Lunette astronomique

Les trois prérequis à avoir en tête

Avant de parler de lunette, il faut trois choses, et tu les as déjà croisées.

1. La lentille convergente. C'est un morceau de verre qui rassemble la lumière. Son milieu s'appelle le centre optique, noté $O$. Les rayons qui arrivent parallèles à l'axe optique ressortent tous en passant par un même point : le foyer image, noté $F'$.

2. La distance focale. C'est la distance entre $O$ et $F'$, notée $f'$. Une grande $f'$ = une lentille peu bombée, qui fait converger loin ; une petite $f'$ = une lentille très bombée, qui fait converger tout près. On l'exprime en mètres ou en centimètres.

3. « Un objet à l'infini ». Une étoile, une planète, la Lune sont tellement loin que les rayons qui nous en parviennent arrivent parallèles entre eux. On dit que l'objet est à l'infini. Symétriquement, quand une image est « à l'infini », l'œil la regarde sans accommoder, donc sans se fatiguer : c'est ce qu'on appelle l'œil au repos.

Retiens juste ça : objet à l'infini, image à l'infini, œil reposé. Toute la lunette est construite autour de cette idée.

L'essentiel en mots simples, et les deux formules clés

Une lunette astronomique, c'est deux lentilles convergentes alignées sur le même axe :

L'objectif (à l'avant, grande distance focale $f'_{\text{obj}}$) collecte la lumière de l'astre et en forme une petite image réelle et renversée à l'intérieur du tube. On l'appelle l'image intermédiaire.

L'oculaire (à l'arrière, courte distance focale $f'_{\text{oc}}$) joue le rôle d'une loupe : il regarde cette image intermédiaire et la renvoie à l'infini, pour que l'œil l'observe au repos.

Le réglage qui fait tout marcher s'appelle le réglage afocal (ou « réglé sur l'infini ») : on place les deux lentilles pour que le foyer image de l'objectif $F'_{\text{obj}}$ soit au même endroit que le foyer objet de l'oculaire $F_{\text{oc}}$.

Les deux formules à savoir écrire :

Grossissement : $G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Longueur de la lunette (si elle est afocale) : $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$

Deux remarques qui rapportent des points : le signe moins n'est pas une faute de recopie, il traduit le fait que l'image est renversée ; et c'est bien $f'_{\text{obj}}$ en haut de la fraction.

Un exemple entièrement traité

Énoncé. Une lunette afocale est formée d'un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 80$ cm et d'un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 4$ cm. Calculer le grossissement et la longueur de la lunette.

Étape 1 — j'écris la formule du grossissement.

$G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Étape 2 — je vérifie que mes deux longueurs sont dans la même unité. Ici tout est en centimètres : c'est bon, aucune conversion.

Étape 3 — je remplace par les valeurs.

$G = -\dfrac{80}{4} = -20$

Étape 4 — j'interprète. $G$ est négatif : l'image est renversée. Sa valeur absolue vaut $20$ : l'astre est vu 20 fois plus grand (angulairement) qu'à l'œil nu.

Étape 5 — la longueur du tube.

$\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 80 + 4 = 84$ cm

Conclusion à recopier : le grossissement vaut $G = -20$ (image renversée, 20 fois plus grande) et les deux lentilles sont distantes de $84$ cm.

Remarque de dernière minute : le grossissement n'a pas d'unité (c'est un rapport de deux longueurs), alors que $\overline{O_1 O_2}$ est une longueur, donc en cm ou en m.

Le vocabulaire, proprement

Lunette astronomique. Système optique constitué de deux lentilles convergentes coaxiales (même axe optique), destiné à observer des objets très éloignés.

Objectif (lentille $L_1$, centre $O_1$). C'est la lentille d'entrée, de grande distance focale $f'_{\text{obj}}$. Elle collecte la lumière et donne d'un objet lointain une image réelle, renversée et plus petite que ce qu'on percevrait de l'objet : c'est l'image intermédiaire, notée $A_1B_1$.

Oculaire (lentille $L_2$, centre $O_2$). C'est la lentille de sortie, de courte distance focale $f'_{\text{oc}}$. Elle fonctionne comme une loupe braquée sur $A_1B_1$ et renvoie cette image à l'infini.

Système afocal (lunette réglée sur l'infini). On dit que la lunette est afocale lorsque le foyer image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire sont confondus :

$F'_{\text{obj}} \equiv F_{\text{oc}}$

Conséquence directe : un objet à l'infini donne une image finale à l'infini, donc observable par un œil au repos, sans accommodation. Et comme les deux foyers coïncident, la distance entre les centres optiques vaut nécessairement

$\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$

Grossissement $G$. C'est le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à travers l'instrument sur l'angle sous lequel on voyait l'objet à l'œil nu :

$G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}$

où $\alpha$ est le diamètre apparent de l'objet (angle sous lequel il est vu sans instrument) et $\alpha'$ l'angle sous lequel on voit l'image à travers la lunette. Pour une lunette afocale, ce rapport s'exprime uniquement avec les distances focales :

$G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Le grossissement est un nombre sans unité. Son signe négatif dit une seule chose : l'image finale est renversée par rapport à l'objet. Pour observer une étoile, aucune importance ; pour observer un clocher, c'est plus gênant.

La marche des rayons, pas à pas

Voici l'itinéraire de la lumière dans la lunette. Chaque étape correspond à une ligne que tu peux écrire au contrôle.

Étape 1 — l'objet est à l'infini. Tous les rayons issus d'un même point de l'astre arrivent sur l'objectif parallèles entre eux, inclinés d'un angle $\alpha$ par rapport à l'axe optique.

Étape 2 — l'objectif les fait converger dans son plan focal image. Un faisceau parallèle qui n'est pas parallèle à l'axe converge en un point du plan focal image de $L_1$, hors de l'axe. On y trouve l'image intermédiaire $A_1B_1$, réelle et renversée. En pratique : pour un objet à l'infini, on pose directement $\overline{O_1 A_1} = f'_{\text{obj}}$, sans passer par la relation de conjugaison.

Étape 3 — le rayon qui ne dévie pas. Pour construire, on utilise le rayon qui passe par le centre optique $O_1$ : il traverse la lentille sans être dévié. Il donne immédiatement la position de $B_1$.

Étape 4 — l'oculaire renvoie tout à l'infini. Comme la lunette est afocale, $A_1B_1$ se trouve dans le plan focal objet de l'oculaire. Or un objet situé dans le plan focal objet d'une lentille convergente donne une image à l'infini : les rayons ressortent de l'oculaire parallèles entre eux, inclinés d'un angle $\alpha'$.

Étape 5 — on conclut sur le grossissement.

$G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Sur le schéma ci-dessous : à gauche, un faisceau parallèle incliné de $\alpha$ ; au milieu, il converge sur $A_1B_1$ ; à droite, il ressort parallèle, incliné de $\alpha'$, nettement plus grand. Entrée parallèle, sortie parallèle : c'est la signature d'un système afocal.

Deux exemples traités

Exemple A — vérifier qu'une lunette est bien afocale.

Énoncé. Sur un banc d'optique on dispose un objectif de focale $f'_{\text{obj}} = 60$ cm et un oculaire de focale $f'_{\text{oc}} = 2{,}5$ cm. On mesure la distance entre les deux centres optiques : $\overline{O_1 O_2} = 62{,}5$ cm. La lunette est-elle afocale ? Que vaut alors le grossissement ?

1. J'écris la condition afocale : $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$.

2. Je calcule le membre de droite : $60 + 2{,}5 = 62{,}5$ cm.

3. Je compare à la mesure : $62{,}5 = 62{,}5$. La condition est vérifiée, la lunette est afocale.

4. Comme elle est afocale, j'ai le droit d'appliquer la formule du grossissement :

$G = -\dfrac{60}{2{,}5} = -24$

Conclusion. La lunette est réglée sur l'infini et grossit 24 fois, avec une image renversée.

Exemple B — dimensionner une lunette à partir d'un cahier des charges.

Énoncé. On veut construire une lunette afocale de grossissement de valeur absolue $30$, en utilisant un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 25$ mm. Quelle distance focale doit avoir l'objectif ? Quelle sera la longueur de la lunette ?

1. Je convertis pour tout avoir dans la même unité : $f'_{\text{oc}} = 25$ mm $= 2{,}5$ cm.

2. Je pars de la formule et je l'utilise en valeur absolue : $|G| = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$.

3. J'isole l'inconnue : $f'_{\text{obj}} = |G| \times f'_{\text{oc}}$.

4. J'applique : $f'_{\text{obj}} = 30 \times 2{,}5 = 75$ cm.

5. Je calcule la longueur : $\overline{O_1 O_2} = 75 + 2{,}5 = 77{,}5$ cm.

Conclusion. Il faut un objectif de distance focale $75$ cm, et le tube mesurera $77{,}5$ cm. On retrouve la règle générale : pour grossir davantage, on allonge l'objectif ou on raccourcit l'oculaire.

Exemple 1 — la question de base, rédigée ligne à ligne

Énoncé. Une lunette astronomique afocale comporte un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 90$ cm et un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 5{,}0$ cm. Déterminer le grossissement, la longueur de la lunette, et commenter.

Ligne 1 — on annonce la formule avant de calculer. Le correcteur veut voir la relation littérale d'abord.

$G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Commentaire : on ne se demande même pas si on a le droit de l'appliquer, l'énoncé dit « afocale ». Si le mot n'y était pas, ce serait la première chose à vérifier.

Ligne 2 — on contrôle les unités. $90$ cm et $5{,}0$ cm : même unité, donc rien à convertir. Elles vont se simplifier dans la division, et c'est bien pour ça que $G$ n'a pas d'unité.

Ligne 3 — application numérique.

$G = -\dfrac{90}{5{,}0} = -18$

Commentaire : on garde le signe. Écrire « $G = 18$ » coûte souvent un demi-point.

Ligne 4 — longueur de la lunette.

$\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 90 + 5{,}0 = 95$ cm

Commentaire : ici, contrairement à $G$, on écrit l'unité. Une longueur sans unité, c'est faux.

Ligne 5 — la phrase de conclusion. « Le grossissement vaut $G = -18$ : l'astre est vu 18 fois plus grand angulairement, et l'image est renversée. Les deux lentilles doivent être distantes de $95$ cm. »

Remarque utile : $95$ cm, c'est presque un mètre pour un grossissement de seulement 18. Une lunette, c'est encombrant — retiens cette intuition, elle sert souvent à vérifier qu'un résultat est plausible.

Exemple 2 — on remonte la formule à l'envers

Énoncé. On dispose d'un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 100$ cm. Quel oculaire faut-il lui associer pour obtenir une lunette afocale de grossissement de valeur absolue $50$ ? Quelle sera la longueur du tube ?

Ligne 1 — on repart de la même formule. Il n'y en a qu'une, on ne cherche pas ailleurs.

$G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$ donc $|G| = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Commentaire : passer en valeur absolue évite de se battre avec le signe moins pendant qu'on isole l'inconnue. On remettra le signe à la fin, dans la conclusion.

Ligne 2 — on isole $f'_{\text{oc}}$. L'inconnue est au dénominateur : on multiplie les deux membres par $f'_{\text{oc}}$, puis on divise par $|G|$.

$|G| \times f'_{\text{oc}} = f'_{\text{obj}}$ donc $f'_{\text{oc}} = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{|G|}$

Ligne 3 — application numérique.

$f'_{\text{oc}} = \dfrac{100}{50} = 2{,}0$ cm

Commentaire : $2$ cm, c'est une petite lentille très bombée. Cohérent : c'est bien le rôle de l'oculaire.

Ligne 4 — longueur du tube.

$\overline{O_1 O_2} = 100 + 2{,}0 = 102$ cm

Ligne 5 — conclusion. « Il faut un oculaire de distance focale $2{,}0$ cm ; la lunette mesurera alors $102$ cm et son grossissement vaudra $G = -50$. »

Réflexe de vérification : je réinjecte. $-100/2{,}0 = -50$. C'est bien ce qu'on voulait. Fais toujours ce retour en arrière, il coûte cinq secondes.

Exemple 3 — passer par les angles

Énoncé. Une lunette afocale a pour caractéristiques $f'_{\text{obj}} = 80$ cm et $f'_{\text{oc}} = 4{,}0$ cm. Un objet lointain est vu à l'œil nu sous un diamètre apparent $\alpha = 0{,}50°$. Déterminer la taille de l'image intermédiaire, puis l'angle sous lequel on voit l'image à travers la lunette.

Ligne 1 — où se forme l'image intermédiaire ? L'objet est à l'infini, donc son image par l'objectif se forme dans le plan focal image de l'objectif : $\overline{O_1 A_1} = f'_{\text{obj}} = 80$ cm.

Commentaire : on pose la position directement, on n'utilise pas la relation de conjugaison. C'est le point que les élèves ratent le plus souvent.

Ligne 2 — sa taille, avec le rayon non dévié. Le rayon qui passe par $O_1$ n'est pas dévié : il arrive incliné de $\alpha$ et repart incliné de $\alpha$. Dans le triangle rectangle formé par l'axe, ce rayon et le segment $A_1B_1$ :

$\tan \alpha = \dfrac{A_1B_1}{f'_{\text{obj}}}$ donc $A_1B_1 = f'_{\text{obj}} \times \tan \alpha$

Ligne 3 — application numérique. Calculatrice en degrés : $\tan(0{,}50°) = 8{,}7 \times 10^{-3}$.

$A_1B_1 = 80 \times 8{,}7 \times 10^{-3} = 0{,}70$ cm $= 7{,}0$ mm

Commentaire : l'image intermédiaire est minuscule, quelques millimètres. C'est normal, c'est justement pour cela qu'on a besoin d'une loupe derrière.

Ligne 4 — l'angle de sortie. L'image $A_1B_1$ est dans le plan focal objet de l'oculaire, donc les rayons ressortent parallèles sous un angle $\alpha'$ tel que

$\tan \alpha' = \dfrac{A_1B_1}{f'_{\text{oc}}} = \dfrac{0{,}70}{4{,}0} = 0{,}175$

$\alpha' = \arctan(0{,}175) \approx 9{,}9°$

Ligne 5 — la vérification par le grossissement. On a $G = -80/4{,}0 = -20$, donc en valeur absolue on attend $\alpha' \approx |G| \times \alpha = 20 \times 0{,}50 = 10°$.

Commentaire : on trouve $9{,}9°$ d'un côté et $10°$ de l'autre. Ce n'est pas une erreur de calcul : la relation $G = \alpha'/\alpha$ est une approximation des petits angles (on remplace $\tan \theta$ par $\theta$), et $10°$ commence à être un angle un peu grand. Les deux méthodes sont acceptées ; au contrôle, on utilise $\alpha' = |G| \times \alpha$.

Conclusion. « L'image intermédiaire mesure $7{,}0$ mm et l'objet est finalement vu sous un angle d'environ $10°$, contre $0{,}50°$ à l'œil nu. »

Les subtilités, et ce que le correcteur attend vraiment

1. Justifier avant d'appliquer. La relation $G = -f'_{\text{obj}}/f'_{\text{oc}}$ n'est valable que pour une lunette afocale. Si l'énoncé ne l'écrit pas noir sur blanc, tu dois le démontrer en vérifiant $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$, ou le poser explicitement en disant « la lunette étant réglée à l'infini... ». Sinon la formule ne s'applique plus.

2. Les notations algébriques. Les barres dans $\overline{O_1 O_2}$ ou $\overline{O_1 A'}$ ne sont pas décoratives : ce sont des mesures algébriques, elles peuvent être négatives selon le sens choisi sur l'axe. Tu les recopies telles quelles ; ne les remplace pas par de simples distances si l'énoncé les utilise.

3. Objet à l'infini : pas de relation de conjugaison. Beaucoup d'élèves écrivent $\dfrac{1}{\overline{O_1 A'}} - \dfrac{1}{\overline{O_1 A}} = \dfrac{1}{f'_{\text{obj}}}$ et se retrouvent bloqués avec un $\overline{O_1 A}$ « infini ». Pour un objet à l'infini, on pose directement $\overline{O_1 A'} = f'_{\text{obj}}$ : l'image se forme au foyer image de l'objectif. La relation de conjugaison ne sert que si l'objet est à distance finie.

4. Le schéma. S'il est demandé, il doit comporter : l'axe optique, les deux lentilles symbolisées par un segment fléché aux deux bouts, les points $O_1$, $O_2$ et le foyer commun $F'_{\text{obj}} \equiv F_{\text{oc}}$, l'image intermédiaire $A_1B_1$ renversée sous l'axe, un faisceau parallèle en entrée et un faisceau parallèle en sortie. Sans les deux faisceaux parallèles, le schéma ne prouve rien.

5. Les unités et les chiffres significatifs. $G$ n'a pas d'unité. $\overline{O_1 O_2}$ en a une. Et si l'énoncé donne $f'_{\text{oc}} = 25$ mm et $f'_{\text{obj}} = 1{,}20$ m, on convertit avant de diviser.

6. La phrase finale. Un résultat numérique seul est rarement suffisant : ajoute systématiquement « l'image est renversée » et « l'objet apparaît $|G|$ fois plus grand angulairement ».

Problème type 1 — observation de la Lune (entièrement résolu)

Énoncé. Une lunette astronomique est constituée d'un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 1{,}20$ m et d'un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 25$ mm. On observe la Lune, dont le diamètre apparent vu depuis la Terre vaut $\alpha = 0{,}50°$.
a. Où faut-il placer l'oculaire pour que l'observation se fasse à l'œil nu sans accommodation ? Quelle est alors la longueur de la lunette ?
b. Calculer la taille de l'image intermédiaire de la Lune.
c. Calculer le grossissement.
d. Sous quel angle voit-on la Lune dans l'instrument ? Conclure.

a. Condition afocale et longueur.

Observer sans accommodation signifie que l'image finale doit être à l'infini : la lunette doit être afocale. Il faut donc placer l'oculaire de façon que son foyer objet coïncide avec le foyer image de l'objectif : $F'_{\text{obj}} \equiv F_{\text{oc}}$.

Conversion préalable : $f'_{\text{oc}} = 25$ mm $= 0{,}025$ m.

$\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 1{,}20 + 0{,}025 = 1{,}225$ m

La lunette mesure donc environ $1{,}23$ m de long.

b. Taille de l'image intermédiaire.

La Lune est un objet à l'infini : son image par l'objectif se forme dans le plan focal image de l'objectif, à la distance $f'_{\text{obj}}$ de $O_1$.

Le rayon passant par $O_1$ n'étant pas dévié, il fait un angle $\alpha$ avec l'axe de part et d'autre de la lentille. Dans le triangle rectangle correspondant :

$\tan \alpha = \dfrac{A_1B_1}{f'_{\text{obj}}}$ donc $A_1B_1 = f'_{\text{obj}} \times \tan \alpha$

$A_1B_1 = 1{,}20 \times \tan(0{,}50°) = 1{,}20 \times 8{,}7 \times 10^{-3}$

$A_1B_1 = 1{,}05 \times 10^{-2}$ m $\approx 1{,}0$ cm

L'image de la Lune à l'intérieur du tube ne mesure qu'un centimètre : voilà ce que l'oculaire va agrandir.

c. Grossissement.

$G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}} = -\dfrac{1{,}20}{0{,}025} = -48$

Attention à la conversion : si on avait divisé $1{,}20$ par $25$ on aurait trouvé $0{,}048$, un « grossissement » qui rapetisse — résultat manifestement absurde.

d. Angle d'observation et conclusion.

$\alpha' = |G| \times \alpha = 48 \times 0{,}50 = 24°$

Conclusion attendue : « La lunette étant réglée en système afocal (longueur $1{,}225$ m), la Lune, vue sous $0{,}50°$ à l'œil nu, est vue sous environ $24°$ dans l'instrument, soit 48 fois plus grande angulairement, et l'image est renversée. »

Nuance honnête (bonus, jamais exigée) : si tu recalcules l'angle par $\tan \alpha' = A_1B_1/f'_{\text{oc}} = 1{,}05\times10^{-2}/0{,}025 = 0{,}42$, tu trouves $\alpha' \approx 23°$. L'écart avec $24°$ vient de l'approximation des petits angles contenue dans $G = \alpha'/\alpha$. Au contrôle, on attend $24°$.

Problème type 2 — le TP, et les pièges qui coûtent des points

Énoncé. En TP, on monte une lunette afocale sur un banc d'optique avec un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 50$ cm. Trois oculaires sont disponibles : $20$ mm, $10$ mm et $5{,}0$ mm.
a. Calculer le grossissement obtenu avec chacun.
b. Donner à chaque fois la distance à respecter entre les deux lentilles.
c. Commenter.

a. Les trois grossissements. Conversions d'abord : $20$ mm $= 2{,}0$ cm ; $10$ mm $= 1{,}0$ cm ; $5{,}0$ mm $= 0{,}50$ cm.

Oculaire de $2{,}0$ cm : $G = -\dfrac{50}{2{,}0} = -25$

Oculaire de $1{,}0$ cm : $G = -\dfrac{50}{1{,}0} = -50$

Oculaire de $0{,}50$ cm : $G = -\dfrac{50}{0{,}50} = -100$

b. Les trois réglages. À chaque fois $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$ :

$50 + 2{,}0 = 52{,}0$ cm ; $50 + 1{,}0 = 51{,}0$ cm ; $50 + 0{,}50 = 50{,}5$ cm.

c. Commentaire. C'est l'oculaire de plus courte distance focale qui donne le plus fort grossissement : le grossissement est inversement proportionnel à $f'_{\text{oc}}$. Et pendant que le grossissement est multiplié par 4 (de $25$ à $100$), la longueur du tube ne varie que de $1{,}5$ cm : c'est bien l'objectif qui fixe l'encombrement de l'instrument, pas l'oculaire.

Les pièges classiques, en résumé.

Piège 1 — inverser la fraction. $f'_{\text{obj}}$ est au numérateur, $f'_{\text{oc}}$ au dénominateur. Test de bon sens : un grossissement doit être plus grand que 1 en valeur absolue. Si tu trouves $0{,}048$, tu as inversé.

Piège 2 — supprimer le signe moins. $G \lt 0$ n'est pas une faute : cela signifie que l'image est renversée. On garde le signe dans le résultat et on l'interprète dans la conclusion.

Piège 3 — appliquer la formule hors du réglage afocal. Si la lunette n'est pas afocale, $G = -f'_{\text{obj}}/f'_{\text{oc}}$ ne s'applique plus. Vérifie toujours $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$ avant de dégainer.

Piège 4 — sortir la relation de conjugaison pour un objet à l'infini. Inutile et bloquant : on pose directement $\overline{O_1 A'} = f'_{\text{obj}}$.

Piège 5 — oublier de convertir. Millimètres et mètres dans la même fraction, c'est un facteur $1000$ d'erreur. Convertis avant, systématiquement.

D'où vient $G = -f'_{\text{obj}}/f'_{\text{oc}}$ ? La démonstration

La formule n'est pas tombée du ciel : elle sort de deux triangles rectangles qui partagent le même côté, l'image intermédiaire $A_1B_1$.

Étape 1 — le triangle de gauche (côté objectif). L'objet est à l'infini et vu sous l'angle $\alpha$. Le rayon issu de $B$ qui passe par le centre optique $O_1$ n'est pas dévié : il arrive incliné de $\alpha$ et repart incliné de $\alpha$. Il vient frapper le plan focal image de l'objectif, situé à la distance $f'_{\text{obj}}$ de $O_1$, au point $B_1$. Dans le triangle rectangle ainsi formé :

$\tan \alpha = \dfrac{A_1B_1}{f'_{\text{obj}}}$

Étape 2 — le triangle de droite (côté oculaire). La lunette est afocale, donc $A_1B_1$ se trouve exactement dans le plan focal objet de l'oculaire, à la distance $f'_{\text{oc}}$ de $O_2$. Le rayon issu de $B_1$ passant par $O_2$ n'est pas dévié non plus, et il donne la direction commune de tous les rayons émergents, inclinée de $\alpha'$ :

$\tan \alpha' = \dfrac{A_1B_1}{f'_{\text{oc}}}$

Étape 3 — on divise membre à membre. Le côté commun $A_1B_1$ disparaît :

$\dfrac{\tan \alpha'}{\tan \alpha} = \dfrac{A_1B_1 / f'_{\text{oc}}}{A_1B_1 / f'_{\text{obj}}} = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Étape 4 — approximation des petits angles. Les astres sont vus sous des angles minuscules ; pour un angle $\theta$ petit exprimé en radians, $\tan \theta \approx \theta$. On obtient donc

$\dfrac{\alpha'}{\alpha} = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Étape 5 — et le signe. L'image finale est renversée par rapport à l'objet : les angles $\alpha$ et $\alpha'$ sont de signes opposés quand on les compte algébriquement par rapport à l'axe. En notation algébrique, on écrit donc

$G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$

Tu vois maintenant pourquoi la condition afocale est indispensable : sans elle, $A_1B_1$ n'est pas dans le plan focal objet de l'oculaire, l'étape 2 s'effondre, et toute la formule avec.

Les ponts avec le reste du programme

Avec la diffraction. L'objectif n'est pas un point mathématique : c'est une ouverture circulaire de diamètre $D$. Or tu as vu qu'une onde traversant une ouverture diffracte, d'autant plus que l'ouverture est petite devant la longueur d'onde. Conséquence : même une lunette parfaite ne donne pas d'une étoile un point, mais une petite tache. Deux étoiles trop proches finissent par se confondre. C'est le pouvoir de résolution de l'instrument, et il est fixé par le diamètre $D$ de l'objectif — pas par le grossissement. Grossir 500 fois avec un petit objectif ne fait qu'agrandir des taches floues : c'est ce que les astronomes appellent le « grossissement vide ». Voilà pourquoi on court après les grands diamètres, et pas après les gros chiffres sur la boîte.

Avec la quantité de lumière reçue. Un grand objectif collecte plus de photons, donc permet de voir des objets plus faibles. Là encore, c'est le diamètre qui compte.

Avec la relation de conjugaison. On a insisté : pour un objet à l'infini, on n'en a pas besoin. Mais si tu pointes la lunette sur un objet à distance finie (un clocher, une mire de TP), l'image intermédiaire ne se forme plus dans le plan focal image de l'objectif, et il faut cette fois écrire

$\dfrac{1}{\overline{O_1 A'}} - \dfrac{1}{\overline{O_1 A}} = \dfrac{1}{f'_{\text{obj}}}$

Le montage n'est alors plus afocal, et la formule $G = -f'_{\text{obj}}/f'_{\text{oc}}$ ne s'applique plus telle quelle. C'est exactement ce que dit la mise en garde du cours ; maintenant tu sais pourquoi.

Avec la vision et l'accommodation. Tout le réglage afocal n'existe que pour une raison : permettre à l'œil d'observer au repos. Un observateur myope ou hypermétrope devra légèrement décaler l'oculaire par rapport à la position afocale pour voir net — ce qui, au passage, modifie un peu le grossissement.

Ce qui t'attend après (hors programme de Terminale)

Ces notions ne sont pas exigibles au bac ; elles sont là pour que tu voies où mène le chapitre.

Le télescope à miroir. Une lentille dévie les couleurs différemment (l'indice du verre dépend de la longueur d'onde) : c'est l'aberration chromatique, ces liserés colorés autour des objets brillants. Un miroir concave n'a pas ce défaut, et il est bien plus facile à fabriquer en grand diamètre qu'une lentille épaisse de plusieurs mètres. C'est pour cela que tous les grands instruments professionnels sont des télescopes (miroir) et non des lunettes (lentilles). Le principe optique reste le même : un collecteur de grande focale, puis un oculaire de courte focale.

La lunette de Galilée. Si on remplace l'oculaire convergent par une lentille divergente, on obtient une lunette plus courte et une image droite — c'est le principe des jumelles de théâtre. Le grossissement se calcule de façon analogue, mais le signe change.

Le cercle oculaire. En optique instrumentale, on montre que toute la lumière sortant de la lunette passe par un petit disque situé juste derrière l'oculaire : c'est l'image de la monture de l'objectif à travers l'oculaire. C'est là qu'il faut placer sa pupille pour ne rien perdre. On le calcule dès la première année après le bac.

L'optique matricielle. En classe préparatoire, on cesse de tracer des rayons un par un : chaque lentille devient une matrice $2 \times 2$, un système optique devient un produit de matrices, et la condition afocale se lit directement sur un coefficient de la matrice du système. La même physique, écrite dans un langage qui passe à l'échelle.

Et l'atmosphère. Au-delà d'un certain diamètre, ce n'est plus l'instrument qui limite, mais la turbulence de l'air. D'où les télescopes en altitude, l'optique adaptative (un miroir qui se déforme des centaines de fois par seconde), et les télescopes spatiaux. Le calcul de Terminale reste juste ; c'est simplement le monde réel qui ajoute ses conditions.