Diffraction et interférences

Les prérequis, en trois minutes

Tout le chapitre parle d'une onde lumineuse. Une onde, c'est quelque chose qui se répète dans l'espace ; la distance entre deux répétitions, c'est la longueur d'onde $\lambda$ (lettre grecque « lambda »), qui se mesure en mètres.

La lumière visible a des longueurs d'onde très petites : quelques centaines de nanomètres. C'est le premier réflexe à avoir : tout convertir en mètres avant de calculer.

$1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$  ·  $1\ \mu\text{m} = 10^{-6}\ \text{m}$  ·  $1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}$  ·  $1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}$

Deux exemples de conversion que tu feras à chaque exercice :

$589\ \text{nm} = 589 \times 10^{-9}\ \text{m} = 5{,}89 \times 10^{-7}\ \text{m}$

$0{,}10\ \text{mm} = 0{,}10 \times 10^{-3}\ \text{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$

Dernier prérequis : les angles se mesurent ici en radians, et ils sont toujours minuscules. Un angle de $0{,}006$ rad, c'est normal dans ce chapitre.

L'essentiel en mots simples, et les deux formules à connaître

La diffraction. Quand une onde rencontre une ouverture dont la taille est comparable à sa longueur d'onde $\lambda$, elle ne continue pas tout droit : elle s'étale au-delà de l'ouverture. Et — c'est le point contre-intuitif à retenir — plus l'ouverture est étroite, plus l'étalement est grand.

Sur un écran placé à la distance $D$ derrière une fente de largeur $a$, on observe une grosse tache lumineuse centrale. Deux formules la décrivent :

Demi-angle d'ouverture (en radians) : $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$

Largeur totale de la tache centrale : $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$

Ces formules sont valables tant que $\theta \ll 1\ \text{rad}$ et $a \ll D$, ce qui est toujours le cas dans les exercices.

Les interférences. Quand deux ondes cohérentes (même fréquence, décalage stable dans le temps) se superposent, elles se renforcent par endroits et s'annulent à d'autres. Avec les fentes de Young (deux fentes fines séparées d'une distance $d$), on obtient sur l'écran une alternance régulière de franges brillantes et sombres. La distance entre deux franges brillantes voisines s'appelle l'interfrange :

$i = \dfrac{\lambda D}{d}$

Le piège numéro un, celui qui coûte le plus de points : $a$ est la largeur d'une fente (diffraction), $d$ est l'écartement entre deux fentes (Young). Ce ne sont pas les mêmes grandeurs, et elles ne vont pas dans les mêmes formules.

Un exemple entièrement traité

Énoncé. On éclaire une fente de largeur $a = 0{,}10$ mm avec une lumière de longueur d'onde $\lambda = 589$ nm. L'écran est à $D = 2{,}0$ m. Quelle est la largeur $L$ de la tache centrale ?

Étape 1 — je convertis tout en mètres.

$a = 0{,}10\ \text{mm} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$

$\lambda = 589\ \text{nm} = 589 \times 10^{-9}\ \text{m}$

$D = 2{,}0\ \text{m}$ (déjà en mètres)

Étape 2 — j'écris la formule littérale.

$L = \dfrac{2\lambda D}{a}$

Étape 3 — je remplace par les valeurs.

$L = \dfrac{2 \times 589 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{1{,}0 \times 10^{-4}}$

Étape 4 — je calcule le numérateur d'abord.

$2 \times 589 \times 10^{-9} = 1{,}178 \times 10^{-6}$

$1{,}178 \times 10^{-6} \times 2{,}0 = 2{,}356 \times 10^{-6}$

Étape 5 — je divise.

$L = \dfrac{2{,}356 \times 10^{-6}}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}356 \times 10^{-2}\ \text{m}$

Étape 6 — je conclus avec une unité parlante.

$L = 2{,}36 \times 10^{-2}\ \text{m} \approx 2{,}4\ \text{cm}$

Une tache de plus de deux centimètres à partir d'une fente d'un dixième de millimètre : voilà la diffraction en une phrase.

Diffraction par une fente de largeur a

Définition. La diffraction est l'étalement d'une onde lorsqu'elle rencontre une ouverture (ou un obstacle) dont la taille est comparable à sa longueur d'onde $\lambda$. Le phénomène est d'autant plus marqué que l'ouverture est étroite : c'est le rapport $\lambda / a$ qui commande tout.

Le dispositif. Une source de lumière de longueur d'onde $\lambda$ éclaire une fente de largeur $a$. Un écran est placé à la distance $D$ derrière la fente. On y observe une figure de diffraction : une tache centrale large et brillante, encadrée de taches secondaires beaucoup moins lumineuses.

Demi-angle de diffraction. L'angle entre l'axe central et le bord de la tache centrale vaut, en radians :

$\theta = \dfrac{\lambda}{a}$

Largeur de la tache centrale. Sur l'écran, la tache centrale a pour largeur totale :

$L = \dfrac{2\lambda D}{a}$

Attention au facteur 2 : $L$ est la largeur totale ; la demi-largeur (du centre jusqu'à un bord) vaut $\dfrac{\lambda D}{a}$.

Conditions de validité. Ces relations supposent :

$\theta \ll 1\ \text{rad}$  et  $a \ll D$

Autrement dit : angle petit et écran loin. Dans les exercices, $a$ vaut quelques dizaines de micromètres et $D$ quelques mètres, donc les conditions sont largement remplies. Le dire dans une copie rapporte souvent un point.

Lecture qualitative. Dans $L = 2\lambda D / a$, la largeur $a$ est au dénominateur : si on divise $a$ par deux, la tache devient deux fois plus large. Et si on augmente $\lambda$ (lumière rouge plutôt que bleue), la tache s'élargit aussi.

Interférences : les fentes de Young

Définition. Il y a interférence lorsque deux ondes cohérentes se superposent. Deux ondes sont cohérentes si elles ont la même fréquence et un déphasage stable dans le temps. Selon leur décalage, elles se renforcent (interférence constructive) ou s'annulent (interférence destructive).

Le dispositif de Young (Thomas Young, 1801). Un faisceau éclaire deux fentes fines $S_1$ et $S_2$, séparées d'une distance $d$ appelée écartement. Chaque fente diffracte la lumière, si bien que les deux faisceaux étalés se recouvrent ; issus de la même source, ils sont cohérents. Sur l'écran placé à la distance $D$, on observe une alternance régulière de franges brillantes et de franges sombres.

La différence de marche. En un point $M$ de l'écran situé à la distance $x$ du centre, les deux ondes n'ont pas parcouru le même chemin. L'écart de chemin s'appelle la différence de marche $\delta$ :

$\delta = \dfrac{d \cdot x}{D}$

Les deux conditions à connaître. C'est la valeur de $\delta$ comparée à $\lambda$ qui décide de la nature de la frange :

Frange brillante : $\delta = n\lambda$  avec  $n \in \mathbb{Z}$

Frange sombre : $\delta = \left(n + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$

Traduction en mots : si la différence de marche fait un nombre entier de longueurs d'onde, les ondes arrivent en phase et s'ajoutent ; si elle fait un nombre demi-entier, elles arrivent en opposition et s'annulent.

Le centre de l'écran correspond à $x = 0$, donc $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ : la frange centrale est brillante, et elle porte l'ordre $n = 0$. Pas $n = 1$.

L'interfrange. La distance entre deux franges brillantes consécutives (ou deux sombres consécutives) est constante et vaut :

$i = \dfrac{\lambda D}{d}$

La frange brillante d'ordre $n$ se trouve donc à la position $x_n = n \cdot i$ par rapport au centre.

La méthode pas-à-pas, selon ce qu'on te demande

Quatre situations reviennent en boucle. Identifie laquelle tu as sous les yeux, puis déroule.

1. On te demande la tache de diffraction. Repère $a$ (largeur de la fente) et $D$ (distance à l'écran). Convertis en mètres. Applique $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$. Souviens-toi que la tache s'élargit quand $a$ diminue.

2. On te demande l'interfrange (Young). Repère $d$ (écartement des fentes) et $D$. Convertis. Applique $i = \dfrac{\lambda D}{d}$. La frange brillante d'ordre $n$ est alors à $x_n = n \cdot i$ du centre.

3. On te demande la nature d'une frange en un point donné. Calcule d'abord $\delta = \dfrac{d \cdot x}{D}$, puis exprime le résultat en multiples de $\lambda$, c'est-à-dire calcule le rapport $\dfrac{\delta}{\lambda}$. Si tu trouves un entier, la frange est brillante ; si tu trouves un demi-entier, elle est sombre.

4. On te demande de mesurer $\lambda$. C'est l'usage métrologique du dispositif. On mesure $N$ interfranges sur une longueur totale $l$ (plus précis que d'en mesurer un seul), donc $i = \dfrac{l}{N}$. Puis on retourne la formule de l'interfrange :

$i = \dfrac{\lambda D}{d} \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \dfrac{i \cdot d}{D}$

Le réflexe transversal : avant tout calcul, écris la liste des données converties en unités du système international. La quasi-totalité des erreurs de ce chapitre sont des erreurs de conversion, pas de raisonnement.

Exemple 1 — La tache de diffraction, ligne par ligne

Énoncé. Une fente de largeur $a = 0{,}10$ mm est éclairée par une lampe à vapeur de sodium ($\lambda = 589$ nm). L'écran est à $D = 2{,}0$ m. Déterminer la largeur $L$ de la tache centrale de diffraction.

On y va ensemble.

Première ligne : on liste et on convertit. Je ne calcule rien tant que tout n'est pas en mètres. C'est mécanique, mais c'est ce qui sauve la copie.

$a = 0{,}10\ \text{mm} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$

$\lambda = 589\ \text{nm} = 589 \times 10^{-9}\ \text{m}$

$D = 2{,}0\ \text{m}$

Deuxième ligne : quelle formule ? On me parle d'une seule fente et d'une tache centrale : c'est de la diffraction, donc $L = 2\lambda D / a$. Si on m'avait parlé de deux fentes, j'aurais pris $i = \lambda D / d$. Je pose la formule littérale avant de remplacer, le correcteur y tient.

$L = \dfrac{2\lambda D}{a}$

Troisième ligne : je remplace, sans calculer encore.

$L = \dfrac{2 \times 589 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{1{,}0 \times 10^{-4}}$

Quatrième ligne : le numérateur. Je gère les puissances de dix séparément des nombres, ça évite les catastrophes.

$2 \times 589 \times 2{,}0 = 2356$, donc le numérateur vaut $2356 \times 10^{-9} = 2{,}356 \times 10^{-6}$

Cinquième ligne : la division. $10^{-6}$ divisé par $10^{-4}$ donne $10^{-2}$.

$L = \dfrac{2{,}356 \times 10^{-6}}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}356 \times 10^{-2}\ \text{m}$

Sixième ligne : la conclusion. Les données ont deux chiffres significatifs, je ne prétends pas être plus précis. Et je traduis dans une unité que l'œil comprend.

$L \approx 2{,}4 \times 10^{-2}\ \text{m} = 2{,}4\ \text{cm}$

Septième ligne : le contrôle de bon sens. Est-ce plausible ? Une tache de 2,4 cm sur un écran à 2 m, c'est parfaitement visible, et la condition $\theta = \lambda / a = 5{,}89 \times 10^{-3}$ rad est bien très inférieure à 1 rad. Tout est cohérent.

Exemple 2 — L'interfrange des fentes de Young

Énoncé. Un laser hélium-néon de longueur d'onde $\lambda = 632$ nm éclaire deux fentes de Young écartées de $d = 0{,}50$ mm. L'écran est à $D = 1{,}5$ m. Calculer l'interfrange $i$.

On y va ensemble.

Premier réflexe : je repère le mot-clé. « Deux fentes » et « écartées de » : on est chez Young, la grandeur s'appelle $d$ et pas $a$. Je me le dis à voix haute, parce que c'est là que la moitié de la classe se trompe.

Conversions.

$d = 0{,}50\ \text{mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$

$\lambda = 632\ \text{nm} = 632 \times 10^{-9}\ \text{m}$

$D = 1{,}5\ \text{m}$

Formule littérale.

$i = \dfrac{\lambda D}{d}$

Application numérique.

$i = \dfrac{632 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{5{,}0 \times 10^{-4}}$

Numérateur. $632 \times 1{,}5 = 948$, donc le numérateur vaut $948 \times 10^{-9} = 9{,}48 \times 10^{-7}$.

Division.

$i = \dfrac{9{,}48 \times 10^{-7}}{5{,}0 \times 10^{-4}} = 1{,}896 \times 10^{-3}\ \text{m}$

Conclusion, arrondie proprement.

$i \approx 1{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} = 1{,}9\ \text{mm}$

Interprétation, qui vaut souvent le dernier point. Les franges brillantes sont espacées de 1,9 mm : sur 2 cm d'écran, on en voit une dizaine. C'est bien ce qu'on observe en salle de TP. Et la frange brillante d'ordre $n$ est à $x_n = n \times 1{,}9$ mm du centre.

Exemple 3 — Brillante ou sombre ? On tranche par le calcul

Énoncé. On garde le dispositif de l'exemple 2 ($d = 0{,}50$ mm, $D = 1{,}5$ m, $\lambda = 632$ nm). Un point $M$ de l'écran est à $x_M = 5{,}7$ mm du centre, un point $N$ est à $x_N = 4{,}75$ mm. Ces points sont-ils sur une frange brillante ou sombre ?

La stratégie : on calcule la différence de marche $\delta$, puis on l'exprime en multiples de $\lambda$. Entier, c'est brillant ; demi-entier, c'est sombre.

Point M — étape 1 : conversion. $x_M = 5{,}7\ \text{mm} = 5{,}7 \times 10^{-3}\ \text{m}$

Étape 2 : la différence de marche.

$\delta_M = \dfrac{d \cdot x_M}{D} = \dfrac{5{,}0 \times 10^{-4} \times 5{,}7 \times 10^{-3}}{1{,}5}$

Étape 3 : le numérateur. $5{,}0 \times 5{,}7 = 28{,}5$ et $10^{-4} \times 10^{-3} = 10^{-7}$, donc le numérateur vaut $28{,}5 \times 10^{-7} = 2{,}85 \times 10^{-6}$.

Étape 4 : la division.

$\delta_M = \dfrac{2{,}85 \times 10^{-6}}{1{,}5} = 1{,}90 \times 10^{-6}\ \text{m}$

Étape 5 : on compare à $\lambda$. C'est le geste décisif.

$\dfrac{\delta_M}{\lambda} = \dfrac{1{,}90 \times 10^{-6}}{632 \times 10^{-9}} \approx 3{,}0$

Conclusion pour M. Le rapport vaut 3, un nombre entier : on a $\delta_M = 3\lambda$, donc $M$ est sur une frange brillante, d'ordre $n = 3$. Contrôle croisé : $3 \times i = 3 \times 1{,}9 = 5{,}7$ mm, exactement la position annoncée. Les deux méthodes se répondent.

Point N — même déroulé. $x_N = 4{,}75 \times 10^{-3}$ m.

$\delta_N = \dfrac{5{,}0 \times 10^{-4} \times 4{,}75 \times 10^{-3}}{1{,}5} = \dfrac{2{,}375 \times 10^{-6}}{1{,}5} = 1{,}583 \times 10^{-6}\ \text{m}$

$\dfrac{\delta_N}{\lambda} = \dfrac{1{,}583 \times 10^{-6}}{632 \times 10^{-9}} \approx 2{,}5$

Conclusion pour N. Le rapport vaut 2,5, un demi-entier : $\delta_N = \left(2 + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$, donc $N$ est sur une frange sombre, située pile entre les franges brillantes d'ordre 2 et d'ordre 3. Le schéma ci-dessous le montre.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte des points, même si le résultat final est faux :

1. La liste des données converties en unités du système international, écrite avant tout calcul.

2. La formule littérale posée d'abord, puis l'application numérique. Un résultat juste tombé du ciel vaut moins qu'un raisonnement propre.

3. La justification du phénomène : dire explicitement « une seule fente, donc diffraction » ou « deux fentes cohérentes, donc interférences ».

4. La vérification des conditions de validité : $\theta \ll 1\ \text{rad}$ et $a \ll D$.

5. Le résultat avec son unité et un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.

6. Une phrase de conclusion en français, qui interprète le nombre trouvé.

Les quatre pièges qui coûtent le plus cher :

Piège 1 — confondre $a$ et $d$. $a$ est la largeur d'une fente et n'apparaît que dans la diffraction. $d$ est l'écartement entre deux fentes et n'apparaît que chez Young. Les énoncés jouent délibérément sur cette proximité.

Piège 2 — le facteur 2 de la tache centrale. $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$ donne la largeur totale ; la demi-largeur, du centre à un bord, vaut $\dfrac{\lambda D}{a}$. Lis bien si l'énoncé demande « la largeur de la tache » ou « la distance entre le centre et la première extinction ».

Piège 3 — oublier de convertir. Mélanger des nanomètres et des millimètres dans une même fraction donne un résultat faux de plusieurs ordres de grandeur. Le réflexe : tout en mètres, tout de suite.

Piège 4 — numéroter les franges à partir de 1. La frange centrale porte l'ordre $n = 0$, puisque $x = 0$ donne $\delta = 0$. La première frange brillante latérale est d'ordre $n = 1$, à la distance $i$ du centre.

Bonus utile pour l'oral ou une question qualitative : dans $L = 2\lambda D/a$ comme dans $i = \lambda D/d$, la longueur d'onde est au numérateur. Une lumière rouge (grand $\lambda$) donne donc une tache plus large et des franges plus espacées qu'une lumière bleue, dans le même dispositif.

Problème type 1 — Mesurer la longueur d'onde d'un laser

Énoncé. On veut déterminer la longueur d'onde d'un laser. On l'envoie sur des fentes de Young d'écartement $d = 0{,}30$ mm, l'écran est placé à $D = 1{,}00$ m. Sur l'écran, on mesure la distance entre la première et la onzième frange brillante : $l = 21{,}0$ mm. En déduire $\lambda$.

Question préalable que le correcteur adore : pourquoi mesurer dix interfranges plutôt qu'un seul ? Parce que l'incertitude de lecture à la règle (de l'ordre du demi-millimètre) est la même dans les deux cas, mais elle est divisée par dix quand on la rapporte à un interfrange. C'est un gain de précision gratuit.

Étape 1 — compter correctement les interfranges. Entre la frange numéro 1 et la frange numéro 11, il y a $11 - 1 = 10$ intervalles, donc 10 interfranges. Attention : ce n'est pas 11. C'est l'erreur classique du « nombre de piquets et de barrières ».

Étape 2 — calculer l'interfrange.

$i = \dfrac{l}{N} = \dfrac{21{,}0}{10} = 2{,}10\ \text{mm} = 2{,}10 \times 10^{-3}\ \text{m}$

Étape 3 — convertir les autres données.

$d = 0{,}30\ \text{mm} = 3{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$  ·  $D = 1{,}00\ \text{m}$

Étape 4 — retourner la formule de l'interfrange. On part de $i = \dfrac{\lambda D}{d}$. On multiplie les deux membres par $d$ : $i \cdot d = \lambda D$. On divise par $D$ :

$\lambda = \dfrac{i \cdot d}{D}$

Étape 5 — application numérique.

$\lambda = \dfrac{2{,}10 \times 10^{-3} \times 3{,}0 \times 10^{-4}}{1{,}00}$

$2{,}10 \times 3{,}0 = 6{,}30$ et $10^{-3} \times 10^{-4} = 10^{-7}$, donc :

$\lambda = 6{,}30 \times 10^{-7}\ \text{m}$

Étape 6 — conclure et valider.

$\lambda = 6{,}30 \times 10^{-7}\ \text{m} = 630\ \text{nm}$

Cette valeur appartient bien au domaine visible, dans le rouge : c'est cohérent avec la couleur observée du faisceau. Cette dernière phrase de validation est exactement ce qu'attend un correcteur de baccalauréat.

Problème type 2 — Mesurer la largeur d'une fente par diffraction

Énoncé. Un laser vert de longueur d'onde $\lambda = 532$ nm éclaire une fente très fine, de largeur $a$ inconnue. Sur un écran placé à $D = 3{,}00$ m, on mesure une tache centrale de largeur $L = 4{,}0$ cm. Déterminer $a$, puis vérifier que les conditions d'application sont respectées.

Étape 1 — identifier le phénomène. Une seule fente, une tache centrale unique et large : c'est de la diffraction. La relation à utiliser est donc $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$.

Étape 2 — isoler l'inconnue avant tout calcul. On part de $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$. On multiplie les deux membres par $a$ : $L \cdot a = 2\lambda D$. On divise par $L$ :

$a = \dfrac{2\lambda D}{L}$

Remarque de méthode : $a$ et $L$ ont simplement échangé leur place. C'est logique, puisqu'ils sont inversement proportionnels.

Étape 3 — convertir.

$\lambda = 532\ \text{nm} = 532 \times 10^{-9}\ \text{m}$  ·  $D = 3{,}00\ \text{m}$  ·  $L = 4{,}0\ \text{cm} = 4{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m}$

Étape 4 — application numérique.

$a = \dfrac{2 \times 532 \times 10^{-9} \times 3{,}00}{4{,}0 \times 10^{-2}}$

Numérateur : $2 \times 532 \times 3{,}00 = 3192$, donc $3192 \times 10^{-9} = 3{,}192 \times 10^{-6}$.

$a = \dfrac{3{,}192 \times 10^{-6}}{4{,}0 \times 10^{-2}} = 7{,}98 \times 10^{-5}\ \text{m}$

Étape 5 — conclure avec une unité parlante.

$a \approx 8{,}0 \times 10^{-5}\ \text{m} = 80\ \mu\text{m} = 0{,}080\ \text{mm}$

Étape 6 — vérifier les conditions de validité (la question qui vaut souvent deux points).

Demi-angle : $\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{532 \times 10^{-9}}{7{,}98 \times 10^{-5}} \approx 6{,}7 \times 10^{-3}\ \text{rad}$

On a bien $6{,}7 \times 10^{-3} \ll 1$, donc la condition $\theta \ll 1\ \text{rad}$ est vérifiée.

Par ailleurs $a = 8{,}0 \times 10^{-5}$ m est négligeable devant $D = 3{,}00$ m (un rapport de l'ordre de $10^{-5}$), donc $a \ll D$ est également vérifiée. Les formules employées sont légitimes.

Phrase de conclusion. La fente mesure environ 80 micromètres de large, soit à peu près l'épaisseur d'un cheveu. On vient donc de mesurer, avec une simple règle et un écran à 3 mètres, une longueur invisible à l'œil nu : c'est tout l'intérêt métrologique de la diffraction.

D'où viennent les formules ? Une idée de démonstration

1. La différence de marche $\delta = \dfrac{d \cdot x}{D}$.

Les deux fentes $S_1$ et $S_2$ sont séparées de $d$. Un point $M$ de l'écran est à la distance $x$ du centre. La différence de marche est par définition l'écart entre les deux trajets :

$\delta = S_1M - S_2M$

Sur la figure, on projette $S_2$ sur la droite $(S_1M)$ en un point $H$ : l'angle en $H$ est droit. Comme l'écran est très loin ($D \gg d$), les deux rayons $S_1M$ et $S_2M$ sont pratiquement parallèles, si bien que $HM \approx S_2M$. Il ne reste alors que le petit segment $S_1H$ :

$\delta \approx S_1H$

Dans le triangle rectangle $S_1HS_2$, en notant $\theta$ l'angle que font les rayons avec l'axe :

$S_1H = d \sin\theta$

Enfin, l'angle est minuscule (quelques milliradians), donc on peut confondre sinus, tangente et angle : $\sin\theta \approx \tan\theta = \dfrac{x}{D}$. D'où :

$\delta \approx d \times \dfrac{x}{D} = \dfrac{d \cdot x}{D}$

C'est exactement la formule du cours. Retiens le mécanisme : un triangle rectangle plus une approximation des petits angles. Ce couple revient dans tout le programme de physique.

2. L'interfrange $i = \dfrac{\lambda D}{d}$ se déduit du reste. C'est une démonstration en trois lignes que tu peux refaire seul.

Une frange brillante d'ordre $n$ vérifie $\delta = n\lambda$, c'est-à-dire $\dfrac{d \cdot x_n}{D} = n\lambda$. On isole $x_n$ :

$x_n = \dfrac{n\lambda D}{d}$

L'interfrange est la distance entre deux franges brillantes consécutives :

$i = x_{n+1} - x_n = \dfrac{(n+1)\lambda D}{d} - \dfrac{n\lambda D}{d} = \dfrac{\lambda D}{d}$

Observation qui vaut le détour : le résultat ne dépend pas de $n$. C'est la raison profonde pour laquelle les franges sont régulièrement espacées sur l'écran, et non de plus en plus resserrées.

Les ponts avec le reste du programme

Vers les ondes mécaniques. Rien dans $\theta = \lambda/a$ n'est propre à la lumière. Les vagues d'une cuve à ondes qui franchissent une ouverture s'étalent exactement de la même façon, et le son contourne l'angle d'un couloir pour la même raison : sa longueur d'onde (de l'ordre du mètre pour les sons graves) est comparable à la taille des obstacles du quotidien. La lumière, elle, a une longueur d'onde des milliers de fois plus petite, d'où l'impression qu'elle « va tout droit ».

Vers la lumière blanche. Les formules $L = 2\lambda D/a$ et $i = \lambda D/d$ dépendent toutes deux de $\lambda$. Avec une lumière blanche, qui contient toutes les longueurs d'onde du visible, chaque couleur donne donc sa propre figure, légèrement décalée : la tache et les franges deviennent irisées, bordées de couleurs. Seule la frange centrale, pour laquelle $\delta = 0$ quelle que soit la couleur, reste blanche. C'est un raisonnement souvent demandé en question qualitative.

Vers l'effet Doppler. Diffraction, interférences et effet Doppler forment le même bloc « Ondes et signaux » : trois manières d'extraire une information d'une onde. Ici on mesure une longueur d'onde à partir d'une figure lumineuse ; avec l'effet Doppler, on remonte à une vitesse à partir d'un décalage de fréquence. Même logique de mesure indirecte.

Vers la dualité onde-corpuscule. Voici la vraie beauté du dispositif de Young. Si l'on affaiblit tellement la source que les photons arrivent un par un sur les fentes, on voit apparaître des impacts isolés, apparemment aléatoires. Mais après un très grand nombre d'impacts, la figure d'interférences se reconstitue. Un objet quantique n'est donc ni une onde ni une particule au sens classique : il est décrit par une amplitude de probabilité qui, elle, interfère. Ce point est au cœur du chapitre sur le photon et la dualité, et l'expérience de Young en est l'illustration historique.

Aperçu de l'an prochain (hors programme, pour le plaisir)

Des deux fentes au réseau. Que se passe-t-il si, au lieu de deux fentes, on en grave des milliers, régulièrement espacées ? On obtient un réseau de diffraction. Les franges brillantes deviennent alors extrêmement fines et très séparées, ce qui permet de mesurer des longueurs d'onde avec une précision redoutable. C'est le cœur des spectromètres, et donc de l'astrophysique : c'est en analysant la lumière des étoiles par un réseau que l'on détermine leur composition chimique.

La diffraction comme limite des instruments. La relation $\theta = \lambda/a$ a une conséquence redoutable : toute ouverture diffracte, y compris l'objectif d'un télescope ou la pupille de ton œil. Deux points trop proches dans le ciel produisent alors deux taches de diffraction qui se recouvrent et deviennent impossibles à séparer. C'est la limite de résolution des instruments d'optique, et c'est aussi la vraie raison pour laquelle on construit des télescopes toujours plus grands : augmenter $a$, c'est diminuer $\theta$ et donc mieux séparer les détails.

Les interféromètres. Les franges d'interférences réagissent à des variations de trajet de l'ordre de $\lambda$, soit quelques centaines de nanomètres. C'est ce qui fait des dispositifs interférentiels les instruments de mesure de longueur les plus sensibles qui existent. Poussé à l'extrême, le principe a permis en 2015 la détection des ondes gravitationnelles par les interféromètres LIGO (l'interféromètre européen Virgo a rejoint le réseau en 2017 et a participé aux détections conjointes suivantes) : deux bras de plusieurs kilomètres dans lesquels on mesure une variation de longueur inférieure au diamètre d'un noyau atomique, en surveillant simplement le déplacement de franges.

Ce qu'il faut en retenir dès maintenant. Deux formules apprises en Terminale — $\theta = \lambda/a$ et $i = \lambda D/d$ — décrivent aussi bien une tache lumineuse sur le mur d'une salle de TP que la limite d'un télescope spatial ou la détection de la collision de deux trous noirs. Ce n'est pas un chapitre de plus : c'est une porte d'entrée.