est perpendiculaire au déplacement à chaque instant : son travail est nul. Frottements négligés. Donc $\sum W_{nc} = 0$ et l'énergie mécanique se conserve.

Ligne 5 — j'égalise. $E_{m,B} = E_{m,A}$, et en B l'altitude est nulle :

$\dfrac{1}{2}mv_B^2 = mgh$

Ligne 6 — je simplifie par $m$. La masse apparaît des deux côtés, elle disparaît :

$v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}50} = \sqrt{10} \approx 3{,}2$ m/s

Ce qu'il faut retenir de cet exemple : quand il n'y a pas de frottement et que l'objet part du repos, la vitesse ne dépend pas de la masse, seulement de la dénivelée. Une bille de plomb et une bille de bois arrivent en bas à la même vitesse. Le correcteur adore cette remarque.

Ensemble 2 — le skieur : on remonte à la force de frottement

Énoncé. Un skieur de masse $m = 60$ kg part du repos en haut d'une piste et arrive en bas à la vitesse $v_B = 15$ m/s. Le dénivelé vaut $h = 20$ m, la longueur de piste parcourue est $L = 100$ m, et $g = 10$ m/s². Calculer l'énergie dissipée, puis l'intensité moyenne $f$ de la force de frottement.

Ligne 1 — cadre. Système : le skieur. A : en haut, $v_A = 0$, $z_A = 20$ m. B : en bas, $v_B = 15$ m/s, $z_B = 0$ (référence choisie en bas de la piste).

Ligne 2 — énergie mécanique en A.

$E_{m,A} = \dfrac{1}{2} \times 60 \times 0^2 + 60 \times 10 \times 20 = 0 + 12\,000 = 12\,000$ J

Ligne 3 — énergie mécanique en B.

$E_{m,B} = \dfrac{1}{2} \times 60 \times 15^2 + 0 = 30 \times 225 = 6\,750$ J

Ligne 4 — variation.

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = 6\,750 - 12\,000 = -5\,250$ J

Elle est négative : c'était attendu, puisque des frottements agissent. Si tu trouves un résultat positif ici, c'est qu'il y a une erreur de signe quelque part.

Ligne 5 — énergie dissipée. Elle est l'opposée de la variation :

$E_{\text{diss}} = -\Delta E_m = 5\,250$ J

Ligne 6 — je remonte à $f$. Le seul travail non conservatif est celui des frottements, $\sum W_{nc} = W_f = -f \cdot L$. Donc :

$-f \cdot L = -5\,250 \;\Rightarrow\; f = \dfrac{5\,250}{100} = 52{,}5$ N

Attention à un point clé : la distance qui intervient dans $W_f = -f \cdot d$ est la longueur réellement parcourue le long de la piste ($L = 100$ m), pas le dénivelé ($h = 20$ m). Diviser par $20$ au lieu de $100$ est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.

Ensemble 3 — la chute avec résistance de l'air : comparer réel et théorique

Énoncé. Une balle de masse $m = 100$ g est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 10$ m. Elle touche le sol à $v_B = 12$ m/s. On prend $g = 10$ m/s². Quelle vitesse aurait-elle atteint sans résistance de l'air ? Quelle fraction de l'énergie initiale a été dissipée ?

Ligne 1 — conversion et cadre. $m = 100$ g $= 0{,}100$ kg. A : au lâcher, $v_A = 0$, $z_A = 10$ m. B : à l'arrivée au sol, $z_B = 0$, référence prise au sol.

Ligne 2 — la vitesse théorique, sans frottement. Si l'air n'agissait pas, $E_m$ serait conservée, donc $\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh$, et la masse se simplifie :

$v_{\text{théo}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14{,}1$ m/s

Ligne 3 — l'énergie mécanique réelle en A.

$E_{m,A} = 0 + 0{,}100 \times 10 \times 10 = 10{,}0$ J

Ligne 4 — l'énergie mécanique réelle en B.

$E_{m,B} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}100 \times 12^2 = 0{,}050 \times 144 = 7{,}2$ J

Ligne 5 — variation et dissipation.

$\Delta E_m = 7{,}2 - 10{,}0 = -2{,}8$ J, donc $E_{\text{diss}} = 2{,}8$ J

Ligne 6 — la fraction dissipée.

$\dfrac{E_{\text{diss}}}{E_{m,A}} = \dfrac{2{,}8}{10{,}0} = 0{,}28$, soit $28$ % de l'énergie initiale partie en chaleur.

Contrôle de cohérence. La vitesse réelle ($12$ m/s) est bien inférieure à la vitesse théorique ($14{,}1$ m/s) : la résistance de l'air freine, donc le résultat est plausible. Prends l'habitude de finir par ce genre de phrase, elle vaut souvent un point.

Remarque : ici on ne peut pas écrire $W_f = -f \cdot d$ avec un $f$ constant, car la résistance de l'air dépend de la vitesse. On accède quand même à l'énergie dissipée par le bilan $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m$ : c'est tout l'intérêt du théorème, il ne demande pas de connaître le détail de la force.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

La grille de rédaction attendue.

1. Nommer le système étudié et préciser qu'on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

2. Annoncer explicitement le niveau de référence pour $E_{pp}$ : « on choisit $z = 0$ au bas de la pente ». Sans cette phrase, tes $mgz$ ne veulent rien dire.

3. Définir clairement les deux états A et B avec les données de chacun ($v$, $z$).

4. Faire l'inventaire des forces et dire pour chacune si elle est conservative, si elle travaille, et avec quel signe. En particulier justifier que $\vec{N}$ ne travaille pas.

5. Écrire le théorème sous forme littérale avant de remplacer par les nombres : $E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$. Une application numérique sans formule littérale perd des points.

6. Donner le résultat avec son unité et un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.

7. Terminer par une phrase de cohérence : ordre de grandeur raisonnable, vitesse plus faible qu'en l'absence de frottement, énergie dissipée positive.

Les pièges classiques, un par un.

Piège 1 — remettre le poids dans $\sum W_{nc}$. Le travail du poids est déjà compté dans le terme $mgz$ de l'énergie potentielle. Le rajouter, c'est le compter deux fois. Dans $\sum W_{nc}$, il n'y a que les forces non conservatives.

Piège 2 — oublier le signe moins. $W_f = -f \cdot d$ est toujours négatif lorsque le frottement s'oppose au mouvement, tandis que l'énergie dissipée $E_{\text{diss}} = -W_f$ est toujours positive.

Piège 3 — inclure la réaction normale. $\vec{N}$ est perpendiculaire au déplacement, son travail est nul, elle n'apparaît pas dans le bilan.

Piège 4 — confondre $\Delta E_m$ et $E_{\text{diss}}$. La première peut être négative, la seconde jamais : $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m$.

Piège 5 — se tromper de distance. Dans $W_f = -f \cdot d$, $d$ est la longueur du trajet parcouru, pas la dénivelée verticale. Sur un plan incliné, ce sont deux nombres différents.

Piège 6 — oublier les conversions. Les grammes en kilogrammes, les kilomètres par heure en mètres par seconde ($1$ km/h $= \dfrac{1}{3{,}6}$ m/s). Une masse en grammes injectée telle quelle multiplie le résultat par mille.

Piège 7 — croire que le choix de la référence change le résultat. Il change $E_{m,A}$ et $E_{m,B}$ pris séparément, mais pas leur différence $\Delta E_m$, donc pas la réponse finale. Il faut simplement garder la même référence du début à la fin.

Problème type 1 — le toboggan aquatique, entièrement résolu

Énoncé. Un baigneur de masse $m = 50$ kg se laisse glisser sans élan du haut d'un toboggan aquatique. La dénivelée entre le départ et l'arrivée vaut $h = 8{,}0$ m et la longueur du toboggan est $L = 15$ m. Il arrive en bas à la vitesse $v_B = 10$ m/s. On prend $g = 9{,}8$ m/s². a) Calculer l'énergie dissipée par frottement. b) En déduire l'intensité moyenne de la force de frottement. c) Quel pourcentage de l'énergie initiale a été dégradé ?

Cadre. Système : le baigneur, assimilé à un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. État A : en haut, $v_A = 0$, $z_A = 8{,}0$ m. État B : en bas, $v_B = 10$ m/s, $z_B = 0$. Référence des altitudes : le bas du toboggan.

Forces. Le poids, conservatif, déjà pris en compte par $E_{pp}$. La réaction normale $\vec{N}$, perpendiculaire au déplacement, de travail nul. Les frottements, non conservatifs, de travail négatif. Donc $\sum W_{nc} = W_f$.

a) Énergie dissipée.

$E_{m,A} = \dfrac{1}{2}mv_A^2 + mgz_A = 0 + 50 \times 9{,}8 \times 8{,}0 = 3\,920$ J

$E_{m,B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgz_B = \dfrac{1}{2} \times 50 \times 10^2 + 0 = 25 \times 100 = 2\,500$ J

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = 2\,500 - 3\,920 = -1\,420$ J

$E_{\text{diss}} = -\Delta E_m = 1\,420$ J $\approx 1{,}4 \times 10^3$ J

b) Intensité moyenne des frottements. On modélise les frottements par une force d'intensité constante $f$ opposée au mouvement, sur la longueur parcourue $L$ :

$W_f = -f \cdot L$, et $W_f = \Delta E_m = -1\,420$ J

$f = \dfrac{1\,420}{15} \approx 95$ N

c) Pourcentage dissipé.

$\dfrac{E_{\text{diss}}}{E_{m,A}} = \dfrac{1\,420}{3\,920} \approx 0{,}36$, soit environ $36$ % de l'énergie initiale.

Cohérence. Sans frottement, la vitesse d'arrivée aurait été $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 8{,}0} = \sqrt{156{,}8} \approx 12{,}5$ m/s, effectivement supérieure aux $10$ m/s observés. Le résultat est plausible.

Problème type 2 — la caisse qui glisse et finit par s'arrêter

Énoncé. Une caisse de masse $m = 2{,}0$ kg est lancée à la vitesse $v_A = 6{,}0$ m/s sur un sol horizontal. Elle subit une force de frottement d'intensité constante $f = 4{,}0$ N et finit par s'immobiliser. Sur quelle distance $d$ glisse-t-elle ?

Cadre. Système : la caisse. A : instant du lancement, $v_A = 6{,}0$ m/s. B : caisse immobile, $v_B = 0$. Le mouvement est horizontal, donc $z_A = z_B$ : on prend $z = 0$ sur tout le trajet, et l'énergie potentielle de pesanteur reste nulle.

Énergie mécanique en A.

$E_{m,A} = \dfrac{1}{2} \times 2{,}0 \times 6{,}0^2 + 0 = 1{,}0 \times 36 = 36$ J

Énergie mécanique en B.

$E_{m,B} = \dfrac{1}{2} \times 2{,}0 \times 0^2 + 0 = 0$ J

Théorème.

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = 0 - 36 = -36$ J $= W_f = -f \cdot d$

Résolution.

$f \cdot d = 36 \;\Rightarrow\; d = \dfrac{36}{4{,}0} = 9{,}0$ m

Réponse : la caisse glisse sur $9{,}0$ m. Toute l'énergie cinétique initiale, soit $36$ J, a été dégradée en chaleur au niveau du contact.

Variante fréquente au contrôle. Si on double la vitesse initiale ($12$ m/s au lieu de $6{,}0$), l'énergie cinétique est multipliée par quatre (car $v$ est au carré), donc la distance de glissement aussi : $d = 36$ m. C'est exactement le raisonnement des distances de freinage en sécurité routière, et les sujets adorent faire ce rapprochement.

Dernier réflexe. Sur un plan horizontal, $E_{pp}$ ne varie pas : le théorème de l'énergie mécanique se réduit alors au théorème de l'énergie cinétique. Si tu vois « horizontal » dans l'énoncé, tu sais que le terme $mgz$ va disparaître des deux côtés.

D'où vient le théorème : une démonstration en quatre lignes

Le théorème de l'énergie mécanique n'est pas une formule tombée du ciel : il se déduit du théorème de l'énergie cinétique, que tu connais déjà.

Ligne 1 — le point de départ. Le théorème de l'énergie cinétique dit que la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces :

$\Delta E_c = \sum W(\vec{F}) = W(\vec{P}) + \sum W_{nc}$

en séparant le travail du poids de celui des forces non conservatives (la réaction normale, de travail nul, ne change rien).

Ligne 2 — la propriété du poids. Le travail du poids entre deux points ne dépend que de la dénivelée, et vaut $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = -(mgz_B - mgz_A) = -\Delta E_{pp}$. C'est la définition d'une force conservative : son travail est l'opposé de la variation d'une énergie potentielle.

Ligne 3 — on remplace.

$\Delta E_c = -\Delta E_{pp} + \sum W_{nc}$

Ligne 4 — on regroupe.

$\Delta E_c + \Delta E_{pp} = \sum W_{nc}$, c'est-à-dire $\Delta E_m = \sum W_{nc}$

Le théorème de l'énergie mécanique est donc simplement le théorème de l'énergie cinétique dans lequel on a « rangé » le travail du poids du côté gauche, sous forme d'énergie potentielle. Comprendre cela règle définitivement le piège du double comptage du poids : il est déjà passé de l'autre côté de l'égalité.

Élargir : ressorts, frottements fluides, puissance dissipée, chaleur

Le ressort, autre force conservative. La force d'un ressort dérive elle aussi d'une énergie potentielle, dite élastique : $E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^2$, où $k$ est la constante de raideur en N/m et $x$ l'allongement en m. L'énergie mécanique s'écrit alors $E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe}$, et le théorème garde exactement la même forme : $\Delta E_m = \sum W_{nc}$. C'est ce qui permet d'étudier les oscillateurs, des amortisseurs de voiture aux systèmes masse-ressort.

Frottement solide contre frottement fluide. Le modèle $f = \text{constante}$ décrit bien le frottement solide entre deux surfaces. Dans un fluide (air, eau), l'intensité de la force dépend de la vitesse, souvent modélisée par $f = k v$ ou $f = k v^2$. Conséquence spectaculaire : lors d'une chute, la force de frottement croît avec la vitesse jusqu'à compenser exactement le poids — l'accélération s'annule et l'objet tombe alors à vitesse limite constante. C'est ce qui permet à un parachutiste d'atterrir vivant.

La puissance dissipée. Une énergie rapportée à une durée donne une puissance, en watts : $P = \dfrac{E_{\text{diss}}}{\Delta t}$. Pour le skieur de l'Ensemble 2, la durée de la descente se retrouve à partir des données : avec une pente rectiligne, $\sin\alpha = h/L = 0{,}20$, donc $a = \dfrac{mg\sin\alpha - f}{m} = \dfrac{120 - 52{,}5}{60} = 1{,}125$ m/s², et $\Delta t = v_B/a = 15/1{,}125 \approx 13{,}3$ s. Les $5\,250$ J dissipés donnent alors $P \approx 5\,250/13{,}3 \approx 390$ W, soit l'ordre de grandeur d'un cycliste en plein effort. Cette grandeur est centrale dans les chapitres sur les bilans énergétiques et les rendements.

Où va l'énergie « perdue ». Rien ne se perd. L'énergie mécanique dégradée devient de l'énergie interne : les surfaces frottantes s'échauffent, l'air brassé aussi. Le premier principe de la thermodynamique généralise le bilan en incluant ce terme, et l'énergie totale, elle, se conserve toujours. Le mot « non-conservation » du titre ne concerne donc que l'énergie mécanique, pas l'énergie tout court.

Un point de subtilité. Contrairement au travail du poids, le travail d'une force de frottement dépend du chemin suivi : aller d'un point à un autre par un détour dissipe davantage. C'est précisément ce qui interdit de lui associer une énergie potentielle, et donc ce qui la rend non conservative.

L'an prochain : lire un paysage d'énergie potentielle

Dans le supérieur, on renverse la perspective : au lieu de partir des forces, on part de l'énergie potentielle et on en déduit le mouvement. À une dimension, la relation est :

$F_x = -\dfrac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}$

La force pointe vers les énergies potentielles décroissantes, exactement comme une bille roule vers le bas d'une cuvette.

Comment se lit le graphe ci-dessous. La courbe est l'énergie potentielle $E_p(x)$, la droite horizontale est l'énergie mécanique $E_m$, constante s'il n'y a pas de frottement. À chaque position, l'écart vertical entre la droite et la courbe donne l'énergie cinétique : $E_c = E_m - E_p$.

Conséquence immédiate. Comme $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ ne peut jamais être négative, le système ne peut occuper que les positions où $E_p \leq E_m$. Il reste donc piégé entre $x_1$ et $x_2$, les deux points où la courbe coupe la droite : ce sont les points de rebroussement, là où la vitesse s'annule avant que le mouvement ne reparte en sens inverse. On dit que le système est dans un état lié, et il oscille au fond de son puits de potentiel.

Avec des frottements, la droite $E_m$ descend petit à petit, les points de rebroussement se rapprochent, et le système finit immobile au fond de la cuvette : c'est un pendule qui s'arrête, une bille qui se stabilise, un oscillateur amorti.

Où tu retrouveras tout cela. En mécanique du point pour les trajectoires de satellites (énergie potentielle gravitationnelle, vitesse de libération), en physique des ondes pour les oscillateurs, en chimie pour les profils énergétiques de réaction avec leur énergie d'activation, et en physique quantique où la même lecture du puits de potentiel décrit les états d'un électron dans un atome. La figure change de contexte, la méthode reste celle que tu viens d'apprendre.