Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle arrive ? Pas de panique. On va repartir des bases indispensables — la gravitation, la force centripète, ce qu'est une orbite — et te donner l'essentiel pour devenir fonctionnel très vite. On reste en orbite circulaire, comme dans tout le programme. Tu vas voir, avec trois formules et un peu de logique, tu peux déjà t'en sortir.
1. La loi de gravitation universelle (Newton)
Deux corps de masses M et m, séparés par une distance d, s'attirent avec une force :
$F = G \frac{M \cdot m}{d^2}$
G est la constante de gravitation universelle : $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.
Cette force est toujours attractive, dirigée selon la droite qui relie les centres des deux corps.
2. Mouvement circulaire uniforme — force centripète
Pour qu'un objet décrive un cercle à vitesse constante, il doit subir une force dirigée vers le centre du cercle, appelée force centripète. Sa valeur est :
$F_c = m \frac{v^2}{R}$
où m est la masse de l'objet, v sa vitesse et R le rayon du cercle.
On peut aussi l'écrire avec la période T (temps pour faire un tour) : $v = \frac{2\pi R}{T}$, donc $F_c = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
3. Orbite circulaire : la gravitation joue le rôle de force centripète
Un satellite (masse m) tourne autour d'un astre central (masse M) sur une orbite circulaire de rayon R. La seule force qui agit sur lui est la gravitation. On écrit donc :
Force de gravitation = Force centripète
$G \frac{M \cdot m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$
Les trois lois de Kepler (version Terminale, orbites circulaires)
1ère loi (orbites) : Les planètes décrivent des ellipses autour du Soleil. En Terminale, on simplifie en considérant des orbites circulaires : le rayon orbital R est constant.
2ème loi (aires) : Le segment astre-planète balaie des aires égales en des temps égaux. Conséquence pour un cercle : la vitesse est constante le long de l'orbite.
3ème loi (périodes) : Pour tous les satellites d'un même astre central, le rapport $\frac{T^2}{R^3}$ est constant. Cette constante ne dépend que de la masse M de l'astre central :
$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$
Formules à retenir absolument
• 3ème loi de Kepler (orbite circulaire) : $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$
• Vitesse orbitale : $v = \frac{2\pi R}{T}$ ou $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
• Masse de l'astre central : $M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$
Piège à éviter : altitude h vs rayon orbital R
Le rayon orbital R est la distance entre le centre de l'astre central et le satellite. Si on te donne l'altitude h (distance à la surface), tu dois ajouter le rayon de l'astre :
$R = R_{\text{astre}} + h$
Exercice 1 — Reconnaître les formules (à trous)
Associe chaque expression à ce qu'elle permet de calculer. Complète les trous avec le bon symbole parmi : $v$, $M$, $T$, $R$, $G$.
a) $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \underline{\hspace{1.1em}}}$ — cette formule permet de calculer la masse de l'astre central si on connaît T et R.
b) $\underline{\hspace{1.1em}} = \frac{2\pi R}{T}$ — cette formule donne la vitesse orbitale.
c) $\underline{\hspace{1.1em}} = R_{\text{Terre}} + h$ — c'est le rayon orbital.
a) $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$ — cette formule permet de calculer la masse de l'astre central si on connaît T et R.
b) $v = \frac{2\pi R}{T}$ — cette formule donne la vitesse orbitale.
c) $R = R_{\text{Terre}} + h$ — c'est le rayon orbital.
Exercice 2 — Appliquer la 3ème loi (à trous, on le fait ensemble)
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $R = 7{,}0 \times 10^6$ m. On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻² et $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg.
On veut calculer sa période T. On utilise la 3ème loi de Kepler : $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$.
Étape 1 — On isole $T^2$ : $T^2 = \frac{4\pi^2 \times R^3}{G \times \underline{\hspace{1.1em}}}$
Étape 2 — On calcule $R^3$ : $R^3 = (7{,}0 \times 10^6)^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ m³
Étape 3 — On calcule le numérateur : $4\pi^2 \times R^3 = 4 \times 9{,}87 \times 3{,}43 \times 10^{20} \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{21}$
Étape 4 — On calcule le dénominateur : $G \times M = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{14}$
Étape 5 — $T^2 = \frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}} \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^7$ s²
Étape 6 — $T = \sqrt{T^2} \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3$ s (soit environ 92 minutes).
Étape 1 — $T^2 = \frac{4\pi^2 \times R^3}{G \times M}$
Étape 2 — $R^3 = (7{,}0 \times 10^6)^3 = 3{,}43 \times 10^{20}$ m³
Étape 3 — $4\pi^2 \times R^3 = 4 \times 9{,}87 \times 3{,}43 \times 10^{20} \approx 13{,}5 \times 10^{21}$
Détail : $4 \times 9{,}87 \times 3{,}43 = 135{,}4$, donc $135{,}4 \times 10^{20} = 13{,}5 \times 10^{21}$ — on conserve la puissance $10^{21}$ demandée par l'énoncé.
Étape 4 — $G \times M = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \approx 3{,}98 \times 10^{14}$
Étape 5 — $T^2 = \frac{13{,}5 \times 10^{21}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{13{,}5}{3{,}98} \times 10^{7} \approx 3{,}39 \times 10^7$ s²
Étape 6 — $T = \sqrt{3{,}39 \times 10^7} \approx 5{,}82 \times 10^3$ s, soit environ 97 minutes.
Remarque sur la valeur de 92 minutes indiquée dans l'énoncé — Ce chiffre est celui de l'ISS, qui orbite à environ 400 km d'altitude, ce qui correspond à un rayon orbital $R \approx 6{,}77 \times 10^6$ m, inférieur au $7{,}0 \times 10^6$ m de cet exercice. Un rayon plus grand implique une période plus longue : avec les données de l'énoncé, le résultat exact est bien 97 minutes, et non 92.
Exercice 3 — Distinguer R et h (à trous)
Un satellite est en orbite à une altitude $h = 600$ km au-dessus de la surface terrestre. Le rayon de la Terre est $R_{\text{Terre}} = 6{,}37 \times 10^6$ m.
Complète : Le rayon orbital $R$ est la distance entre le centre de la Terre et le satellite.
$R = R_{\text{Terre}} + h = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^5 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6$ m.
Si on utilisait $h$ à la place de $R$ dans la 3ème loi de Kepler, le résultat serait faux car la gravitation dépend de la distance au centre de la Terre, pas à sa surface.
$R = R_{\text{Terre}} + h = 6{,}37 \times 10^6 + 6{,}00 \times 10^5 = 6{,}97 \times 10^6$ m.
Si on utilisait $h$ à la place de $R$ dans la 3ème loi de Kepler, le résultat serait faux car la gravitation dépend de la distance au centre de la Terre, pas à sa surface.
Ah oui, Kepler, les satellites... ça te revient maintenant. On va structurer tout ça proprement : le cours précis, la méthode pas-à-pas pour résoudre n'importe quel problème orbital, et deux exercices d'application directe pour vérifier que la mécanique est bien en place. On reste en orbite circulaire, c'est le cadre du programme.
1. Les trois lois de Kepler (rappel)
• 1ère loi (orbites) : Trajectoire elliptique, Soleil à un foyer. En Terminale : orbite circulaire de rayon R constant.
• 2ème loi (aires) : Aire balayée constante par unité de temps. En orbite circulaire : vitesse constante $v$ le long de l'orbite.
• 3ème loi (périodes) : $\frac{T^2}{R^3} = \text{constante}$ pour tous les satellites d'un même astre central. La constante vaut $\frac{4\pi^2}{GM}$ où M est la masse de l'astre central.
2. Dérivation de la 3ème loi pour une orbite circulaire
On égale force de gravitation et force centripète :
$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}$
On simplifie par m, on isole $T^2$ :
$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} R^3$
D'où $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$.
3. Formules à maîtriser
• $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$
• $v = \frac{2\pi R}{T}$ (définition de la vitesse sur un cercle)
• $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ (en combinant les deux précédentes)
• $M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$ (pour déterminer la masse de l'astre central)
4. Pièges classiques
• Confondre altitude h et rayon orbital R : $R = R_{\text{astre}} + h$.
• Oublier de convertir les unités : T en secondes, R en mètres.
• Appliquer la 3ème loi à des satellites d'astres différents (la constante $\frac{4\pi^2}{GM}$ dépend de M).
Étape 1 — Recenser les données
Identifie dans l'énoncé : période T, rayon orbital R (ou altitude h + rayon de l'astre), vitesse v, masse M de l'astre central. Note les constantes fournies (G, rayons des planètes...).
Étape 2 — Vérifier les unités
Convertis tout en unités SI : T en secondes (s), R en mètres (m), v en m/s, M en kg. Si on te donne une altitude h, calcule $R = R_{\text{astre}} + h$.
Étape 3 — Choisir la formule adaptée
• Tu cherches T et tu as R (et M) → $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$.
• Tu cherches R et tu as T (et M) → $R^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2}$.
• Tu cherches v et tu as R et T → $v = \frac{2\pi R}{T}$.
• Tu cherches v et tu as R (et M) → $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
• Tu cherches M et tu as R et T → $M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$.
Étape 4 — Comparer deux satellites (même astre central)
Si deux satellites A et B orbitent autour du même astre : $\frac{T_A^2}{R_A^3} = \frac{T_B^2}{R_B^3}$. Tu peux ainsi trouver une période ou un rayon sans même connaître G ou M.
Étape 5 — Vérifier la cohérence
Une période en secondes doit être positive. Une vitesse orbitale autour de la Terre est de l'ordre de quelques km/s (7000-8000 m/s pour l'ISS). Un satellite géostationnaire a une période de 24 h et orbite à environ 42 000 km du centre de la Terre.
Exercice 1 — Calculer une période (application directe, à trous)
Un satellite d'observation tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $R = 8{,}00 \times 10^6$ m.
Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg.
Méthode : on applique la 3ème loi de Kepler.
a) Écris la formule liant T, R, G et M : $\frac{T^2}{\underline{\hspace{1.1em}}^3} = \frac{4\pi^2}{G \underline{\hspace{1.1em}}}$
b) Isole $T^2$ : $T^2 = \frac{4\pi^2 \times \underline{\hspace{1.1em}}^3}{G \times \underline{\hspace{1.1em}}}$
c) Calcule $R^3$ : $R^3 = (8{,}00 \times 10^6)^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ m³
d) Calcule $GM$ : $GM = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{14}$ (garde 3 chiffres significatifs)
e) Déduis $T^2$ puis $T$ : $T^2 = \frac{4\pi^2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{20}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{14}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^7$ s², donc $T = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3$ s.
f) Convertis en minutes : $T \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ min.
a) $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$
b) $T^2 = \frac{4\pi^2 \times R^3}{G \times M}$
c) $R^3 = (8{,}00 \times 10^6)^3 = 5{,}12 \times 10^{20}$ m³
d) $GM = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} = 3{,}98 \times 10^{14}$ (en N·m²/kg, ou m³/s²)
e) $T^2 = \frac{4\pi^2 \times 5{,}12 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{39{,}48 \times 5{,}12 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{2{,}02 \times 10^{22}}{3{,}98 \times 10^{14}} \approx 5{,}08 \times 10^7$ s²
$T = \sqrt{5{,}08 \times 10^7} \approx 7{,}13 \times 10^3$ s.
f) $T \approx \frac{7{,}13 \times 10^3}{60} \approx 119$ min (soit environ 2 h).
Exercice 2 — Calculer une vitesse orbitale (application directe, à trous)
On reprend le satellite de l'exercice 1 : $R = 8{,}00 \times 10^6$ m, $T = 7{,}13 \times 10^3$ s.
a) Rappelle la formule de la vitesse pour un mouvement circulaire uniforme : $v = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \pi \underline{\hspace{1.1em}}}{T}$
b) Application numérique : $v = \frac{2 \times \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6}{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^7}{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3$ m/s.
c) Vérifie avec l'autre formule $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ : $v = \sqrt{\frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{14}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^7} \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^3$ m/s. Les deux résultats sont-ils cohérents ?
a) $v = \frac{2 \pi R}{T}$
b) $v = \frac{2 \times \pi \times 8{,}00 \times 10^6}{7{,}13 \times 10^3} = \frac{5{,}03 \times 10^7}{7{,}13 \times 10^3} \approx 7{,}05 \times 10^3$ m/s.
c) $v = \sqrt{\frac{3{,}98 \times 10^{14}}{8{,}00 \times 10^6}} = \sqrt{4{,}975 \times 10^7} \approx 7{,}05 \times 10^3$ m/s. Les deux résultats sont parfaitement cohérents (environ 7,05 km/s).
Exercice 3 — Piège altitude / rayon orbital (à trous)
Un satellite est placé à une altitude $h = 500$ km au-dessus de la surface de la Terre. On donne $R_{\text{Terre}} = 6{,}37 \times 10^6$ m.
Complète la démarche :
Le rayon orbital $R$ est la distance au centre de la Terre :
$R = R_{\text{Terre}} + h = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^5 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^6$ m.
Si on utilisait directement $h = 500$ km dans la 3ème loi de Kepler, on obtiendrait une période $T$ sous-estimée / surestimée (raye la mention fausse) car la gravitation diminue quand la distance au centre augmente.
$R = R_{\text{Terre}} + h = 6{,}37 \times 10^6 + 5{,}00 \times 10^5 = 6{,}87 \times 10^6$ m.
Si on utilisait directement $h = 500$ km dans la 3ème loi de Kepler, on obtiendrait une période $T$ sous-estimée car la gravitation diminue quand la distance au centre augmente (R réel est plus grand que h, donc la période réelle est plus longue que celle calculée avec h).
Maintenant que la méthode est en place, on va répéter le même geste cinq fois pour que ça devienne un automatisme. Cinq mini-exercices quasi identiques : on fait varier les nombres, mais la structure est toujours la même. Tu vas appliquer la 3ème loi de Kepler pour calculer une période ou un rayon. Aucune surprise, que de la réussite.
Exercice 1 — Calcul de période
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $R = 7{,}50 \times 10^6$ m.
Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg.
Calcule sa période $T$ en secondes puis en minutes.
$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM} = \underline{\hspace{1.1em}}$ s²
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ s
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ min
$R^3 = (7{,}50 \times 10^6)^3 = 4{,}22 \times 10^{20}$ m³
$GM = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} = 3{,}98 \times 10^{14}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 \times 4{,}22 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{39{,}48 \times 4{,}22 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{1{,}666 \times 10^{22}}{3{,}98 \times 10^{14}} \approx 4{,}19 \times 10^7$ s²
$T = \sqrt{4{,}19 \times 10^7} \approx 6{,}47 \times 10^3$ s
$T = \frac{6{,}47 \times 10^3}{60} \approx 108$ min
Exercice 2 — Calcul de période
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $R = 9{,}00 \times 10^6$ m.
Mêmes données que l'exercice 1.
Calcule sa période $T$ en secondes puis en minutes.
$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM} = \underline{\hspace{1.1em}}$ s²
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ s
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ min
$R^3 = (9{,}00 \times 10^6)^3 = 7{,}29 \times 10^{20}$ m³
$GM = 3{,}98 \times 10^{14}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 \times 7{,}29 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{39{,}48 \times 7{,}29 \times 10^{20}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{2{,}878 \times 10^{22}}{3{,}98 \times 10^{14}} \approx 7{,}23 \times 10^7$ s²
$T = \sqrt{7{,}23 \times 10^7} \approx 8{,}50 \times 10^3$ s
$T = \frac{8{,}50 \times 10^3}{60} \approx 142$ min
Exercice 3 — Calcul de période
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $R = 1{,}00 \times 10^7$ m.
Mêmes données que l'exercice 1.
Calcule sa période $T$ en secondes puis en minutes.
$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM} = \underline{\hspace{1.1em}}$ s²
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ s
$T = \underline{\hspace{1.1em}}$ min
$R^3 = (1{,}00 \times 10^7)^3 = 1{,}00 \times 10^{21}$ m³
$GM = 3{,}98 \times 10^{14}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 \times 1{,}00 \times 10^{21}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{39{,}48 \times 1{,}00 \times 10^{21}}{3{,}98 \times 10^{14}} = \frac{3{,}948 \times 10^{22}}{3{,}98 \times 10^{14}} \approx 9{,}92 \times 10^7$ s²
$T = \sqrt{9{,}92 \times 10^7} \approx 9{,}96 \times 10^3$ s
$T = \frac{9{,}96 \times 10^3}{60} \approx 166$ min
Exercice 4 — Calcul de rayon orbital
Un satellite tourne autour de la Terre avec une période $T = 5{,}00 \times 10^3$ s.
Mêmes données que l'exercice 1.
Calcule son rayon orbital $R$.
$R^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m³
$R = \underline{\hspace{1.1em}}$ m
$T^2 = (5{,}00 \times 10^3)^2 = 2{,}50 \times 10^7$ s²
$GM T^2 = 3{,}98 \times 10^{14} \times 2{,}50 \times 10^7 = 9{,}95 \times 10^{21}$
$R^3 = \frac{9{,}95 \times 10^{21}}{4\pi^2} = \frac{9{,}95 \times 10^{21}}{39{,}48} \approx 2{,}52 \times 10^{20}$ m³
$R = (2{,}52 \times 10^{20})^{1/3} \approx 6{,}32 \times 10^6$ m
Exercice 5 — Calcul de rayon orbital
Un satellite tourne autour de la Terre avec une période $T = 1{,}00 \times 10^4$ s.
Mêmes données que l'exercice 1.
Calcule son rayon orbital $R$.
$R^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m³
$R = \underline{\hspace{1.1em}}$ m
$T^2 = (1{,}00 \times 10^4)^2 = 1{,}00 \times 10^8$ s²
$GM T^2 = 3{,}98 \times 10^{14} \times 1{,}00 \times 10^8 = 3{,}98 \times 10^{22}$
$R^3 = \frac{3{,}98 \times 10^{22}}{4\pi^2} = \frac{3{,}98 \times 10^{22}}{39{,}48} \approx 1{,}01 \times 10^{21}$ m³
$R = (1{,}01 \times 10^{21})^{1/3} \approx 1{,}00 \times 10^7$ m
Place au niveau attendu en contrôle ou au bac. Les exercices sont maintenant ouverts, sans trous, et couvrent tout ce qu'on peut te demander : calcul de période, détermination d'altitude, comparaison de satellites, calcul de masse d'un astre central. Tu vas aussi manipuler les deux sens de la 3ème loi : pour calculer une grandeur ou pour vérifier une proportionnalité. Montre que tu maîtrises.
Exercice 1 — Période de l'ISS (type contrôle)
La Station Spatiale Internationale (ISS) orbite à une altitude $h = 420$ km au-dessus de la surface terrestre.
Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_{\text{Terre}} = 6{,}37 \times 10^6$ m.
a) Calcule le rayon orbital $R$ de l'ISS.
b) Applique la 3ème loi de Kepler pour calculer la période $T$ en secondes.
c) Convertis cette période en minutes.
d) Déduis-en la vitesse orbitale $v$ de l'ISS en m/s puis en km/h.
a) $R = R_{\text{Terre}} + h = 6{,}37 \times 10^6 + 4{,}20 \times 10^5 = 6{,}79 \times 10^6$ m.
b) $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM} = \frac{39{,}48 \times (6{,}79 \times 10^6)^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}$
$R^3 = (6{,}79 \times 10^6)^3 = 3{,}13 \times 10^{20}$ m³
$4\pi^2 R^3 = 39{,}48 \times 3{,}13 \times 10^{20} = 1{,}236 \times 10^{22}$
$GM = 3{,}98 \times 10^{14}$
$T^2 = \frac{1{,}236 \times 10^{22}}{3{,}98 \times 10^{14}} = 3{,}11 \times 10^7$ s²
$T = \sqrt{3{,}11 \times 10^7} \approx 5{,}58 \times 10^3$ s.
c) $T = \frac{5{,}58 \times 10^3}{60} \approx 93{,}0$ min.
d) $v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \times 6{,}79 \times 10^6}{5{,}58 \times 10^3} = \frac{4{,}27 \times 10^7}{5{,}58 \times 10^3} \approx 7{,}65 \times 10^3$ m/s.
En km/h : $v = 7{,}65 \times 10^3 \times 3{,}6 \approx 2{,}75 \times 10^4$ km/h.
Exercice 2 — Satellite géostationnaire (type brevet/contrôle)
Un satellite géostationnaire reste toujours à la verticale du même point de l'équateur terrestre. Sa période de révolution est donc égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même : $T = 23$ h 56 min (jour sidéral).
Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_{\text{Terre}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_{\text{Terre}} = 6{,}37 \times 10^6$ m.
a) Explique en une phrase pourquoi ce satellite paraît immobile depuis le sol terrestre.
b) Convertis $T$ en secondes (1 h = 3600 s).
c) En utilisant la 3ème loi de Kepler, calcule le rayon orbital $R_{\text{géo}}$ de ce satellite.
d) Déduis-en son altitude $h$ au-dessus de la surface terrestre.
a) Le satellite a la même période de révolution que la période de rotation de la Terre ; placé dans le plan équatorial, il survole donc toujours le même point du globe.
b) $T = 23 \times 3600 + 56 \times 60 = 82 800 + 3 360 = 86 160$ s.
c) $R^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2} = \frac{3{,}98 \times 10^{14} \times (86 160)^2}{39{,}48}$
$T^2 = 7{,}424 \times 10^9$ s²
$GM T^2 = 3{,}98 \times 10^{14} \times 7{,}424 \times 10^9 = 2{,}955 \times 10^{24}$
$R^3 = \frac{2{,}955 \times 10^{24}}{39{,}48} = 7{,}49 \times 10^{22}$ m³
$R = (7{,}49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4{,}21 \times 10^7$ m.
d) $h = R - R_{\text{Terre}} = 4{,}21 \times 10^7 - 6{,}37 \times 10^6 = 3{,}57 \times 10^7$ m, soit environ 35 700 km.
Exercice 3 — Vérification de la 3ème loi dans le système solaire
On s'intéresse aux planètes Terre et Mars autour du Soleil.
Données :
Terre : période $T_{\oplus} = 1{,}00$ an, demi-grand axe $a_{\oplus} = 1{,}00$ UA.
Mars : période $T_{\text{Mars}} = 1{,}88$ an, demi-grand axe $a_{\text{Mars}} = 1{,}52$ UA.
a) Calcule $T_{\oplus}^2 / a_{\oplus}^3$ en an²·UA⁻³.
b) Calcule $T_{\text{Mars}}^2 / a_{\text{Mars}}^3$ en an²·UA⁻³.
c) Les deux rapports sont-ils égaux ? Conclus sur la validité de la 3ème loi de Kepler pour le système solaire.
d) Pourquoi cette constante est-elle la même pour toutes les planètes du système solaire ?
a) $T_{\oplus}^2 / a_{\oplus}^3 = 1{,}00^2 / 1{,}00^3 = 1{,}00$ an²·UA⁻³.
b) $T_{\text{Mars}}^2 = 1{,}88^2 = 3{,}5344$ an² ; $a_{\text{Mars}}^3 = 1{,}52^3 = 3{,}5118$ UA³ ; rapport $= \dfrac{3{,}5344}{3{,}5118} \approx 1{,}006$ an²·UA⁻³.
c) Les deux rapports valent respectivement $1{,}00$ an²·UA⁻³ (Terre) et $1{,}006$ an²·UA⁻³ (Mars), soit un écart relatif de $\dfrac{1{,}006 - 1{,}00}{1{,}00} \approx 0{,}6\,\%$. Cet écart très faible s'explique par les arrondis des données fournies. On peut donc considérer les deux rapports comme pratiquement égaux, ce qui vérifie bien la 3ème loi de Kepler : pour toutes les planètes d'un même système, $T^2 / a^3$ est une constante.
d) Cette constante vaut $\dfrac{4\pi^2}{GM_{\text{Soleil}}}$. Elle est identique pour toutes les planètes car elles orbitent toutes autour du même astre central, le Soleil, de masse $M$ fixée — la constante ne dépend que de cette masse, pas des caractéristiques propres de chaque planète.
Exercice 4 — Comparer deux satellites terrestres
Deux satellites A et B sont en orbite circulaire autour de la Terre. Le satellite A a une période $T_A = 1{,}50$ h. Le satellite B a un rayon orbital $R_B = 3 R_A$.
a) En utilisant la 3ème loi de Kepler ($T^2/R^3$ constant pour un même astre central), exprime $T_B$ en fonction de $T_A$ et du rapport $R_B/R_A$.
b) Calcule $T_B$ en heures.
c) Compare qualitativement les vitesses orbitales $v_A$ et $v_B$ : laquelle est la plus grande ? Justifie sans calcul.
a) $\frac{T_A^2}{R_A^3} = \frac{T_B^2}{R_B^3}$ donc $T_B^2 = T_A^2 \times \frac{R_B^3}{R_A^3} = T_A^2 \times \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3$.
Avec $R_B/R_A = 3$, on a $T_B^2 = T_A^2 \times 3^3 = 27 \times T_A^2$, donc $T_B = T_A \times \sqrt{27} = T_A \times 3\sqrt{3}$.
b) $T_B = 1{,}50 \times 3\sqrt{3} \approx 1{,}50 \times 5{,}196 \approx 7{,}79$ h.
c) $v = \sqrt{GM/R}$ : la vitesse diminue quand le rayon orbital augmente. Comme $R_B > R_A$, on a $v_B < v_A$. Le satellite A, plus proche de la Terre, a une vitesse orbitale plus grande.
Exercice 5 — Masse de Jupiter à partir de sa lune Io
Io, lune de Jupiter, a une orbite quasi circulaire de rayon $R = 4{,}22 \times 10^8$ m et une période $T = 1{,}53 \times 10^5$ s (soit environ 1,77 jour).
Donnée : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻².
a) À partir de la 3ème loi de Kepler, exprime la masse $M_{\text{Jupiter}}$ en fonction de $G$, $T$ et $R$.
b) Calcule numériquement $M_{\text{Jupiter}}$.
c) La valeur de référence est $1{,}90 \times 10^{27}$ kg. Calcule l'écart relatif en pourcentage et commente la précision de cette méthode.
a) $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$ donc $M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$.
b) $R^3 = (4{,}22 \times 10^8)^3 = 7{,}52 \times 10^{25}$ m³.
$T^2 = (1{,}53 \times 10^5)^2 = 2{,}34 \times 10^{10}$ s².
$4\pi^2 R^3 = 39{,}48 \times 7{,}52 \times 10^{25} = 2{,}97 \times 10^{27}$.
$G T^2 = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}34 \times 10^{10} = 1{,}56 \times 10^0 = 1{,}56$.
$M = \frac{2{,}97 \times 10^{27}}{1{,}56} \approx 1{,}90 \times 10^{27}$ kg.
c) Écart relatif = $\frac{|1{,}90 \times 10^{27} - 1{,}90 \times 10^{27}|}{1{,}90 \times 10^{27}} \times 100 \approx 0\%$. La méthode est extrêmement précise ; les lois de Kepler permettent de déterminer la masse d'un astre central avec une excellente exactitude dès qu'on connaît la période et le rayon orbital d'un de ses satellites.
Tu veux voir ce qui t'attend après le bac ? On va dépasser le cadre strict du programme de Terminale avec trois exercices qui ouvrent sur le supérieur : orbites elliptiques et 1ère loi de Kepler (on ne se limite plus au cercle), satellites en orbite polaire et héliosynchrone, et une petite ouverture vers la relativité générale pour comprendre que la 3ème loi de Kepler n'est qu'une approximation. De quoi briller en prépa ou en L1.
1. Orbites elliptiques — retour à la 1ère loi de Kepler
En Terminale, on approxime toutes les orbites par des cercles. En réalité, les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer. Le demi-grand axe $a$ remplace le rayon $R$ dans la 3ème loi : $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$. La vitesse n'est plus constante : elle est maximale au périhélie (point le plus proche du Soleil) et minimale à l'aphélie (point le plus éloigné), conformément à la 2ème loi de Kepler.
2. Satellites en orbite polaire et héliosynchrone
Un satellite en orbite polaire passe au-dessus des pôles à chaque révolution ; la Terre tourne sous lui, ce qui lui permet de balayer toute la surface terrestre. Un satellite héliosynchrone est un cas particulier d'orbite polaire : son plan orbital précesse (tourne) de façon à rester toujours dans la même orientation par rapport au Soleil, ce qui garantit un éclairement constant des zones survolées — idéal pour l'observation et la télédétection.
3. Au-delà de Newton : la relativité générale
La 3ème loi de Kepler $T^2 \propto R^3$ est une conséquence de la loi de gravitation de Newton. Mais elle n'est qu'approchée : la relativité générale d'Einstein prédit une très légère avance du périhélie des planètes (célèbre pour Mercure) que la loi de Newton ne peut expliquer. Dans le système solaire, l'écart est infime, mais il devient crucial pour les pulsars binaires ou les trous noirs.
Exercice 1 — Orbite elliptique et 2ème loi de Kepler
Une comète décrit une orbite elliptique autour du Soleil. Au périhélie, sa distance au Soleil est $r_p = 0{,}50$ UA et sa vitesse est $v_p = 80$ km/s. À l'aphélie, sa distance est $r_a = 5{,}0$ UA.
La 2ème loi de Kepler (loi des aires) implique que le produit $r \times v$ est constant le long de l'orbite (pour des points où le rayon est perpendiculaire à la vitesse, ce qui est le cas au périhélie et à l'aphélie).
a) Écris la relation entre $r_p$, $v_p$, $r_a$ et $v_a$.
b) Calcule la vitesse $v_a$ de la comète à l'aphélie.
c) Pourquoi la vitesse n'est-elle pas constante sur une orbite elliptique, contrairement au cas circulaire ?
a) D'après la loi des aires, $r_p \times v_p = r_a \times v_a$.
b) $v_a = v_p \times \frac{r_p}{r_a} = 80 \times \frac{0{,}50}{5{,}0} = 80 \times 0{,}10 = 8{,}0$ km/s.
c) Sur une orbite elliptique, la distance au Soleil varie. La force de gravitation n'est pas perpendiculaire à la vitesse en tout point (sauf au périhélie et à l'aphélie), ce qui fait varier la vitesse. La 2ème loi de Kepler traduit cette variation : la planète accélère en se rapprochant du Soleil et ralentit en s'en éloignant. Sur un cercle, la distance est constante, donc la vitesse aussi.
Exercice 2 — Masse du trou noir central de la Voie lactée (ouverture astrophysique)
Une étoile nommée S2 décrit une orbite elliptique autour du centre galactique, où se trouve un trou noir supermassif. On approxime son orbite par un cercle de rayon $R = 1{,}0 \times 10^{14}$ m (environ 1000 UA). Sa période est $T = 16$ ans.
Donnée : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻². 1 an = $3{,}156 \times 10^7$ s.
a) Convertis $T$ en secondes.
b) En appliquant la 3ème loi de Kepler (version circulaire), estime la masse $M$ du trou noir central.
c) Cette masse représente combien de masses solaires ? ($M_{\text{Soleil}} = 2{,}0 \times 10^{30}$ kg).
d) Pourquoi peut-on dire que la 3ème loi de Kepler est un outil puissant bien au-delà du système solaire ?
a) $T = 16 \times 3{,}156 \times 10^7 = 5{,}05 \times 10^8$ s.
b) $M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$.
$R^3 = (1{,}0 \times 10^{14})^3 = 1{,}0 \times 10^{42}$ m³.
$T^2 = (5{,}05 \times 10^8)^2 = 2{,}55 \times 10^{17}$ s².
$4\pi^2 R^3 = 39{,}48 \times 1{,}0 \times 10^{42} = 3{,}95 \times 10^{43}$.
$G T^2 = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}55 \times 10^{17} = 1{,}70 \times 10^7$.
$M = \frac{3{,}95 \times 10^{43}}{1{,}70 \times 10^7} \approx 2{,}32 \times 10^{36}$ kg.
c) $\frac{2{,}32 \times 10^{36}}{2{,}0 \times 10^{30}} \approx 1{,}16 \times 10^6$ masses solaires. Le trou noir central de la Voie lactée pèse environ 4 millions de masses solaires (la valeur réelle est un peu plus élevée, notre approximation circulaire donne un ordre de grandeur correct).
d) La 3ème loi de Kepler relie période et rayon orbital à la masse de l'astre central, quelle que soit l'échelle : système planétaire, système stellaire, centre galactique. C'est un outil universel pour « peser » les objets célestes à partir du mouvement de leurs satellites.
Exercice 3 — Limite de la 3ème loi de Kepler : l'avance du périhélie de Mercure
La planète Mercure a une orbite elliptique autour du Soleil. Selon la loi de Newton et la 3ème loi de Kepler, son périhélie (point le plus proche du Soleil) devrait rester fixe dans l'espace. En réalité, on observe une très lente rotation de ce périhélie : environ 574 secondes d'arc par siècle.
La loi de Newton explique 531 secondes d'arc par siècle (par l'influence des autres planètes). Il reste un écart inexpliqué de 43 secondes d'arc par siècle.
a) Pourquoi la 3ème loi de Kepler ne peut-elle pas, à elle seule, expliquer cette avance du périhélie ?
b) Quelle théorie physique, au-delà de Newton, a permis d'expliquer parfaitement cet écart de 43 secondes d'arc par siècle ?
c) Pourquoi cet écart est-il plus visible pour Mercure que pour la Terre ?
a) La 3ème loi de Kepler (et la loi de gravitation de Newton) prédit une orbite elliptique parfaitement fermée et immuable. Elle ne contient aucun mécanisme permettant une rotation du grand axe de l'ellipse (précession du périhélie). L'avance observée ne peut donc pas être expliquée dans ce cadre.
b) La relativité générale d'Einstein (1915) explique exactement les 43 secondes d'arc manquantes. Dans cette théorie, la gravitation n'est plus une force mais une courbure de l'espace-temps par la masse du Soleil. Cette courbure modifie très légèrement la trajectoire des planètes proches, d'où l'avance du périhélie.
c) Mercure est la planète la plus proche du Soleil. La courbure de l'espace-temps est d'autant plus forte qu'on est près de la masse qui la produit. L'effet relativiste est donc maximal pour Mercure et négligeable pour les planètes plus éloignées comme la Terre (où il n'est que de quelques secondes d'arc par siècle).
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