Lois de Newton

Les mots indispensables avant de commencer

Une force est un vecteur : elle a une direction, un sens et une valeur, mesurée en newtons (N). On la dessine par une flèche, et on la note avec une flèche : $\vec{F}$.

La masse $m$ se mesure en kilogrammes (kg). Elle ne change pas selon l'endroit où tu te trouves.

Le poids est la force d'attraction exercée par la Terre : $\vec{P} = m\vec{g}$, donc en valeur $P = mg$, en newtons. Il est vertical, dirigé vers le bas. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$.

L'accélération $\vec{a}$ est un vecteur qui décrit comment le vecteur vitesse change : elle se mesure en m/s$^2$. Si $\vec{a} = \vec{0}$, la vitesse ne change ni en valeur ni en direction.

Le système, c'est le corps que tu décides d'étudier. On le modélise par un point matériel de masse $m$ : tout se passe comme si toute la matière était concentrée en un point.

Le référentiel galiléen, c'est le décor dans lequel les lois de Newton sont valables : un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport aux étoiles fixes. Pour tes exercices, le référentiel terrestre convient : c'est celui que tu utiliseras dans 100 % des cas au lycée.

Enfin, un mot qui revient tout le temps : les forces extérieures. Ce sont les forces exercées sur le système par ce qui n'appartient pas au système. Ce sont les seules qui comptent dans la deuxième loi.

Les trois lois, en français puis en formules

Première loi (principe d'inertie). Si la somme des forces extérieures est nulle, alors le vecteur vitesse ne change pas : le corps reste immobile, ou continue en ligne droite à vitesse constante. Et réciproquement.

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \Longleftrightarrow \vec{v} = \overrightarrow{\text{cste}}$

Deuxième loi (principe fondamental de la dynamique). C'est LA formule du chapitre. La somme des forces extérieures est égale à la masse multipliée par le vecteur accélération.

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$

Troisième loi (actions réciproques). Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même droite, de même valeur, mais de sens opposé.

$\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}$

À retenir absolument : ces relations sont vectorielles. En pratique on les projette sur des axes, ce qui donne une équation par axe. C'est exactement ce qu'on fait dans l'exemple qui suit.

Un exemple entièrement traité : le bloc tiré sur une table

Énoncé. Un bloc de masse $m = 2{,}0$ kg est posé sur une table horizontale sans frottement. On le tire horizontalement avec une force de valeur $F = 8{,}0$ N. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$. Calculer la réaction normale de la table et l'accélération du bloc.

Étape 1 — Système et référentiel. Système : le bloc, modélisé par un point matériel de masse $m$. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Étape 2 — Bilan des forces extérieures. Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical vers le bas. La réaction normale de la table $\vec{N}$, verticale vers le haut (pas de frottement, donc elle est perpendiculaire à la table). La force de traction $\vec{F}$, horizontale.

Étape 3 — Repère. Axe $x$ horizontal, orienté dans le sens de $\vec{F}$. Axe $y$ vertical, orienté vers le haut.

Étape 4 — Deuxième loi. $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$, c'est-à-dire $\vec{P} + \vec{N} + \vec{F} = m\,\vec{a}$.

Étape 5 — Projection sur $y$. Le bloc reste sur la table : il ne décolle pas et ne s'enfonce pas, donc $a_y = 0$.

$N - mg = m \times 0 = 0$

$N = mg = 2{,}0 \times 9{,}8 = 19{,}6$ N

Étape 6 — Projection sur $x$. Sur cet axe, $\vec{P}$ et $\vec{N}$ n'ont pas de composante : seule $\vec{F}$ compte.

$F = m\,a_x$

$a_x = \dfrac{F}{m} = \dfrac{8{,}0}{2{,}0} = 4{,}0$ m/s$^2$

Conclusion. La table pousse le bloc avec une force de $19{,}6$ N vers le haut, et le bloc accélère horizontalement à $4{,}0$ m/s$^2$ dans le sens de la traction.

Le décor : système, référentiel galiléen, point matériel

La mécanique newtonienne décrit les mouvements des corps soumis à des forces. Avant d'écrire quoi que ce soit, il faut poser trois choses.

Le système. C'est le corps (ou l'ensemble de corps) que tu étudies, et que tu choisis librement. Ce choix est décisif : il détermine ce qui est « extérieur » et donc quelles forces entrent dans le bilan. Changer de système change complètement les équations, sans changer la physique.

Le point matériel. On modélise le système par un point de masse $m$ (en kg), où l'on considère que toute la masse est concentrée. On oublie donc la forme, la rotation propre, la déformation : on ne garde que la translation.

Le référentiel galiléen (ou inertiel). C'est un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport aux étoiles fixes. Les trois lois de Newton ne sont valables que dans un tel référentiel. Le référentiel terrestre en est une très bonne approximation pour la plupart des expériences de laboratoire, et c'est celui qu'on utilise par défaut.

Forces intérieures et forces extérieures. Si le système est constitué de plusieurs solides, les forces que ces solides exercent les uns sur les autres sont intérieures : elles se compensent deux à deux, précisément grâce à la troisième loi. Seules les forces extérieures déterminent l'accélération de l'ensemble. C'est ce qui rend souvent malin de prendre « tout le système » d'abord, puis un seul corps ensuite.

Les trois lois, énoncées proprement

Première loi — principe d'inertie. Dans un référentiel galiléen, un point matériel soumis à un ensemble de forces extérieures de somme nulle a un vecteur vitesse constant : il est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme. La réciproque est vraie aussi, d'où la double flèche.

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \Longleftrightarrow \vec{v} = \overrightarrow{\text{cste}}$

Attention au « vecteur constant » : la valeur de la vitesse ET sa direction doivent rester inchangées. Un mouvement circulaire à vitesse constante en valeur ne vérifie donc PAS cette condition.

Deuxième loi — principe fondamental de la dynamique. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un point matériel de masse $m$ est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération.

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$

Conséquence lourde de sens : $\vec{a}$ a toujours la même direction et le même sens que la somme des forces, puisque $m > 0$. Ce n'est pas la vitesse qui suit les forces, c'est l'accélération.

Troisième loi — principe des actions réciproques. Si un corps A exerce sur un corps B une force $\vec{F}_{A \to B}$, alors B exerce simultanément sur A une force $\vec{F}_{B \to A}$ portée par la même droite, de même valeur et de sens opposé.

$\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}$

Le point capital : ces deux forces s'exercent sur deux corps différents. Elles ne peuvent donc jamais se compenser dans le bilan des forces d'un seul système.

Méthode complète et projection sur les axes

La relation $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$ est vectorielle : elle contient autant d'équations scalaires qu'il y a d'axes. On la projette sur un repère adapté au mouvement.

Sur l'axe $x$ : $\displaystyle\sum F_x = m\,a_x$

Sur l'axe $y$ : $\displaystyle\sum F_y = m\,a_y$

Si le mouvement est rectiligne selon $x$, alors $a_y = 0$ : la deuxième équation devient une relation entre les forces perpendiculaires au mouvement. C'est typiquement elle qui te donne la réaction normale.

La méthode, dans l'ordre, à chaque fois :

1. Définir le système étudié et le référentiel galiléen choisi.

2. Faire le bilan des forces extérieures : poids, réaction normale, tension d'un fil, frottement, force de traction… et les représenter sur un schéma.

3. Choisir un repère dont un axe est orienté selon le mouvement, ou selon l'accélération attendue. Un bon repère divise le travail par deux.

4. Écrire $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$ puis projeter sur chaque axe, en faisant très attention aux signes.

5. Résoudre le système d'équations scalaires pour obtenir $a$, puis, si l'énoncé le demande, $v(t)$ et $x(t)$ par intégrations successives.

Pour projeter une force qui n'est ni horizontale ni verticale, on décompose : si $\vec{F}$ fait un angle $\theta$ avec l'axe $x$, alors $F_x = F\cos\theta$ et $F_y = F\sin\theta$. Le signe se lit sur le schéma : positif si la flèche pointe dans le sens de l'axe, négatif sinon.

Exemple 1 — La chute libre : quand il n'y a qu'une seule force

Énoncé. On lâche une bille de masse $m = 0{,}50$ kg sans vitesse initiale. On néglige l'action de l'air. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$. Quelle est son accélération ? Quelle vitesse a-t-elle atteinte au bout de $t = 2{,}0$ s, et de quelle hauteur est-elle tombée ?

Étape 1 — Système et référentiel. Système : la bille, point matériel de masse $m$. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. On l'écrit toujours : c'est un point de barème gratuit.

Étape 2 — Bilan des forces extérieures. On néglige l'air, donc il ne reste qu'une seule force : le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical vers le bas. C'est le cas le plus simple de tout le chapitre.

Étape 3 — Repère. Un seul axe suffit puisque le mouvement est vertical : axe $z$ vertical orienté vers le bas. Ce choix est stratégique, il rendra tout positif et on évitera les erreurs de signe.

Étape 4 — Deuxième loi. $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}$ donne ici $m\vec{g} = m\,\vec{a}$.

Étape 5 — Projection sur $z$. Le poids pointe vers le bas, comme l'axe, donc sa composante est $+mg$.

$mg = m\,a_z$

On simplifie par $m$ (qui n'est pas nul) : $a_z = g = 9{,}8$ m/s$^2$.

Commentaire important : la masse a disparu. Deux billes de masses différentes tombent exactement de la même façon. C'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre, et il tombe très souvent en question de cours.

Étape 6 — Vitesse par intégration. L'accélération est la dérivée de la vitesse, donc $v_z(t) = g\,t + v_0$ avec $v_0 = 0$ (lâchée sans vitesse initiale).

$v_z(t) = 9{,}8\,t$, soit à $t = 2{,}0$ s : $v_z = 9{,}8 \times 2{,}0 = 19{,}6$ m/s.

Étape 7 — Position par intégration. La vitesse est la dérivée de la position, donc $z(t) = \dfrac{1}{2}g\,t^2$ en partant de $z = 0$.

$z(2{,}0) = \dfrac{1}{2} \times 9{,}8 \times (2{,}0)^2 = 0{,}5 \times 9{,}8 \times 4{,}0 = 19{,}6$ m.

Conclusion. Accélération constante $9{,}8$ m/s$^2$ vers le bas, vitesse $19{,}6$ m/s après 2 secondes, chute de $19{,}6$ m. La coïncidence entre les deux valeurs numériques est un pur hasard du chiffre 2 : ne la retiens surtout pas comme une règle.

Exemple 2 — Le plan incliné : bien choisir ses axes

Énoncé. Un bloc de masse $m = 4{,}0$ kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'un angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$. Déterminer la réaction normale du plan et l'accélération du bloc.

Étape 1 — Système et référentiel. Système : le bloc, point matériel de masse $m$. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Étape 2 — Bilan des forces extérieures. Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical vers le bas. La réaction normale $\vec{N}$ du plan, perpendiculaire au plan incliné (c'est le sens du mot « normale »), donc inclinée elle aussi. Pas de frottement, donc rien d'autre.

Étape 3 — Repère : le choix qui change tout. On prend l'axe $x$ le long de la pente, orienté vers le bas de la pente (sens du mouvement attendu), et l'axe $y$ perpendiculaire au plan, orienté vers l'extérieur. Avec ce repère, $\vec{N}$ est entièrement sur $y$ et l'accélération entièrement sur $x$ : il ne reste qu'à décomposer le poids.

Étape 4 — Décomposition du poids. Le poids fait un angle $\alpha$ avec la normale au plan. Ses composantes sont donc :

$P_x = +mg\sin\alpha$ (la part qui fait glisser)

$P_y = -mg\cos\alpha$ (la part qui plaque le bloc contre le plan, d'où le signe moins)

Étape 5 — Deuxième loi et projection sur $y$. Le bloc reste sur le plan : il ne décolle pas, donc $a_y = 0$.

$N - mg\cos\alpha = 0$

$N = mg\cos\alpha = 4{,}0 \times 9{,}8 \times \cos 30°$

$N = 39{,}2 \times 0{,}866 \approx 34$ N

Étape 6 — Projection sur $x$. Sur cet axe, $\vec{N}$ n'a aucune composante (elle est perpendiculaire à $x$). Il ne reste que la part glissante du poids.

$mg\sin\alpha = m\,a_x$

$a_x = g\sin\alpha = 9{,}8 \times \sin 30° = 9{,}8 \times 0{,}50 = 4{,}9$ m/s$^2$

Conclusion et commentaires. La masse disparaît encore une fois de l'accélération : $a = g\sin\alpha$ ne dépend que de l'angle. Vérifie toujours les cas limites, c'est le meilleur autocontrôle : si $\alpha = 0$ (plan horizontal), $a = 0$ et $N = mg$, cohérent ; si $\alpha = 90°$ (paroi verticale), $a = g$ et $N = 0$, on retrouve la chute libre. Si tes formules ne passent pas ce test, tu as inversé sinus et cosinus.

Exemple 3 — L'ascenseur : quand l'accélération est imposée

Énoncé. Une personne de masse $m = 60$ kg est debout dans un ascenseur. L'ascenseur monte en accélérant, avec une accélération verticale vers le haut de valeur $a = 1{,}2$ m/s$^2$. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$. Quelle force le plancher exerce-t-il sur la personne ?

Étape 1 — Système et référentiel. Système : la personne (pas l'ascenseur, pas l'ensemble). Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Remarque : on ne se place surtout PAS dans le référentiel de l'ascenseur, qui est accéléré, donc non galiléen.

Étape 2 — Bilan des forces extérieures. Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical vers le bas. La réaction du plancher $\vec{N}$, verticale vers le haut. Deux forces, c'est tout : la personne ne touche rien d'autre.

Étape 3 — Repère. Axe $z$ vertical orienté vers le haut, c'est-à-dire dans le sens de l'accélération. Donc $a_z = +1{,}2$ m/s$^2$.

Étape 4 — Deuxième loi et projection sur $z$. Ici l'accélération n'est pas nulle : c'est toute la différence avec les exemples précédents.

$N - mg = m\,a_z$

Étape 5 — Résolution.

$N = mg + m\,a_z = m(g + a_z)$

$N = 60 \times (9{,}8 + 1{,}2) = 60 \times 11{,}0 = 660$ N

Étape 6 — Interprétation. Le poids réel vaut $P = 60 \times 9{,}8 = 588$ N. Le plancher pousse donc plus fort que le poids : c'est exactement la sensation de « lourdeur » ressentie au démarrage d'une montée. Par la troisième loi, la personne appuie en retour sur le plancher avec $660$ N vers le bas.

Le cas symétrique, à connaître. Si l'ascenseur monte en ralentissant, ou descend en accélérant, alors $\vec{a}$ pointe vers le bas et $a_z = -1{,}2$ m/s$^2$ : on obtient $N = m(g - 1{,}2) = 60 \times 8{,}6 = 516$ N, c'est la sensation de légèreté. Et si le câble cassait, $a_z = -g$ donnerait $N = 0$ : l'impesanteur. Une seule équation, trois situations.

Les subtilités qui font la différence

La troisième loi ne s'utilise jamais dans un bilan de forces. C'est l'erreur numéro un. $\vec{F}_{A \to B}$ et $\vec{F}_{B \to A}$ s'exercent sur deux corps différents : elles ne se compensent donc jamais dans l'équation d'un seul système. Le seul rôle de la troisième loi est de transférer une information d'un corps à l'autre : « la tension que le fil exerce sur le bloc 1 a la même valeur que celle qu'il exerce sur le bloc 2 ».

Le référentiel galiléen n'est pas une formalité. Dans un référentiel accéléré (ascenseur qui démarre, voiture qui freine, manège), $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$ est fausse telle quelle : il manque des termes qu'on n'étudie pas au lycée. La parade est simple et sûre : travailler toujours dans le référentiel terrestre.

Poids et masse ne sont pas la même grandeur. $m$ est en kilogrammes, $P = mg$ est en newtons. Une masse de $60$ kg est un poids de $588$ N sur Terre. Écrire « un poids de 60 kg » coûte un point à chaque fois.

Accélération nulle n'est pas vitesse nulle. Un corps qui avance à vitesse constante en ligne droite a une accélération nulle et une vitesse non nulle : la somme des forces est nulle. Inversement, un corps momentanément immobile (une balle au sommet de sa trajectoire) peut avoir une accélération non nulle.

Vitesse constante en valeur ne veut pas dire vecteur vitesse constant. Dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse ne change pas mais sa direction change en permanence : $\vec{a} \neq \vec{0}$, elle pointe vers le centre. La première loi ne s'applique donc pas, et il existe forcément une force résultante non nulle dirigée vers le centre.

Toujours projeter avant de calculer. Écrire « $F = ma$ » sans préciser l'axe est le meilleur moyen de se tromper de signe. Le réflexe : une équation par axe, et chaque signe justifié par le schéma.

Problème type 1 — Deux blocs reliés par un fil

Énoncé. Sur une table horizontale sans frottement, un bloc de masse $m_1 = 3{,}0$ kg et un bloc de masse $m_2 = 2{,}0$ kg sont reliés par un fil inextensible de masse négligeable. On tire le bloc 1 avec une force horizontale $F = 10$ N, le fil entraînant le bloc 2 derrière lui. Déterminer l'accélération de l'ensemble puis la tension du fil.

Partie A — L'ensemble comme système unique.

Système : l'ensemble {bloc 1 + fil + bloc 2}, de masse totale $m_1 + m_2$. Référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces extérieures : les poids, les réactions normales de la table (qui se compensent verticalement), et la force $\vec{F}$. Les tensions du fil sont ici des forces intérieures au système : par la troisième loi elles se compensent deux à deux et n'apparaissent pas. C'est tout l'intérêt de ce choix de système.

Le fil est inextensible : les deux blocs ont donc la même accélération $a$.

Projection sur l'axe $x$ horizontal orienté dans le sens de $\vec{F}$ :

$F = (m_1 + m_2)\,a$

$a = \dfrac{F}{m_1 + m_2} = \dfrac{10}{3{,}0 + 2{,}0} = \dfrac{10}{5{,}0} = 2{,}0$ m/s$^2$

Partie B — Le bloc 2 seul, pour obtenir la tension.

Système : le bloc 2 seul. La tension du fil devient maintenant une force extérieure : c'est la seule force horizontale qui s'exerce sur lui.

Projection sur $x$ : $T = m_2\,a$

$T = 2{,}0 \times 2{,}0 = 4{,}0$ N

Partie C — Vérification par le bloc 1. On refait le calcul avec l'autre bloc, ce qui sert de contrôle. Sur le bloc 1 s'exercent horizontalement la force $\vec{F}$ vers l'avant et la tension du fil vers l'arrière, de valeur $T'$ :

$F - T' = m_1\,a$

$T' = F - m_1\,a = 10 - 3{,}0 \times 2{,}0 = 10 - 6{,}0 = 4{,}0$ N

On retrouve bien $T' = T = 4{,}0$ N, ce qui est exactement la troisième loi appliquée aux deux extrémités d'un fil de masse négligeable. Si tu ne retombes pas sur la même valeur, il y a une erreur de signe quelque part.

Ce que le correcteur attend ici : que tu changes explicitement de système entre les deux parties et que tu l'annonces ; que tu justifies l'égalité des accélérations par l'inextensibilité du fil ; que tu dises pourquoi la tension disparaît dans la partie A (force intérieure) ; que tu conserves deux chiffres significatifs, comme les données.

Problème type 2 — Chute avec frottement fluide et vitesse limite

Énoncé. Une bille de masse $m = 0{,}20$ kg tombe dans un liquide. Elle subit, en plus de son poids, une force de frottement fluide $\vec{f} = -k\,\vec{v}$ avec $k = 0{,}50$ kg$\cdot$s$^{-1}$. La bille part sans vitesse initiale. On prend $g = 9{,}8$ m/s$^2$ et on néglige la poussée d'Archimède. Établir l'équation différentielle du mouvement, déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique.

Étape 1 — Système, référentiel, repère. Système : la bille, point matériel de masse $m$. Référentiel terrestre supposé galiléen. Axe $z$ vertical orienté vers le bas, dans le sens du mouvement.

Étape 2 — Bilan des forces extérieures. Le poids $m\vec{g}$ vers le bas, et le frottement $\vec{f} = -k\vec{v}$, opposé à la vitesse donc dirigé vers le haut. Le signe moins est déjà dans la formule : il ne faut surtout pas en rajouter un autre.

Étape 3 — Deuxième loi et projection sur $z$.

$m\vec{g} + \vec{f} = m\,\vec{a}$

$mg - k\,v = m\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

Étape 4 — Forme canonique de l'équation différentielle. On divise par $m$ et on range les termes :

$\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \dfrac{k}{m}\,v = g$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec second membre constant.

Étape 5 — Vitesse limite. Quand le régime permanent est atteint, la vitesse ne varie plus : $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0$. L'équation devient $\dfrac{k}{m}v_{\lim} = g$.

$v_{\lim} = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{0{,}20 \times 9{,}8}{0{,}50} = \dfrac{1{,}96}{0{,}50} = 3{,}9$ m/s

Étape 6 — Temps caractéristique. Le coefficient devant $v$ est l'inverse d'un temps : $\tau = \dfrac{m}{k}$.

$\tau = \dfrac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40$ s

Vérification d'homogénéité, à faire systématiquement : $k$ s'exprime en kg$\cdot$s$^{-1}$, donc $m/k$ est bien en secondes. La vitesse limite est atteinte à environ 5 % près au bout de $3\tau \approx 1{,}2$ s.

Étape 7 — Allure de la courbe et valeurs remarquables. À $t = 0$, $v = 0$ donc le frottement est nul et l'accélération vaut $g = 9{,}8$ m/s$^2$ : le mouvement démarre comme une chute libre. Puis $v$ augmente, le frottement augmente, l'accélération diminue, et $v$ tend vers $v_{\lim}$ sans jamais la dépasser. La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale à l'instant $t = \tau$ : c'est la construction graphique attendue.

Étape 8 — Résolution numérique par la méthode d'Euler. Si l'énoncé demande une valeur approchée, on utilise $v(t + \Delta t) \approx v(t) + a(t)\,\Delta t$ avec $a(t) = g - \dfrac{k}{m}v(t)$ et ici $\dfrac{k}{m} = 2{,}5$ s$^{-1}$.

Avec $\Delta t = 0{,}10$ s : $a(0) = 9{,}8 - 2{,}5 \times 0 = 9{,}8$ m/s$^2$, donc $v(0{,}10) = 0 + 9{,}8 \times 0{,}10 = 0{,}98$ m/s.

Ensuite $a(0{,}10) = 9{,}8 - 2{,}5 \times 0{,}98 = 9{,}8 - 2{,}45 = 7{,}35$ m/s$^2$, donc $v(0{,}20) = 0{,}98 + 7{,}35 \times 0{,}10 = 1{,}7$ m/s.

On voit déjà l'accélération diminuer : le calcul reproduit bien la courbe.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques : ne pas oublier de préciser l'orientation de l'axe avant tout calcul ; ne pas ajouter un signe moins au frottement déjà signé ; ne jamais écrire $v_{\lim}$ en posant $v$ constante « parce que ça se voit » sans dire que $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0$ ; vérifier l'homogénéité de $\tau$ ; respecter les chiffres significatifs des données ; et conclure par une phrase en français, pas par un nombre nu.

La quantité de mouvement : la vraie forme de la deuxième loi

On définit le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel par $\vec{p} = m\,\vec{v}$, en kg$\cdot$m$\cdot$s$^{-1}$. C'est la grandeur qui mesure « l'élan » d'un corps : elle combine sa masse et sa vitesse.

La deuxième loi s'écrit alors sous sa forme la plus générale :

$\displaystyle\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$

Si la masse est constante, on retrouve exactement ce que tu connais : $\dfrac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = m\vec{a}$. Mais cette écriture reste valable quand la masse varie, par exemple pour une fusée qui éjecte du carburant : c'est pour cela qu'elle est plus fondamentale.

Conséquence immédiate. Si la somme des forces extérieures est nulle, alors $\dfrac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}$, donc $\vec{p}$ est constant : c'est la conservation de la quantité de mouvement. Et pour un corps de masse constante, $\vec{p}$ constant équivaut à $\vec{v}$ constant : la première loi n'est donc rien d'autre qu'un cas particulier de la deuxième. Les trois lois ne sont pas trois faits indépendants ; la première est une conséquence, la troisième est ce qui rend la conservation possible pour un système de plusieurs corps.

C'est cette conservation qui permet de traiter les chocs et les propulsions sans jamais connaître le détail des forces pendant l'impact : on compare simplement $\vec{p}$ avant et après. Recul d'une arme, propulsion d'une fusée, choc de deux palets : même équation.

Où Newton réapparaît dans tout le reste du programme

Mouvement dans un champ uniforme. Quand la seule force est le poids, la deuxième loi donne $\vec{a} = \vec{g}$ : deux intégrations successives fournissent $\vec{v}(t)$ puis les équations horaires, et en éliminant le temps, l'équation de la trajectoire — une parabole. Le même raisonnement mot pour mot, avec la force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$ à la place du poids, décrit une particule chargée entre deux plaques. Une seule méthode, deux chapitres.

Mouvement dans un champ de gravitation. Pour un satellite en orbite circulaire, la seule force est l'attraction gravitationnelle, dirigée vers le centre de l'astre. La deuxième loi impose alors que $\vec{a}$ soit elle aussi dirigée vers le centre : c'est ce qui démontre que le mouvement est uniforme et permet d'obtenir la vitesse orbitale, la période, et finalement la troisième loi de Kepler. Les lois de Kepler, historiquement observées, deviennent des conséquences des lois de Newton : c'est le moment où la physique cesse de décrire pour expliquer.

Repère de Frenet et mouvement circulaire. Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$, on décompose l'accélération dans un repère qui suit le mobile : sa composante tangentielle est nulle (la valeur de la vitesse ne change pas) et sa composante normale vaut $\dfrac{v^2}{R}$, dirigée vers le centre. La deuxième loi impose donc l'existence d'une force résultante centripète de valeur $\dfrac{mv^2}{R}$. C'est ce qui explique pourquoi tu es plaqué contre la portière dans un virage.

Lien avec l'énergie. À partir de $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$, un travail mathématique conduit au théorème de l'énergie cinétique. Forces et énergies décrivent la même physique sous deux angles : la dynamique donne accès à la chronologie complète du mouvement, l'énergie donne des relations entre deux états sans se soucier du chemin. Savoir choisir l'outil le plus rapide est une compétence évaluée au bac.

Méthode d'Euler. Dès que l'équation différentielle n'a pas de solution analytique simple, on la résout numériquement pas à pas. C'est la porte d'entrée vers la simulation numérique en physique, et c'est aussi ce que fait, en beaucoup plus raffiné, n'importe quel moteur physique de jeu vidéo.

Les limites de Newton, et ce qui t'attend après

Les lois de Newton ne sont pas vraies partout. Elles constituent une excellente approximation tant que les vitesses restent très inférieures à celle de la lumière et que les objets sont beaucoup plus grands qu'un atome. Au-delà, la relativité restreinte et la mécanique quantique prennent le relais. Ce n'est pas que Newton se soit trompé : son domaine de validité est simplement borné, ce qui est le sort normal de toute théorie physique.

Les référentiels non galiléens. Dans le supérieur, on apprend à travailler quand même dans un référentiel accéléré, en ajoutant des termes correctifs appelés forces d'inertie. Elles expliquent la sensation d'être « plaqué vers l'extérieur » dans un manège, ou la déviation des vents à la surface de la Terre. Au lycée, on les évite en restant dans le référentiel terrestre ; c'est un choix pédagogique, pas une impossibilité.

Du point matériel au solide. On a modélisé tous les corps par un point. En réalité, un solide peut aussi tourner sur lui-même, et une force ne produit pas le même effet selon l'endroit où elle s'applique. La suite introduit le centre d'inertie (dont le mouvement obéit exactement à $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$, ce qui justifie rétrospectivement tout ce que tu as fait) et le moment d'une force, qui gouverne la rotation.

Les équations différentielles. Tu as vu qu'appliquer la deuxième loi produit très souvent une équation différentielle. En terminale on te donne la forme de la solution ou on résout numériquement ; en post-bac, tu apprendras à la résoudre toi-même, et tu découvriras que l'oscillateur harmonique, le circuit RC, la désintégration radioactive et la chute avec frottement sont, mathématiquement, le même problème sous quatre déguisements.

Le point de vue le plus élégant. Il existe des reformulations de la mécanique — dites lagrangienne et hamiltonienne — où l'on ne parle plus de forces mais d'énergies, et où les équations du mouvement se déduisent d'un unique principe. Elles donnent exactement les mêmes prédictions que Newton, mais sont infiniment plus commodes dès que le problème se complique, et ce sont elles qui servent de pont vers la physique moderne.