Énergie mécanique et non-conservation

Quand des frottements agissent, l'énergie mécanique diminue : le théorème de l'énergie mécanique quantifie cette perte.

1 L'idée

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : $E_m = E_c + E_{pp}$.

Lorsque seules des forces conservatives (pesanteur, ressort) effectuent un travail, $E_m$ est constante : l'énergie mécanique est conservée. Dès qu'une force non conservative (frottements solides, résistance de l'air) travaille, une fraction de l'énergie mécanique se dégrade en chaleur : $E_m$ diminue.

2 Formules essentielles

Énergie mécanique

$E_m = E_c + E_{pp} = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgz$

Variation de Em

$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$

Conservation

$\sum W_{nc} = 0 \;\Longrightarrow\; E_m = \text{cste}$

Travail des frottements

$W_f = -f \cdot d \lt 0 \qquad (f \gt 0,\; d \gt 0)$

Énergie dissipée

$E_{\text{diss}} = -\sum W_{nc} = -W_f \geq 0$

3 Exemples calculés

Exemple A — Sans frottement (conservation)

Bille de masse $m = 200$ g lâchée sans vitesse initiale depuis $h = 1{,}25$ m. Niveau de référence : le bas. $g = 10$ m/s².

$E_{m,A} = 0 + mgh = 0{,}2 \times 10 \times 1{,}25 = 2{,}5$ J

Pas de frottement $\Rightarrow \sum W_{nc} = 0$ donc $E_{m,B} = 2{,}5$ J.

$\dfrac{1}{2}mv_B^2 = 2{,}5 \;\Rightarrow\; v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}5}{0{,}2}} = \sqrt{25} = 5$ m/s

Exemple B — Avec frottement (non-conservation)

Même situation, mais frottement $f = 0{,}5$ N sur une pente de longueur $L = 2{,}5$ m.

$W_f = -f \cdot L = -0{,}5 \times 2{,}5 = -1{,}25$ J

$\Delta E_m = W_f = -1{,}25$ J $\;\Rightarrow\; E_{m,B} = 2{,}5 - 1{,}25 = 1{,}25$ J

$v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}25}{0{,}2}} = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}5$ m/s (inférieure à 5 m/s : cohérent).

Méthode — Appliquer le théorème de l'énergie mécanique

Choisir deux états A (initial) et B (final) ; fixer le niveau de référence pour $E_{pp}$ (souvent au point le plus bas).
Exprimer $E_{m,A}$ et $E_{m,B}$ en faisant apparaître l'inconnue.
Identifier les forces non conservatives et calculer leur travail $W_{nc}$ (signe négatif si dissipatif).
Appliquer $E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{nc}$, puis résoudre.

Erreurs fréquentes

Ne pas inclure le travail du poids dans $\sum W_{nc}$ : il est déjà pris en compte via $\Delta E_{pp} = mg\Delta z$.
$W_f = -f \cdot d$ est toujours négatif ; l'énergie dissipée $E_{\text{diss}} = -W_f$ est positive.
La réaction normale $\vec{N}$ ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) : ne pas l'inclure dans $\sum W_{nc}$.
Ne pas confondre $\Delta E_m$ (peut être négatif) et $E_{\text{diss}}$ (toujours positif) : $E_{\text{diss}} = -\Delta E_m$.