Diffraction et interférences

Deux manifestations du caractère ondulatoire de la lumière — exploitées en métrologie pour mesurer une longueur d'onde.

1 L'idée

Lorsqu'une onde rencontre une ouverture dont la taille est comparable à sa longueur d'onde $\lambda$, elle s'étale au-delà : c'est la diffraction. Plus l'ouverture est étroite, plus l'étalement est grand.

Lorsque deux ondes cohérentes (même fréquence, déphasage stable) se superposent, elles se renforcent ou s'annulent selon leur décalage spatial $\delta$ : c'est l'interférence. L'expérience des fentes de Young (1801) combine les deux : chaque fente diffracte la lumière, et la superposition des deux faisceaux produit des franges alternativement brillantes et sombres.

2 Diffraction par une fente de largeur a

Demi-angle (rad)

$\theta = \dfrac{\lambda}{a}$

Largeur frange centrale

$L = \dfrac{2\lambda D}{a}$

Validité

$\theta \ll 1 \text{ rad} \quad \text{et} \quad a \ll D$

3 Interférences — fentes de Young (écartement d)

Différence de marche

$\delta = \dfrac{d \cdot x}{D}$

Frange brillante

$\delta = n\lambda \quad (n \in \mathbb{Z})$

Frange sombre

$\delta = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

Interfrange

$i = \dfrac{\lambda D}{d}$

4 Exemples numériques

Diffraction — largeur de la tache centrale

Fente $a = 0{,}10$ mm, $D = 2{,}0$ m, $\lambda = 589$ nm.

$L = \dfrac{2\lambda D}{a} = \dfrac{2 \times 589 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}36 \times 10^{-2}$ m $\approx 2{,}4$ cm.

Young — interfrange

$d = 0{,}50$ mm, $D = 1{,}5$ m, $\lambda = 632$ nm.

$i = \dfrac{\lambda D}{d} = \dfrac{632 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{5{,}0 \times 10^{-4}} = 1{,}90 \times 10^{-3}$ m $= 1{,}9$ mm.

Méthode — résoudre un problème d'optique ondulatoire

Diffraction : repérer $a$ et $D$. Appliquer $L = 2\lambda D/a$. La tache s'élargit quand $a$ diminue.
Interfrange Young : calculer $i = \lambda D/d$. La frange brillante d'ordre $n$ est à $x_n = n \cdot i$ du centre.
Nature d'une frange : calculer $\delta = dx/D$, exprimer en multiple de $\lambda$. Entier → brillante ; demi-entier → sombre.
Mesure de $\lambda$ : mesurer $N$ interfranges sur longueur $l$ : $i = l/N$, puis $\lambda = id/D$.

Erreurs fréquentes

Confondre $a$ (largeur de fente, diffraction) et $d$ (écartement des fentes, Young).
$L = 2\lambda D/a$ est la largeur totale ; la demi-largeur vaut $\lambda D/a$.
Ne pas convertir en mètres : $\lambda$ en nm et $d$ en mm avant de calculer.
Numéroter à partir de $n = 1$ au lieu de $n = 0$ pour la frange centrale.