Mouvements dans un champ uniforme : projectile et satellite

Décomposer le mouvement selon deux axes indépendants — la clé pour projectile et orbite circulaire.

1 L'idée

Dans un champ uniforme, la force subie par l'objet est constante en direction, en sens et en norme. En appliquant la deuxième loi de Newton $\vec{a} = \dfrac{\sum \vec{F}}{m}$, on obtient une accélération constante. Le mouvement se décompose alors en deux axes indépendants : un mouvement rectiligne uniforme sur l'un, un mouvement uniformément accéléré sur l'autre.

Pour un projectile (frottements négligés) : seul le poids agit, donc $\vec{a} = \vec{g}$. Pour un satellite en orbite circulaire : la force gravitationnelle fournit l'accélération centripète nécessaire au mouvement circulaire.

2 Équations du mouvement — Projectile

Accélération

$a_x = 0 \qquad a_y = -g$

Vitesse

$v_x(t) = v_{x0} \qquad v_y(t) = v_{y0} - g\,t$

Position

$x(t) = x_0 + v_{x0}\,t \qquad y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2$

Trajectoire (parabole)

$y = y_0 + \dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}(x - x_0) - \dfrac{g}{2v_{x0}^2}(x - x_0)^2$

3 Satellite en orbite circulaire

Équilibre orbital

$\dfrac{GM_T\,m}{R^2} = \dfrac{mv^2}{R} \implies v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{R}}$

Période orbitale

$T = \dfrac{2\pi R}{v} \implies T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_T}\,R^3$

3e loi de Kepler

$\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM_T} = \text{cste} \text{ (pour un même astre central)}$

4 Exemples résolus

Projectile lancé horizontalement

Un objet est lancé horizontalement à $v_0 = 20\text{ m/s}$ depuis une hauteur $h = 45\text{ m}$. Repère : origine au point de lancer, axe $y$ vertical vers le haut.

Durée de chute : $y(t_c) = 0 \Rightarrow -\dfrac{1}{2}g\,t_c^2 = -h \Rightarrow t_c = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 45}{10}} = 3\text{ s}$

Portée horizontale : $x = v_0 \times t_c = 20 \times 3 = 60\text{ m}$

Satellite en orbite basse

Satellite à $h = 400\text{ km}$ : $R = 6{,}37 \times 10^6 + 0{,}40 \times 10^6 = 6{,}77 \times 10^6\text{ m}$

$v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{R}} = \sqrt{\dfrac{3{,}98 \times 10^{14}}{6{,}77 \times 10^6}} \approx 7670\text{ m/s} \approx 7{,}7\text{ km/s}$

Méthode — Résoudre un problème de projectile

Choisir un repère $(O, \vec{x}, \vec{y})$ avec l'axe $x$ horizontal (sens du mouvement) et l'axe $y$ vertical vers le haut.
Faire le bilan des forces, appliquer la 2e loi de Newton pour obtenir $a_x = 0$ et $a_y = -g$.
Intégrer deux fois : $v_x(t)$, $v_y(t)$ puis $x(t)$, $y(t)$.
Injecter les conditions initiales ($t = 0$) pour fixer $x_0$, $y_0$, $v_{x0}$, $v_{y0}$.
Identifier l'inconnue (durée de vol, position d'impact, vitesse…) et résoudre l'équation correspondante.

Erreurs fréquentes

Écrire $a_y = +g$ au lieu de $a_y = -g$ lorsque $y$ est orienté vers le haut.
Oublier de décomposer la vitesse initiale : si l'angle est $\theta$, alors $v_{x0} = v_0\cos\theta$ et $v_{y0} = v_0\sin\theta$.
Confondre $v_0$ (norme) et ses composantes : $(v_{x0})^2 + (v_{y0})^2 = v_0^2$, pas $v_{x0} + v_{y0} = v_0$.
Utiliser $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$ à haute altitude : en orbite, il faut $g(R) = GM_T / R^2$.
Penser que la masse du satellite modifie son orbite : elle se simplifie dans l'équation.