V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Physique-ChimieTerminaleMouvement et interactionsExercices + corrigé

Mouvement des satellites et des planètes — Exercices

De l'ISS au satellite géostationnaire, en passant par les lunes de Saturne.
⏱ ~35 min✎ Calculatrice autorisée
1Période de l'ISS/ 4 pts
L'ISS orbite à une altitude $h = 400$ km. Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_{\text{Terre}} = 6{,}37 \times 10^{6}$ m.
  1. Calculer le rayon orbital $R$ de l'ISS.
  2. Appliquer la 3e loi de Kepler pour calculer la période $T$. Convertir en minutes.
  3. En déduire la vitesse orbitale $v$.
2Satellite géostationnaire/ 4 pts
Un satellite géostationnaire a une période $T = 24{,}0$ h. Données : mêmes que l'exercice 1.
  1. Justifier qualitativement pourquoi ce satellite paraît immobile depuis le sol.
  2. Calculer le rayon orbital $R_{\text{géo}}$.
  3. En déduire l'altitude $h$ au-dessus de la surface terrestre.
3Vérification de la 3e loi — Système solaire/ 3 pts
Données :
  • Terre : $T_{\oplus} = 1{,}00$ an, $a_{\oplus} = 1{,}00$ UA
  • Mars : $T_{\text{Mars}} = 1{,}88$ an, $a_{\text{Mars}} = 1{,}52$ UA
  1. Calculer $T_{\oplus}^2/a_{\oplus}^3$ et $T_{\text{Mars}}^2/a_{\text{Mars}}^3$ en an²·UA⁻³.
  2. Conclure sur la validité de la 3e loi de Kepler.
4Comparer deux satellites terrestres/ 3 pts
Deux satellites $A$ et $B$ orbitent autour de la Terre. Le satellite $A$ a une période $T_A = 2{,}00$ h.
  1. Le satellite $B$ a un rayon orbital $R_B = 2R_A$. Sans calculer $GM$, exprimer $T_B$ en fonction de $T_A$ puis calculer $T_B$ en heures.
  2. Comparer qualitativement les vitesses orbitales $v_A$ et $v_B$.
5Masse de Saturne à partir de Titan/ 4 pts
Titan a une orbite quasi circulaire de rayon $R = 1{,}22 \times 10^{9}$ m et de période $T = 15{,}9$ jours. Donnée : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻².
  1. Exprimer $M_{\text{Saturne}}$ en fonction de $G$, $T$ et $R$ à partir de la 3e loi de Kepler.
  2. Calculer numériquement $M_{\text{Saturne}}$.
  3. La valeur de référence est $5{,}68 \times 10^{26}$ kg. Calculer l'écart relatif et commenter.
Corrigé détaillé
1Période de l'ISS
a) \(R = R_{\text{Terre}} + h = 6{,}37\times10^{6} + 4{,}00\times10^{5}\) \(R = 6{,}77\times10^{6} \text{ m}\)
b) \(T^2 = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GM} = \dfrac{39{,}48\times3{,}104\times10^{20}}{3{,}982\times10^{14}} = 3{,}077\times10^{7} \text{ s}^2\) \(T = \sqrt{3{,}077\times10^{7}} \approx 5{,}55\times10^{3} \text{ s} \approx 92{,}4 \text{ min}\)
c) \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\pi\times6{,}77\times10^{6}}{5{,}55\times10^{3}}\) \(v \approx 7{,}67\times10^{3} \text{ m·s}^{-1}\)
2Satellite géostationnaire
a) \(\text{Sa période } T = 24 \text{ h coïncide avec la rotation terrestre.}\) \(\text{Placé en orbite équatoriale, il reste fixe au-dessus du même point du globe.}\)
b) \(R_{\text{géo}}^{3} = \dfrac{GMT^2}{4\pi^2} = \dfrac{3{,}982\times10^{14}\times(86\,400)^2}{39{,}48} = \dfrac{3{,}982\times10^{14}\times7{,}465\times10^{9}}{39{,}48} \approx 7{,}53\times10^{22} \text{ m}^3\) \(R_{\text{géo}} = \left(7{,}53\times10^{22}\right)^{1/3} \approx 4{,}22\times10^{7} \text{ m}\)
c) \(h = R_{\text{géo}} - R_{\text{Terre}} = 4{,}22\times10^{7} - 6{,}37\times10^{6}\) \(h \approx 3{,}58\times10^{7} \text{ m} = 35\,800 \text{ km}\)
33e loi de Kepler
a) \(\dfrac{T_{\oplus}^2}{a_{\oplus}^3} = \dfrac{(1{,}00)^2}{(1{,}00)^3} = 1{,}00 \quad;\quad \dfrac{T_{\text{Mars}}^2}{a_{\text{Mars}}^3} = \dfrac{(1{,}88)^2}{(1{,}52)^3} = \dfrac{3{,}534}{3{,}512}\) \(\approx 1{,}006 \text{ an}^2\text{·UA}^{-3}\)
b) \(\text{Les deux rapports valent } 1{,}00 \text{ an}^2\text{·UA}^{-3} \text{ à moins de } 0{,}6\,\% \text{ près.}\) \(\text{La 3e loi de Kepler est vérifiée expérimentalement.}\)
4Comparer deux satellites
a) \(\dfrac{T_B^2}{R_B^3} = \dfrac{T_A^2}{R_A^3} \Rightarrow T_B^2 = T_A^2\times\dfrac{(2R_A)^3}{R_A^3} = 8\,T_A^2 \Rightarrow T_B = 2\sqrt{2}\,T_A = 2\sqrt{2}\times2{,}00\) \(T_B = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66 \text{ h}\)
b) \(v_B = \dfrac{2\pi R_B}{T_B} = \dfrac{2\pi\cdot2R_A}{2\sqrt{2}\,T_A} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2\pi R_A}{T_A} = \dfrac{v_A}{\sqrt{2}}\) \(v_B \approx 0{,}707\,v_A \text{ : le satellite } B \text{ est plus lent que } A.\)
5Masse de Saturne
a) \(\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} \Rightarrow\) \(M_{\text{Saturne}} = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}\)
b) \(T = 15{,}9\times86\,400 = 1{,}374\times10^{6}\text{ s}\,;\quad M = \dfrac{4\pi^2\times(1{,}22\times10^{9})^3}{6{,}67\times10^{-11}\times(1{,}374\times10^{6})^2} = \dfrac{7{,}169\times10^{28}}{1{,}259\times10^{2}}\) \(M_{\text{Saturne}} \approx 5{,}69\times10^{26} \text{ kg}\)
c) \(\varepsilon = \dfrac{|5{,}69-5{,}68|}{5{,}68}\times100 \approx 0{,}2\,\%\) \(\text{Écart inférieur à } 0{,}5\,\% \text{ : l'hypothèse d'orbite circulaire est pleinement justifiée.}\)