Mouvement des satellites et des planètes

Relier période et rayon orbital grâce aux lois de Kepler — des planètes du Système solaire aux satellites artificiels.

1 L'idée

Le mouvement des planètes autour du Soleil et des satellites autour d'une planète est gouverné par la loi de gravitation universelle de Newton et les trois lois de Kepler. Pour une orbite circulaire (approximation usuelle en Terminale), la gravitation joue le rôle de force centripète, ce qui relie la période $T$ et le rayon $R$ de l'orbite à la masse $M$ de l'astre central.

2 Les trois lois de Kepler

1^re loi (des orbites) : La trajectoire de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. En Terminale, on se restreint souvent aux orbites quasi circulaires.

2^e loi (des aires) : Le segment Soleil–planète balaie des aires égales en des durées égales. La planète va plus vite au périhélie ; pour une orbite circulaire, la vitesse est constante.

3^e loi (des périodes) : Pour toutes les planètes d'un même système, le rapport $T^2/a^3$ est constant ($a$ = demi-grand axe, $R$ pour un cercle). Cette constante ne dépend que de $M$, la masse de l'astre central.

3 Formules essentielles

Gravitation universelle

$F = \dfrac{GMm}{r^2}$

3e loi — orbite circulaire

$\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$

Vitesse orbitale

$v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \dfrac{2\pi R}{T}$

Masse centrale déduite

$M = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}$

4 Dérivation de la 3e loi pour une orbite circulaire

Principe

La gravitation fournit la force centripète : $\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{m \cdot 4\pi^2 R}{T^2}$

On simplifie $m$ et on réarrange : $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} \cdot R^3$

Donc $\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$ — constant pour tous les satellites d'un même astre central.

Méthode — Résoudre un problème orbital

Recenser les données : $T$, $R$, $v$, $M$, altitude $h$.
Si l'altitude $h$ est connue, calculer $R = R_{\text{planète}} + h$ en premier.
Appliquer $T^2/R^3 = 4\pi^2/(GM)$ pour extraire $T$ ou $R$.
Pour la vitesse : $v = 2\pi R/T$ ou $v = \sqrt{GM/R}$.
Pour comparer deux satellites (même astre) : $T_1^2/R_1^3 = T_2^2/R_2^3$.

Erreurs fréquentes

Confondre $R$ (rayon orbital) et $h$ (altitude) : $R = R_{\text{planète}} + h$.
Oublier de convertir : $T$ en secondes, $R$ en mètres avant tout calcul.
Appliquer la 3e loi à des astres différents : elle n'est valable que pour un même astre central.
Utiliser $P = mg$ loin de la surface : il faut $F = GMm/r^2$.