Mouvements dans un champ uniforme — Exercices

Projectile et satellite : poser les équations, décomposer, calculer avec rigueur.

⏱ ~35 min✎ Calculatrice autoriséeg = 9,81 m/s² sauf indication contraire

1Chute libre horizontale/ 4 pts

Un colis est largué sans vitesse initiale verticale depuis un avion volant à l'altitude $h = 500\text{ m}$ avec une vitesse horizontale $v_0 = 80\text{ m/s}$. Les frottements sont négligés. On choisit un repère d'origine au point de largage, axe $x$ horizontal dans le sens du mouvement, axe $y$ vertical vers le haut.

Justifier que $a_x = 0$ et $a_y = -g$, puis établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$.
Calculer la durée $t_c$ de la chute jusqu'au sol.
Calculer la distance horizontale $d$ parcourue à l'impact.
Calculer la norme de la vitesse au moment de l'impact.

2Lancer en oblique/ 4 pts

Un ballon est botté depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 15\text{ m/s}$ selon un angle $\theta = 30°$ par rapport à l'horizontale. Le ballon retombe au même niveau que le départ. On prend $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$, $\cos 30° \approx 0{,}866$, $\sin 30° = 0{,}5$.

Calculer les composantes $v_{x0}$ et $v_{y0}$ de la vitesse initiale.
Établir l'expression de la durée totale de vol $t_{vol}$ et calculer sa valeur.
Calculer la portée horizontale $x_{max}$.
Calculer la hauteur maximale $H_{max}$ atteinte par le ballon.

3Satellite en orbite basse/ 4 pts

Un satellite artificiel est en orbite circulaire à l'altitude $h = 600\text{ km}$ au-dessus de la Terre. Données : $R_T = 6{,}37 \times 10^6\text{ m}$, $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$, $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg}$.

Calculer le rayon $R$ de l'orbite.
En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite en mouvement circulaire uniforme, établir l'expression littérale de la vitesse orbitale $v$.
Calculer $v$ numériquement.
Calculer la période orbitale $T$ et la convertir en minutes.

4Satellite géostationnaire/ 4 pts

Un satellite géostationnaire est en orbite circulaire avec une période $T = 24\text{ h} = 86\,400\text{ s}$. Données identiques à l'exercice 3.

Rappeler la relation entre $T$, $R$ et $GM_T$ (troisième loi de Kepler).
Calculer numériquement le rayon $R_{géo}$ de l'orbite géostationnaire.
En déduire l'altitude $h_{géo}$ du satellite au-dessus de la Terre.
Calculer la vitesse orbitale du satellite géostationnaire.

5Problème — Projectile et cible/ 4 pts

Un lanceur situé au bord d'une falaise de hauteur $H = 80\text{ m}$ tire horizontalement un projectile avec une vitesse initiale $v_0$ inconnue. Le projectile doit atteindre une cible posée au sol à la distance horizontale $d = 120\text{ m}$ de la base de la falaise. On prend $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$.

Calculer la durée de chute $t_c$ en fonction de $H$ et $g$.
En déduire la vitesse initiale $v_0$ nécessaire.
Calculer la norme de la vitesse d'impact.
Calculer l'angle $\alpha$ que forme le vecteur vitesse avec l'horizontale à l'impact.

Corrigé détaillé

1Chute libre horizontale

a) $\text{Seul le poids agit : }\vec{a}=\vec{g}.\text{ Donc }a_x=0,\ a_y=-g.\text{ Conditions initiales : }x_0=0,\ y_0=0,\ v_{x0}=80\text{ m/s},\ v_{y0}=0.$ $x(t)=80\,t \qquad y(t)=-\dfrac{1}{2}\times9{,}81\times t^2=-4{,}905\,t^2$

b) $y(t_c)=-500 \Rightarrow -4{,}905\,t_c^2=-500 \Rightarrow t_c=\sqrt{\dfrac{500}{4{,}905}}=\sqrt{101{,}9}$ $t_c\approx10{,}1\text{ s}$

c) $d=v_0\times t_c=80\times10{,}1$ $d\approx808\text{ m}$

d) $v_x=80\text{ m/s} \quad v_y=-9{,}81\times10{,}1\approx-99{,}1\text{ m/s} \Rightarrow v=\sqrt{80^2+99{,}1^2}=\sqrt{6400+9821}=\sqrt{16221}$ $v\approx127\text{ m/s}$

2Lancer en oblique

a) $v_{x0}=15\times\cos30°=15\times0{,}866 \qquad v_{y0}=15\times\sin30°=15\times0{,}5$ $v_{x0}\approx13{,}0\text{ m/s} \qquad v_{y0}=7{,}5\text{ m/s}$

b) $y(t_{vol})=0 \Rightarrow v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^2=0 \Rightarrow t\bigl(v_{y0}-\dfrac{g\,t}{2}\bigr)=0 \Rightarrow t_{vol}=\dfrac{2v_{y0}}{g}=\dfrac{2\times7{,}5}{9{,}81}$ $t_{vol}\approx1{,}53\text{ s}$

c) $x_{max}=v_{x0}\times t_{vol}=13{,}0\times1{,}53$ $x_{max}\approx19{,}9\text{ m}$

d) $v_y=0 \Rightarrow t^*=\dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{7{,}5}{9{,}81}\approx0{,}765\text{ s} \Rightarrow H_{max}=7{,}5\times0{,}765-\dfrac{9{,}81}{2}\times(0{,}765)^2=5{,}74-2{,}87$ $H_{max}\approx2{,}87\text{ m}$

3Satellite en orbite basse

a) $R=R_T+h=6{,}37\times10^6+0{,}600\times10^6$ $R=6{,}97\times10^6\text{ m}$

b) $\dfrac{GM_T m}{R^2}=\dfrac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2=\dfrac{GM_T}{R}$ $v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{R}}$

c) $v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{6{,}97\times10^6}}=\sqrt{\dfrac{3{,}982\times10^{14}}{6{,}97\times10^6}}=\sqrt{5{,}714\times10^7}$ $v\approx7560\text{ m/s}\approx7{,}56\text{ km/s}$

d) $T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi\times6{,}97\times10^6}{7560}\approx5793\text{ s}$ $T\approx5793\text{ s}\approx96{,}6\text{ min}$

4Satellite géostationnaire

a) $T=\dfrac{2\pi R}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{GM_T}}$ $T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}\,R^3$

b) $R^3=\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}=\dfrac{3{,}982\times10^{14}\times(86400)^2}{4\pi^2}=\dfrac{3{,}982\times10^{14}\times7{,}465\times10^9}{39{,}48}=\dfrac{2{,}971\times10^{24}}{39{,}48}=7{,}527\times10^{22}\text{ m}^3$ $R_{géo}=\sqrt[3]{7{,}527\times10^{22}}\approx4{,}22\times10^7\text{ m}$

c) $h_{géo}=R_{géo}-R_T=4{,}22\times10^7-6{,}37\times10^6$ $h_{géo}\approx3{,}58\times10^7\text{ m}\approx35\,800\text{ km}$

d) $v=\dfrac{2\pi R_{géo}}{T}=\dfrac{2\pi\times4{,}22\times10^7}{86400}$ $v\approx3070\text{ m/s}\approx3{,}07\text{ km/s}$

5Projectile et cible

a) $y(t_c)=-H \Rightarrow -\dfrac{1}{2}g\,t_c^2=-H \Rightarrow t_c=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times80}{9{,}81}}=\sqrt{16{,}31}$ $t_c\approx4{,}04\text{ s}$

b) $d=v_0\,t_c \Rightarrow v_0=\dfrac{d}{t_c}=\dfrac{120}{4{,}04}$ $v_0\approx29{,}7\text{ m/s}$

c) $v_x=29{,}7\text{ m/s} \quad v_y=-9{,}81\times4{,}04\approx-39{,}6\text{ m/s} \Rightarrow v=\sqrt{29{,}7^2+39{,}6^2}=\sqrt{882+1568}=\sqrt{2450}$ $v\approx49{,}5\text{ m/s}$

d) $\tan\alpha=\dfrac{|v_y|}{v_x}=\dfrac{39{,}6}{29{,}7}\approx1{,}333 \Rightarrow \alpha=\arctan(1{,}333)$ $\alpha\approx53{,}1°$