Effet Doppler

Les prérequis, en trois lignes

Trois choses seulement, et tu peux attaquer le reste.

1. Une onde se propage à une célérité $v$. C'est la vitesse à laquelle la perturbation avance dans le milieu. Pour le son dans l'air, on prend en général $v = 340$ m/s. Pour la lumière dans le vide, $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s.

2. La fréquence $f$ se mesure en hertz (Hz) : c'est le nombre de vibrations par seconde. Plus $f$ est grande, plus le son est aigu ; plus $f$ est petite, plus il est grave. La période vaut $T = \dfrac{1}{f}$.

3. La longueur d'onde $\lambda$ est la distance entre deux fronts d'onde successifs, et elle est reliée au reste par $v = \lambda \times f$.

Un dernier point, et c'est LE point où tout le monde se plante au contrôle : $v$ et $v_s$ ne sont pas la même chose. $v$ est la vitesse de l'onde dans le milieu (340 m/s pour le son) ; $v_s$ est la vitesse de la source, c'est-à-dire de l'ambulance, du train ou de l'étoile. Deux objets différents, deux vitesses différentes.

L'essentiel et les deux formules à savoir

L'idée tient en une phrase : quand la source d'ondes et l'observateur sont en mouvement relatif, la fréquence perçue $f_{\text{obs}}$ diffère de la fréquence émise $f_s$.

La source s'approche de toi : elle court après ses propres fronts d'onde, qui se resserrent devant elle. Tu reçois donc plus de fronts par seconde, donc $f_{\text{obs}} > f_s$. Le son est plus aigu ; pour la lumière, on parle de décalage vers le bleu.

La source s'éloigne de toi : les fronts s'espacent derrière elle. Tu en reçois moins par seconde, donc $f_{\text{obs}} < f_s$. Le son est plus grave ; pour la lumière, décalage vers le rouge.

Les deux formules exactes à connaître, avec $v$ la célérité de l'onde et $v_s$ la vitesse de la source :

Source qui s'approche : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$ — le dénominateur est plus petit, donc $f_{\text{obs}}$ est plus grande. Cohérent.

Source qui s'éloigne : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v + v_s}$ — le dénominateur est plus grand, donc $f_{\text{obs}}$ est plus petite. Cohérent aussi.

Moyen mnémotechnique honnête : n'apprends pas les signes par cœur, retiens que l'approche fait monter le son. Ensuite tu choisis le signe qui donne ce résultat-là. Un $-$ au dénominateur augmente le résultat : c'est donc celui de l'approche.

Cet effet est utilisé partout : échographie Doppler en médecine, mesure de la vitesse des galaxies en astronomie, radars de contrôle routier.

Un exemple entièrement traité : l'ambulance

Énoncé. Une ambulance émet un son de fréquence $f_s = 440$ Hz. Elle roule à $v_s = 20$ m/s. La célérité du son dans l'air vaut $v = 340$ m/s. Quelle fréquence entends-tu quand elle s'approche, puis quand elle s'éloigne ?

Étape 1 — cas de l'approche. On choisit la formule avec le signe moins : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$.

Étape 2 — on remplace par les valeurs. $f_{\text{obs}} = 440 \times \dfrac{340}{340 - 20}$.

Étape 3 — on calcule le dénominateur. $340 - 20 = 320$, donc $f_{\text{obs}} = 440 \times \dfrac{340}{320}$.

Étape 4 — on termine. $\dfrac{340}{320} = 1{,}0625$, puis $440 \times 1{,}0625 \approx 467{,}5$ Hz.

Étape 5 — cas de l'éloignement. Même démarche, avec le signe plus : $f_{\text{obs}} = 440 \times \dfrac{340}{340 + 20} = 440 \times \dfrac{340}{360}$.

Étape 6 — calcul. $\dfrac{340}{360} \approx 0{,}9444$, puis $440 \times 0{,}9444 \approx 415{,}6$ Hz.

Étape 7 — vérification du sens physique. En approche on trouve $467{,}5 > 440$ (plus aigu), en éloignement $415{,}6 < 440$ (plus grave). C'est exactement ce que ton oreille entend quand l'ambulance passe devant toi : le son chute brutalement au moment du croisement.

Définitions propres, et pourquoi ça marche

La source. L'objet qui émet l'onde, à une fréquence $f_s$ dite fréquence émise. Cette fréquence-là ne change jamais : la sirène émet toujours son 440 Hz, quoi qu'il arrive à l'ambulance.

L'observateur. Celui qui reçoit l'onde et mesure une fréquence $f_{\text{obs}}$, dite fréquence perçue.

Le milieu et la célérité $v$. L'onde se propage dans un milieu (l'air, l'eau, les tissus du corps, le vide pour la lumière) à une célérité $v$ qui ne dépend que de ce milieu, et pas du mouvement de la source. C'est le point clé de toute la notion : la source bouge, mais l'onde, une fois émise, se propage à $v$ dans toutes les directions.

Le mouvement relatif. L'effet Doppler apparaît dès qu'il y a mouvement relatif entre la source et l'observateur. Corollaire important, et souvent demandé en question de cours : si l'observateur est solidaire de la source — le conducteur de l'ambulance, par exemple — il n'y a aucun mouvement relatif, et il perçoit exactement $f_s$.

D'où vient le décalage. La source émet un front d'onde, puis avance, puis émet le front suivant depuis une position plus avancée. Devant elle, les deux fronts sont donc séparés d'une distance plus courte que la longueur d'onde habituelle : $\lambda$ diminue, donc $f = \dfrac{v}{\lambda}$ augmente. Derrière elle, c'est l'inverse : les fronts sont plus espacés, $\lambda$ augmente, $f$ diminue.

Attention à la formulation, un correcteur y est sensible : ce n'est pas l'onde qui va plus vite quand la source approche. La célérité $v$ reste rigoureusement la même. Seul l'espacement des fronts change.

Les formules, les deux cas, la méthode pas à pas

Formule exacte, source qui s'approche de l'observateur : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$.

Formule exacte, source qui s'éloigne de l'observateur : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v + v_s}$.

Formule approchée, valable uniquement si $v_s \ll v$ : $\dfrac{\Delta f}{f_s} \approx \pm \dfrac{v_s}{v}$, avec $\Delta f = f_{\text{obs}} - f_s$. Le signe $+$ correspond à l'approche, le signe $-$ à l'éloignement.

La méthode, dans l'ordre :

1. Identifier la grandeur cherchée : est-ce $f_{\text{obs}}$, $f_s$, $v_s$ ou $v$ ? Les exercices demandent très souvent la vitesse, pas la fréquence.

2. Déterminer le sens du mouvement : la source s'approche (signe $-$ au dénominateur) ou s'éloigne (signe $+$).

3. Écrire la formule exacte sous forme littérale, avant tout calcul numérique.

4. Si l'inconnue n'est pas $f_{\text{obs}}$, l'isoler littéralement d'abord, et seulement ensuite remplacer par les valeurs.

5. N'utiliser l'approximation que si $v_s$ est vraiment très petite devant $v$. Sinon l'erreur commise peut dépasser 5 %.

6. Contrôler le sens physique à la fin : approche $\Rightarrow f_{\text{obs}} > f_s$ ; éloignement $\Rightarrow f_{\text{obs}} < f_s$. Si tu trouves l'inverse, tu t'es trompé de signe.

Une vérification d'unités qui rassure. Dans $\dfrac{v}{v - v_s}$, on divise des mètres par seconde par des mètres par seconde : le rapport est sans unité. Donc $f_{\text{obs}}$ est bien en hertz, comme $f_s$. Si tu te retrouves avec des m/s pour une fréquence, c'est que la formule a été mal recopiée.

Le cas de la lumière : le décalage spectral

Pour la lumière, on raisonne plutôt en longueur d'onde, tout simplement parce que c'est ce qu'un spectroscope mesure. La relation à connaître est :

$\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} \approx \dfrac{v}{c}$, où $\lambda_0$ est la longueur d'onde de la raie mesurée au laboratoire (source immobile), $\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}} - \lambda_0$, et $v$ la vitesse radiale de la source, c'est-à-dire la composante de sa vitesse le long de la ligne de visée.

Lecture du décalage. Si $\lambda_{\text{obs}} > \lambda_0$, la raie est décalée vers les grandes longueurs d'onde, donc vers le rouge : c'est un redshift, et la source s'éloigne (récession). Si $\lambda_{\text{obs}} < \lambda_0$, la raie est décalée vers le bleu : blueshift, la source s'approche.

Ce n'est pas une physique nouvelle, c'est le même effet vu autrement : une longueur d'onde plus grande correspond à une fréquence plus petite, ce qui est exactement le cas de l'éloignement décrit plus haut.

Les trois applications à retenir :

Radar routier. L'onde fait l'aller vers la voiture, puis le retour vers le radar : le décalage compte donc double, et l'on retient $\Delta f = \dfrac{2 f_s v_{\text{cible}}}{c}$.

Astronomie. Le redshift des galaxies lointaines montre qu'elles s'éloignent de nous ; un blueshift signifierait au contraire une approche.

Échographie Doppler. On mesure la vitesse du flux sanguin sans aucun contact, à partir du décalage de l'onde ultrasonore réfléchie par le sang en mouvement.

Exemple 1 — le train qui passe, dans les deux sens

Énoncé. Le sifflet d'un train émet un son de fréquence $f_s = 800$ Hz. Le train roule à $v_s = 30$ m/s. Le son se propage à $v = 340$ m/s dans l'air. Une personne immobile sur le quai entend le train arriver, puis s'éloigner. Quelles fréquences perçoit-elle dans chaque cas, et quel est l'écart entre les deux ?

On commence par lister les données. $f_s = 800$ Hz, $v_s = 30$ m/s, $v = 340$ m/s. On vérifie tout de suite que $v_s < v$ : le train est bien plus lent que le son, la formule est utilisable.

Cas A, le train arrive. Il s'approche, donc signe moins au dénominateur : $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$.

On remplace : $f_{\text{obs}} = 800 \times \dfrac{340}{340 - 30} = 800 \times \dfrac{340}{310}$.

On calcule le rapport d'abord, jamais tout d'un bloc : $\dfrac{340}{310} \approx 1{,}0968$.

Puis le produit : $800 \times 1{,}0968 \approx 877{,}4$ Hz.

Cas B, le train s'éloigne. Signe plus : $f_{\text{obs}} = 800 \times \dfrac{340}{340 + 30} = 800 \times \dfrac{340}{370}$.

Le rapport : $\dfrac{340}{370} \approx 0{,}9189$.

Le produit : $800 \times 0{,}9189 \approx 735{,}1$ Hz.

L'écart perçu. $877{,}4 - 735{,}1 = 142{,}3$ Hz. C'est énorme à l'oreille : voilà pourquoi la chute de hauteur au moment du passage est si nette.

Contrôle final. En approche $877{,}4 > 800$, en éloignement $735{,}1 < 800$ : les deux sens sont cohérents. Remarque au passage que le décalage n'est pas symétrique — environ $+77{,}4$ Hz d'un côté, $-64{,}9$ Hz de l'autre. C'est normal : les deux formules ne sont pas symétriques l'une de l'autre.

Exemple 2 — le problème inverse : retrouver la vitesse

Énoncé. Une source émet à $f_s = 500$ Hz. Un observateur immobile, vers lequel la source se dirige, mesure $f_{\text{obs}} = 540$ Hz. On donne $v = 340$ m/s. Quelle est la vitesse $v_s$ de la source ?

Étape 1 — on identifie l'inconnue. Ce n'est pas $f_{\text{obs}}$ mais $v_s$. Il va donc falloir transformer la formule avant de calculer quoi que ce soit.

Étape 2 — on choisit le cas. $f_{\text{obs}} = 540 > f_s = 500$ : la fréquence a augmenté, donc la source s'approche. Signe moins. On écrit $540 = 500 \times \dfrac{340}{340 - v_s}$.

Étape 3 — on libère le dénominateur. On multiplie les deux membres par $(340 - v_s)$ : $540 \times (340 - v_s) = 500 \times 340$.

Étape 4 — on divise par 540. $340 - v_s = \dfrac{500 \times 340}{540} = \dfrac{170\,000}{540} \approx 314{,}8$ m/s.

Étape 5 — on isole $v_s$. $v_s = 340 - 314{,}8 \approx 25{,}2$ m/s.

Étape 6 — on convertit, parce que l'énoncé parlera souvent en km/h : $25{,}2 \times 3{,}6 \approx 90{,}7$ km/h.

Contrôle. On réinjecte pour vérifier : $500 \times \dfrac{340}{340 - 25{,}2} = 500 \times \dfrac{340}{314{,}8} \approx 540$ Hz. C'est bon. Et la valeur trouvée est physiquement raisonnable pour un véhicule, très inférieure aux 340 m/s du son.

La version littérale, si tu préfères garder la formule générale du cas de l'approche : $v_s = v \times \left(1 - \dfrac{f_s}{f_{\text{obs}}}\right)$. Vérifions-la sur nos valeurs : $340 \times \left(1 - \dfrac{500}{540}\right) = 340 \times (1 - 0{,}9259) = 340 \times 0{,}0741 \approx 25{,}2$ m/s. Même résultat, tant mieux.

Exemple 3 — a-t-on le droit d'utiliser l'approximation ?

Énoncé. Une source émet à $f_s = 1000$ Hz dans l'air ($v = 340$ m/s) et s'approche d'un observateur immobile. On traite deux situations : (a) $v_s = 5{,}0$ m/s ; (b) $v_s = 100$ m/s. Dans chaque cas, on compare le résultat exact et le résultat approché.

Situation (a), calcul approché. $\dfrac{\Delta f}{f_s} \approx \dfrac{v_s}{v} = \dfrac{5{,}0}{340} \approx 0{,}0147$, donc $\Delta f \approx 0{,}0147 \times 1000 \approx 14{,}7$ Hz, soit $f_{\text{obs}} \approx 1014{,}7$ Hz.

Situation (a), calcul exact. $f_{\text{obs}} = 1000 \times \dfrac{340}{340 - 5{,}0} = 1000 \times \dfrac{340}{335} \approx 1014{,}9$ Hz, soit $\Delta f \approx 14{,}9$ Hz.

Verdict (a). L'écart entre les deux vaut environ $0{,}2$ Hz, c'est-à-dire de l'ordre de 1,5 % sur $\Delta f$. Ici $\dfrac{v_s}{v} \approx 0{,}015$, très petit devant 1 : l'approximation est parfaitement légitime.

Situation (b), calcul approché. $\dfrac{\Delta f}{f_s} \approx \dfrac{100}{340} \approx 0{,}294$, donc $\Delta f \approx 294$ Hz et $f_{\text{obs}} \approx 1294$ Hz.

Situation (b), calcul exact. $f_{\text{obs}} = 1000 \times \dfrac{340}{340 - 100} = 1000 \times \dfrac{340}{240} \approx 1416{,}7$ Hz, soit $\Delta f \approx 416{,}7$ Hz.

Verdict (b). L'écart sur $\Delta f$ vaut $416{,}7 - 294 \approx 123$ Hz, soit près de 30 % d'erreur. Ici $\dfrac{v_s}{v} \approx 0{,}29$ : ce n'est pas du tout négligeable devant 1, l'approximation est hors de son domaine et le résultat est faux.

La règle à retenir. Avant d'utiliser $\dfrac{\Delta f}{f_s} \approx \pm \dfrac{v_s}{v}$, calcule le rapport $\dfrac{v_s}{v}$. S'il vaut quelques pour cent au plus, tu peux y aller. Sinon, formule exacte obligatoire. Et en cas de doute : la formule exacte est toujours correcte, elle ne te pénalisera jamais.

Les subtilités, les pièges, et ce que le correcteur attend

Ce que le correcteur coche, ligne par ligne :

1. La justification du sens. Une phrase du type : « la fréquence perçue est supérieure à la fréquence émise, donc la source s'approche, j'utilise donc la formule avec $v - v_s$ ». Sans cette phrase, même avec le bon résultat, tu perds le point de raisonnement.

2. La formule littérale écrite avant les valeurs. Toujours, et avec l'inconnue isolée littéralement quand ce n'est pas $f_{\text{obs}}$ qui est demandée.

3. Des unités cohérentes. Des m/s avec des m/s, des Hz avec des Hz. Si l'énoncé donne des km/h, tu divises par 3,6 ; s'il donne des GHz ou des nm, tu passes en unités du système international avant de calculer.

4. Le bon nombre de chiffres significatifs. Un résultat ne peut pas être plus précis que la donnée la moins précise de l'énoncé : deux ou trois chiffres significatifs, en général.

5. Une conclusion rédigée avec le sens physique. Pas seulement un nombre encadré : une phrase qui dit ce que ce nombre signifie (la voiture roule à 90 km/h, elle est en excès de vitesse ; la galaxie s'éloigne de nous).

Les pièges classiques, ceux qui reviennent chaque année :

Confondre $v$ et $v_s$. $v$ est la célérité de propagation de l'onde dans le milieu, $v_s$ la vitesse de la source. Une inversion, et tout le calcul s'effondre.

Inverser les signes, en mettant $+$ pour l'approche et $-$ pour l'éloignement. Le contrôle de cohérence final ($f_{\text{obs}} > f_s$ en approche) rattrape cette erreur en dix secondes : fais-le systématiquement.

Oublier qu'un observateur solidaire de la source perçoit toujours $f_s$. Aucun mouvement relatif, donc aucun effet Doppler. Question de cours fréquente, et beaucoup répondent à côté.

Appliquer l'approximation hors de son domaine. Quand $\dfrac{v_s}{v}$ n'est pas négligeable, l'erreur peut dépasser 5 % et la réponse est comptée fausse.

Oublier le facteur 2 du radar. L'onde subit un décalage à l'aller et un autre au retour. C'est l'objet du problème qui suit.

Problème type 1 — le radar routier

Énoncé. Un radar routier émet une onde électromagnétique de fréquence $f_s = 24{,}0$ GHz. Une voiture se dirige vers lui. Le radar mesure, entre l'onde émise et l'onde reçue, un écart de fréquence $\Delta f = 4{,}0$ kHz. On donne $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s. La route est limitée à 80 km/h. La voiture est-elle en infraction ?

Étape 1 — comprendre le double décalage. L'onde part du radar et atteint la voiture : celle-ci, en mouvement, la perçoit déjà décalée. Elle la réfléchit ensuite, et se comporte alors comme une source en mouvement pour le radar, ce qui ajoute un second décalage. Les deux se cumulent, d'où le facteur 2 de la relation du cours : $\Delta f = \dfrac{2 f_s v_{\text{cible}}}{c}$.

Étape 2 — isoler l'inconnue littéralement. On cherche $v_{\text{cible}}$. En multipliant par $c$ puis en divisant par $2 f_s$ : $v_{\text{cible}} = \dfrac{\Delta f \times c}{2 f_s}$.

Étape 3 — convertir en unités du système international. $f_s = 24{,}0$ GHz $= 24{,}0 \times 10^{9}$ Hz, et $\Delta f = 4{,}0$ kHz $= 4{,}0 \times 10^{3}$ Hz.

Étape 4 — remplacer. $v_{\text{cible}} = \dfrac{4{,}0 \times 10^{3} \times 3{,}00 \times 10^{8}}{2 \times 24{,}0 \times 10^{9}}$.

Étape 5 — le numérateur. $4{,}0 \times 10^{3} \times 3{,}00 \times 10^{8} = 1{,}20 \times 10^{12}$.

Étape 6 — le dénominateur. $2 \times 24{,}0 \times 10^{9} = 4{,}80 \times 10^{10}$.

Étape 7 — le quotient. $v_{\text{cible}} = \dfrac{1{,}20 \times 10^{12}}{4{,}80 \times 10^{10}} = 25{,}0$ m/s.

Étape 8 — conversion en km/h. $25{,}0 \times 3{,}6 = 90$ km/h.

Conclusion rédigée. La voiture roule à 90 km/h sur une portion limitée à 80 km/h : elle est en excès de vitesse. On note au passage que $\dfrac{v_{\text{cible}}}{c} \approx 8 \times 10^{-8}$, ce qui justifie pleinement l'emploi de la relation approchée pour une onde électromagnétique.

Problème type 2 — la vitesse d'une galaxie

Énoncé. Au laboratoire, une raie de l'hydrogène est mesurée à $\lambda_0 = 656{,}3$ nm. Dans le spectre d'une galaxie lointaine, cette même raie apparaît à $\lambda_{\text{obs}} = 663{,}0$ nm. On donne $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s. Déterminer le sens du mouvement de la galaxie, puis sa vitesse radiale.

Étape 1 — identifier le sens du décalage. $\lambda_{\text{obs}} = 663{,}0$ nm est supérieure à $\lambda_0 = 656{,}3$ nm : la raie est décalée vers les grandes longueurs d'onde, donc vers le rouge. C'est un redshift, la galaxie s'éloigne de nous.

Étape 2 — calculer le décalage. $\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}} - \lambda_0 = 663{,}0 - 656{,}3 = 6{,}7$ nm.

Étape 3 — écrire la relation du cours. $\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} \approx \dfrac{v}{c}$, donc $v \approx c \times \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$.

Étape 4 — calculer le rapport. $\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{6{,}7}{656{,}3} \approx 1{,}02 \times 10^{-2}$. Remarque utile : les deux longueurs étant en nanomètres, le rapport est sans unité et il est inutile de convertir en mètres. C'est une simplification légitime, qu'on peut signaler d'un mot dans la copie.

Étape 5 — calculer la vitesse. $v \approx 3{,}00 \times 10^{8} \times 1{,}02 \times 10^{-2} \approx 3{,}1 \times 10^{6}$ m/s.

Étape 6 — donner un ordre de grandeur parlant. $3{,}1 \times 10^{6}$ m/s, c'est $3{,}1 \times 10^{3}$ km/s, soit environ 3100 km/s.

Étape 7 — vérifier la validité de l'approximation. $\dfrac{v}{c} \approx 1{,}0 \times 10^{-2}$, soit environ 1 % : bien petit devant 1, la relation approchée est valable.

Conclusion rédigée. La raie de l'hydrogène étant décalée vers le rouge, la galaxie s'éloigne de la Terre à une vitesse radiale d'environ $3{,}1 \times 10^{6}$ m/s. Précision qui rapporte des points : on ne mesure ainsi que la composante de la vitesse le long de la ligne de visée, pas la vitesse totale de la galaxie.

Retrouver la formule tout seul, en trois lignes

Place-toi devant la source, qui avance vers toi à la vitesse $v_s$. Elle émet un front d'onde, puis attend exactement une période $T_s = \dfrac{1}{f_s}$ avant d'émettre le suivant.

Pendant cette période, deux choses se passent en même temps. Le premier front, une fois émis, se propage à la célérité $v$ du milieu : il a donc parcouru la distance $v \times T_s$. Et la source, elle, a avancé de $v_s \times T_s$.

La longueur d'onde perçue devant la source est la distance qui sépare les deux fronts à l'instant où le second est émis : $\lambda' = v \times T_s - v_s \times T_s = (v - v_s) \times T_s$.

On revient à la fréquence. L'observateur immobile reçoit ces fronts qui défilent à la célérité $v$, donc $f_{\text{obs}} = \dfrac{v}{\lambda'} = \dfrac{v}{(v - v_s) T_s}$. Comme $\dfrac{1}{T_s} = f_s$, on obtient bien $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$.

Et derrière la source, l'écart entre deux fronts vaut cette fois $\lambda'' = (v + v_s) \times T_s$, ce qui donne $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v + v_s}$. Les deux formules du cours sortent du même dessin : tu n'as plus besoin de retenir les signes, tu les reconstruis.

D'où vient l'approximation, et où la formule casse

L'approximation n'est pas une formule de plus à apprendre, c'est la formule exacte simplifiée. Partons de $\dfrac{f_{\text{obs}}}{f_s} = \dfrac{v}{v - v_s}$ et divisons numérateur et dénominateur par $v$ : $\dfrac{f_{\text{obs}}}{f_s} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_s}{v}}$.

Or, lorsqu'un nombre $x$ est très petit devant 1, on a $\dfrac{1}{1 - x} \approx 1 + x$. Tu formaliseras cela l'an prochain sous le nom de développement limité ; en attendant, tu peux le vérifier à la calculatrice avec $x = 0{,}01$ : $\dfrac{1}{0{,}99} \approx 1{,}0101$, contre $1{,}01$ pour l'approximation.

En posant $x = \dfrac{v_s}{v}$, il vient $\dfrac{f_{\text{obs}}}{f_s} \approx 1 + \dfrac{v_s}{v}$, c'est-à-dire $\dfrac{f_{\text{obs}} - f_s}{f_s} = \dfrac{\Delta f}{f_s} \approx \dfrac{v_s}{v}$. C'est exactement la formule approchée du cours — et on voit maintenant pourquoi elle exige $v_s \ll v$ : c'est tout simplement la condition de validité de $\dfrac{1}{1-x} \approx 1 + x$.

Où la formule cesse d'avoir un sens. Regarde $f_{\text{obs}} = f_s \times \dfrac{v}{v - v_s}$ quand $v_s$ se rapproche de $v$ : le dénominateur tend vers zéro et la fréquence perçue explose. C'est le régime du mur du son : la source rattrape ses propres fronts d'onde, qui s'accumulent au lieu de se succéder. On sort alors du cadre de cette formule pour entrer dans la physique des ondes de choc.

Et pour la lumière ? La relation $\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} \approx \dfrac{v}{c}$ est elle aussi une approximation, valable tant que $v$ reste très petite devant $c$ — ce qui est le cas dans tous les exercices de terminale. Pour les objets vraiment rapides, une formule relativiste, hors programme, prend le relais.

Les liens avec le reste du programme, et la suite

Avec les ondes. Tout repose sur $v = \lambda f$ et sur l'idée que la célérité ne dépend que du milieu. Le même socle sert pour la diffraction et les interférences : dans les trois cas, on raisonne sur des fronts d'onde et sur des différences de distance.

Avec la spectroscopie. Les raies d'absorption d'un spectre stellaire ont des longueurs d'onde parfaitement connues au laboratoire. C'est précisément ce qui rend l'effet Doppler exploitable : on compare une position mesurée à une position de référence. Sans spectres de référence, aucune mesure de vitesse n'est possible.

Avec l'astrophysique. Le redshift systématique des galaxies lointaines est l'observation historique qui a conduit au modèle d'un Univers en expansion. Le même outil sert aujourd'hui à détecter des exoplanètes : une planète massive fait légèrement osciller son étoile, et cette oscillation se lit comme une alternance périodique entre redshift et blueshift.

Avec la médecine et l'ingénierie. L'échographie Doppler mesure la vitesse du sang sans contact ; les radars météorologiques suivent le déplacement des masses de précipitations ; les sonars mesurent la vitesse d'un mobile sous l'eau. Toujours la même relation, seul le milieu change — et donc $v$.

Ce qui t'attend après le bac. L'effet Doppler se généralise : cas où l'observateur bouge lui aussi, cas où la vitesse n'est pas dirigée exactement selon la ligne de visée (seule la composante radiale compte, tu l'as déjà croisé avec la galaxie), et enfin le traitement relativiste, où le temps lui-même s'en mêle. Le dessin des fronts d'onde, lui, reste le même.