Tu n'as jamais entendu parler de décroissance radioactive ? Pas de panique. On va poser les bases indispensables — les puissances, les exponentielles et les logarithmes — puis on attaquera la loi de décroissance et la demi-vie. Tout est expliqué avec des mots simples, et on le fait ensemble.
Prérequis : puissances, exponentielles et logarithme népérien
Pour comprendre la radioactivité, tu dois être à l'aise avec trois outils mathématiques.
1. Les puissances de 2. $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$… Quand on divise par 2 plusieurs fois de suite, on utilise ces puissances : $\frac{1}{2^n}$ signifie « divisé par 2, n fois ».
2. La fonction exponentielle $e^x$. Sur ta calculatrice, la touche $e^x$ donne la valeur de l'exponentielle. $e^0 = 1$, $e^1 \approx 2{,}718$, $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$. Un nombre positif élevé à une puissance négative devient une fraction inférieure à 1.
3. Le logarithme népérien $\ln$. C'est la fonction « inverse » de l'exponentielle : si $e^a = b$, alors $\ln(b) = a$. En particulier, $\ln(1) = 0$, $\ln(2) \approx 0{,}693$, et $\ln(1/2) = -\ln 2$. Le logarithme permet de « redescendre » d'une exponentielle pour trouver le temps.
L'essentiel : décroissance radioactive et demi-vie
Un noyau radioactif instable se désintègre spontanément. On ne peut pas prédire quand un noyau précis va se désintégrer, mais sur des milliards de noyaux, la proportion qui survit à un instant $t$ suit une loi mathématique très précise : une exponentielle décroissante.
Loi de décroissance du nombre de noyaux $N$ :
$$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$$
$N_0$ est le nombre de noyaux au début ($t = 0$). $\lambda$ (lambda) est la constante radioactive, en $\text{s}^{-1}$ ou $\text{an}^{-1}$. Plus $\lambda$ est grand, plus la désintégration est rapide.
Activité $A$ : c'est le nombre de désintégrations par seconde. Elle se mesure en becquerel (Bq).
$$A(t) = \lambda \, N(t) = A_0 \, e^{-\lambda t}$$
Demi-vie $t_{1/2}$ : c'est le temps au bout duquel la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Elle ne dépend ni de la quantité de départ, ni de la température, ni de l'état chimique.
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}$$
Astuce : si le temps écoulé $t$ est un multiple entier de la demi-vie ($t = n \times t_{1/2}$), on peut éviter l'exponentielle et utiliser directement :
$$N = \frac{N_0}{2^n} \quad \text{ou} \quad A = \frac{A_0}{2^n}$$
À toi de jouer
1. Complète les égalités suivantes pour vérifier que tu maîtrises les puissances de 2.
a) $2^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) Si $N_0 = 800$ et $n = 3$ demi-vies, alors $N = \frac{800}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
a) $2^3 = 8$
b) $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
c) $2^3 = 8$, donc $N = \frac{800}{8} = 100$ noyaux.
2. On te donne $\ln 2 \approx 0{,}693$. Complète la formule liant $\lambda$ et $t_{1/2}$ :
$$\lambda = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{t_{1/2}}$$
Si $t_{1/2} = 10$ secondes, alors $\lambda = \frac{0{,}693}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ s$^{-1}$.
Corrigé
$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$
Si $t_{1/2} = 10$ s, alors $\lambda = \frac{0{,}693}{10} = 0{,}0693$ s$^{-1}$.
3. Un échantillon contient $N_0 = 2000$ noyaux radioactifs. Après 1 demi-vie, il reste $N = \frac{2000}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Après 2 demi-vies, il reste $N = \frac{2000}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Après 3 demi-vies, il reste $N = \frac{2000}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Complète les trous.
Corrigé
Après 1 demi-vie : $N = \frac{2000}{2} = 1000$ noyaux.
Après 2 demi-vies : $N = \frac{2000}{4} = 500$ noyaux.
Après 3 demi-vies : $N = \frac{2000}{8} = 250$ noyaux.
Ah oui, c'est cette histoire de noyaux qui disparaissent de moitié en moitié ! On va reprendre le cours proprement, avec la méthode pas-à-pas pour calculer une durée, une activité ou un nombre de noyaux restants. Tu vas voir, c'est toujours la même logique.
Rappel structuré : les deux visages de la décroissance
La radioactivité suit une loi exponentielle décroissante. On la manipule dans deux directions :
- Sens direct — calculer ce qui reste : on connaît $N_0$ (ou $A_0$), $\lambda$ (ou $t_{1/2}$) et le temps $t$. On veut $N(t)$ ou $A(t)$. On applique $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ ou, si $t$ est un multiple entier de $t_{1/2}$, la formule $N = N_0 / 2^n$.
- Sens réciproque — trouver le temps écoulé : on connaît $N_0$ et $N(t)$ (ou le rapport $N/N_0$). On veut $t$. On isole l'exponentielle, puis on prend le logarithme : $t = -\frac{\ln(N/N_0)}{\lambda}$.
Méthode pas-à-pas
Étape 1 — Identifier les données. Repère dans l'énoncé $N_0$ (ou $A_0$), $\lambda$ ou $t_{1/2}$, et la durée $t$ ou le rapport $N/N_0$.
Étape 2 — Convertir les unités. Si $\lambda$ est en s$^{-1}$, mets $t$ en secondes. Si $\lambda$ est en an$^{-1}$, mets $t$ en années. 1 jour = 86 400 s, 1 an = $3{,}156 \times 10^7$ s.
Étape 3 — Calculer $\lambda$ si nécessaire. Si seule $t_{1/2}$ est donnée : $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{t_{1/2}}$.
Étape 4 — Choisir la formule. Si $t$ est un multiple entier de $t_{1/2}$, utiliser $N = N_0 / 2^n$ (plus rapide). Sinon, utiliser l'exponentielle $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
Étape 5 — Pour trouver $t$ : écrire $\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}$, puis $\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t$, donc $t = -\frac{\ln(N/N_0)}{\lambda}$.
À toi de jouer
1. Le phosphore 32 ($^{32}$P) a une demi-vie $t_{1/2} = 14{,}3$ jours. On prépare une source de $N_0 = 5{,}00 \times 10^{10}$ noyaux.
a) Calcule $\lambda$ en jour$^{-1}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \frac{0{,}693}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ jour$^{-1}$.
b) Après 28,6 jours, combien de demi-vies se sont écoulées ? $n = \frac{28{,}6}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Déduis-en $N$ par la méthode des demi-vies : $N = \frac{5{,}00 \times 10^{10}}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{5{,}00 \times 10^{10}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
a) $\lambda = \frac{\ln 2}{14{,}3} \approx \frac{0{,}693}{14{,}3} \approx 0{,}0485$ jour$^{-1}$.
b) $n = \frac{28{,}6}{14{,}3} = 2$ demi-vies.
c) $N = \frac{5{,}00 \times 10^{10}}{2^2} = \frac{5{,}00 \times 10^{10}}{4} = 1{,}25 \times 10^{10}$ noyaux.
2. On reprend le phosphore 32 ($t_{1/2} = 14{,}3$ jours, $\lambda \approx 0{,}0485$ jour$^{-1}$).
a) Écris la formule donnant $N(t)$ en fonction de $N_0$, $\lambda$ et $t$ :
$$N(t) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{-\underline{\hspace{1.1em}} \times t}$$
b) Calcule $N$ après $t = 10{,}0$ jours en utilisant l'exponentielle (garde 3 chiffres significatifs) :
$\lambda t = 0{,}0485 \times 10{,}0 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$e^{-\lambda t} = e^{-\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$
$N(10{,}0) = 5{,}00 \times 10^{10} \times \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
a) $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda \times t}$
b) $\lambda t = 0{,}0485 \times 10{,}0 = 0{,}485$
$e^{-\lambda t} = e^{-0{,}485} \approx 0{,}616$
$N(10{,}0) = 5{,}00 \times 10^{10} \times 0{,}616 \approx 3{,}08 \times 10^{10}$ noyaux.
3. Un échantillon d'iode 131 a une activité initiale $A_0 = 800$ Bq et une demi-vie $t_{1/2} = 8{,}0$ jours.
Complète pour trouver le temps $t$ où l'activité vaut $A = 100$ Bq :
a) Rapport $A/A_0 = \frac{100}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Ce rapport correspond à $\frac{1}{2^n}$ avec $n = \underline{\hspace{1.1em}}$ car $2^{\underline{\hspace{1.1em}}} = 8$.
c) Donc $t = n \times t_{1/2} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 8{,}0 = \underline{\hspace{1.1em}}$ jours.
Corrigé
a) $A/A_0 = \frac{100}{800} = 0{,}125 = \frac{1}{8}$
b) $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$ donc $n = 3$ demi-vies.
c) $t = 3 \times 8{,}0 = 24$ jours.
Cinq exercices quasi identiques pour mécaniser le calcul avec la formule $N = N_0 / 2^n$. Tu vas enchaîner les divisions par 2, 4, 8… jusqu'à ce que ça devienne un réflexe.
À toi de jouer
1. Un échantillon contient $N_0 = 1600$ noyaux. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5$ minutes. Calcule le nombre de noyaux restants après 10 minutes.
Complète : $n = \frac{10}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ demi-vies. $N = \frac{1600}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{1600}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
$n = \frac{10}{5} = 2$ demi-vies. $N = \frac{1600}{2^2} = \frac{1600}{4} = 400$ noyaux.
2. Même échantillon ($N_0 = 1600$, $t_{1/2} = 5$ min). Calcule $N$ après 15 minutes.
Complète : $n = \frac{15}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. $N = \frac{1600}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{1600}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
$n = \frac{15}{5} = 3$. $N = \frac{1600}{2^3} = \frac{1600}{8} = 200$ noyaux.
3. Même échantillon ($N_0 = 1600$, $t_{1/2} = 5$ min). Calcule $N$ après 20 minutes.
Complète : $n = \frac{20}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. $N = \frac{1600}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{1600}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ noyaux.
Corrigé
$n = \frac{20}{5} = 4$. $N = \frac{1600}{2^4} = \frac{1600}{16} = 100$ noyaux.
4. Une source radioactive a une activité initiale $A_0 = 2400$ Bq et une demi-vie $t_{1/2} = 6$ heures. Calcule l'activité après 12 heures.
Complète : $n = \frac{12}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. $A = \frac{2400}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{2400}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ Bq.
Corrigé
$n = \frac{12}{6} = 2$. $A = \frac{2400}{2^2} = \frac{2400}{4} = 600$ Bq.
5. Même source ($A_0 = 2400$ Bq, $t_{1/2} = 6$ h). Calcule l'activité après 18 heures.
Complète : $n = \frac{18}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. $A = \frac{2400}{2^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{2400}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ Bq.
Corrigé
$n = \frac{18}{6} = 3$. $A = \frac{2400}{2^3} = \frac{2400}{8} = 300$ Bq.
Place aux exercices type contrôle : tu vas calculer des constantes radioactives, des activités après un temps non multiple de la demi-vie, déterminer un temps par le logarithme, et même dater un échantillon. Prends ta calculatrice, on passe en mode autonome.
À toi de jouer
1. L'iode 131 ($^{131}$I) est utilisé en médecine nucléaire pour traiter la thyroïde. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 8{,}0$ jours. On donne $\ln 2 \approx 0{,}693$ et 1 jour = 86 400 s.
a) Calcule la constante radioactive $\lambda$ en s$^{-1}$.
b) Un patient reçoit une activité initiale $A_0 = 7{,}4 \times 10^8$ Bq. Calcule l'activité $A$ après 24 jours.
c) Détermine le nombre de noyaux $N_0$ présents initialement chez ce patient.
Corrigé
a) $t_{1/2} = 8{,}0 \times 86 400 = 691 200$ s.
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{691 200} \approx 1{,}00 \times 10^{-6}$ s$^{-1}$.
b) 24 jours = $3 \times 8{,}0$ jours, donc $n = 3$ demi-vies.
$A = \frac{A_0}{2^3} = \frac{7{,}4 \times 10^8}{8} = 9{,}25 \times 10^7$ Bq.
c) $N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7{,}4 \times 10^8}{1{,}00 \times 10^{-6}} = 7{,}4 \times 10^{14}$ noyaux.
2. Le radon 222 ($^{222}$Rn) est un gaz radioactif naturel de demi-vie $t_{1/2} = 3{,}82$ jours. On donne 1 jour = 86 400 s.
a) Calcule $\lambda$ en s$^{-1}$.
b) Un échantillon contient $N_0 = 1{,}00 \times 10^{18}$ noyaux. Calcule $N(t)$ après $t = 7{,}64$ jours en utilisant la formule $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
c) Vérifie ton résultat par la méthode des demi-vies.
Corrigé
a) $t_{1/2} = 3{,}82 \times 86 400 = 330 048$ s.
$\lambda = \frac{\ln 2}{330 048} = \frac{0{,}693}{330 048} \approx 2{,}10 \times 10^{-6}$ s$^{-1}$.
b) $t = 7{,}64 \times 86 400 = 660 096$ s.
$\lambda t = 2{,}10 \times 10^{-6} \times 660 096 \approx 1{,}386 = 2 \ln 2$.
$N = 1{,}00 \times 10^{18} \times e^{-2 \ln 2} = 1{,}00 \times 10^{18} \times \frac{1}{4} = 2{,}50 \times 10^{17}$ noyaux.
c) $t = 7{,}64$ jours. $n = \frac{7{,}64}{3{,}82} = 2$ demi-vies exactement.
$N = \frac{1{,}00 \times 10^{18}}{2^2} = \frac{1{,}00 \times 10^{18}}{4} = 2{,}50 \times 10^{17}$ noyaux. Les deux méthodes concordent.
3. Une source de cobalt 60 ($^{60}$Co) utilisée en radiothérapie a une activité initiale $A_0 = 1{,}85 \times 10^{10}$ Bq et une demi-vie $t_{1/2} = 5{,}27$ ans. On prendra 1 an = $3{,}156 \times 10^7$ s.
a) Calcule $\lambda$ en s$^{-1}$.
b) Calcule l'activité $A$ après 10,54 ans.
c) Calcule le nombre initial de noyaux $N_0$.
Corrigé
a) $t_{1/2} = 5{,}27 \times 3{,}156 \times 10^7 = 1{,}663 \times 10^8$ s.
$\lambda = \frac{\ln 2}{1{,}663 \times 10^8} = \frac{0{,}693}{1{,}663 \times 10^8} \approx 4{,}17 \times 10^{-9}$ s$^{-1}$.
b) 10,54 ans = $2 \times 5{,}27$ ans, donc $n = 2$ demi-vies.
$A = \frac{A_0}{2^2} = \frac{1{,}85 \times 10^{10}}{4} = 4{,}625 \times 10^9$ Bq.
c) $N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{1{,}85 \times 10^{10}}{4{,}17 \times 10^{-9}} \approx 4{,}44 \times 10^{18}$ noyaux.
4. Dans un organisme vivant, l'activité massique du carbone 14 ($^{14}$C) vaut $A_0 = 13{,}6$ désintégrations par minute et par gramme (dpm/g). Pour un fragment de bois archéologique, on mesure $A = 3{,}40$ dpm/g. La demi-vie du $^{14}$C est $t_{1/2} = 5730$ ans.
a) Montre que $t = -\frac{\ln(A/A_0)}{\lambda}$.
b) Calcule $\lambda$ en an$^{-1}$.
c) Calcule l'âge $t$ du bois.
d) Retrouve ce résultat à l'aide de la notion de demi-vie.
Corrigé
a) $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$. On divise par $A_0$ : $\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t}$. On prend le logarithme : $\ln\left(\frac{A}{A_0}\right) = -\lambda t$. On isole $t$ : $t = -\frac{\ln(A/A_0)}{\lambda}$.
b) $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx \frac{0{,}693}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ an$^{-1}$.
c) $\frac{A}{A_0} = \frac{3{,}40}{13{,}6} = 0{,}25 = \frac{1}{4}$.
$\ln(0{,}25) = \ln(1/4) = -\ln 4 = -1{,}386$ (car $\ln 4 = 2 \ln 2 \approx 1{,}386$).
$t = -\frac{-1{,}386}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 11 500$ ans.
d) $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$, donc $n = 2$ demi-vies.
$t = 2 \times 5730 = 11 460$ ans. Les deux méthodes donnent environ 11 500 ans (cohérent à l'arrondi près).
Tu maîtrises la décroissance exponentielle ? Alors on pousse un peu plus loin : durée de vie moyenne, datation au carbone 14 avec une équation à résoudre, et comparaison de deux isotopes pour choisir le meilleur traceur médical. Ces notions seront approfondies dans le supérieur.
Ouverture : durée de vie moyenne et choix d'un radioisotope
La durée de vie moyenne $\tau$ (tau) d'un noyau radioactif est le temps moyen avant qu'il ne se désintègre. Elle est liée à la constante radioactive par :
$$\tau = \frac{1}{\lambda}$$
Contrairement à la demi-vie $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693/\lambda$, la durée de vie moyenne est plus longue : $\tau \approx 1{,}44 \, t_{1/2}$.
En imagerie médicale, on choisit un isotope dont la demi-vie est adaptée à l'examen : assez longue pour que le traceur atteigne sa cible, mais assez courte pour limiter l'irradiation du patient après l'examen.
À toi de jouer
1. Un détecteur de fumée contient de l'américium 241 ($^{241}$Am) de demi-vie $t_{1/2} = 432$ ans. La réglementation impose de remplacer le détecteur lorsque son activité tombe à 80 % de l'activité initiale. On donne $\ln(0{,}80) \approx -0{,}223$.
a) Exprime $t$ en fonction de $t_{1/2}$, $\ln 2$ et $\ln(0{,}80)$.
b) Calcule $t$ numériquement en années.
c) Compare $t$ à $t_{1/2}$ et commente la cohérence du résultat.
Corrigé
a) $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$.
$\frac{A}{A_0} = 0{,}80 = e^{-\lambda t}$.
$\ln(0{,}80) = -\lambda t = -\frac{\ln 2}{t_{1/2}} t$.
Donc $t = -\frac{\ln(0{,}80)}{\ln 2} \times t_{1/2}$.
b) $t = -\frac{-0{,}223}{0{,}693} \times 432 \approx 0{,}322 \times 432 \approx 139$ ans.
c) $t \approx 139$ ans est nettement inférieur à $t_{1/2} = 432$ ans. C'est cohérent : pour perdre seulement 20 % d'activité (il reste 80 %), il faut moins d'une demi-vie. Après une demi-vie complète, il ne resterait que 50 %.
2. On souhaite utiliser un traceur radioactif pour une scintigraphie cardiaque. Deux isotopes sont envisagés : le thallium 201 ($t_{1/2} = 73$ h) et le technétium 99m ($t_{1/2} = 6{,}0$ h). L'examen dure 3 heures, mais le traceur doit rester détectable pendant 24 heures après injection pour permettre les clichés tardifs.
a) Calcule, pour chaque isotope, la fraction d'activité restante après 24 heures ($A/A_0$).
b) Sachant qu'une activité inférieure à 5 % de $A_0$ est trop faible pour être exploitée, lequel des deux isotopes est le plus adapté ? Justifie.
Corrigé
a) Pour le thallium 201 : $n = \frac{24}{73} \approx 0{,}329$ demi-vie.
$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} = e^{-\frac{\ln 2}{73} \times 24} \approx e^{-0{,}228} \approx 0{,}796$, soit 79,6 %.
Pour le technétium 99m : $n = \frac{24}{6{,}0} = 4$ demi-vies.
$\frac{A}{A_0} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$, soit 6,25 %.
b) Le thallium 201 conserve près de 80 % de son activité après 24 h, ce qui est largement suffisant. Le technétium 99m tombe à 6,25 %, ce qui reste au-dessus du seuil de 5 %, mais est très faible. En pratique, le technétium 99m est souvent préféré car sa demi-vie courte limite l'irradiation globale, mais pour des clichés à 24 h, le thallium 201 est plus adapté car il offre un signal plus fort. Le choix dépend du compromis entre durée de détection et dose reçue.
3. L'uranium 238 ($^{238}$U) a une demi-vie de $4{,}47 \times 10^9$ ans. Sa durée de vie moyenne $\tau$ vérifie $\tau = 1/\lambda$.
a) Calcule $\lambda$ en an$^{-1}$ pour $^{238}$U.
b) Déduis-en $\tau$ en années.
c) Vérifie que $\tau \approx 1{,}44 \, t_{1/2}$.
Corrigé
a) $\lambda = \frac{\ln 2}{4{,}47 \times 10^9} \approx \frac{0{,}693}{4{,}47 \times 10^9} \approx 1{,}55 \times 10^{-10}$ an$^{-1}$.
b) $\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1{,}55 \times 10^{-10}} \approx 6{,}45 \times 10^9$ ans.
c) $1{,}44 \times t_{1/2} = 1{,}44 \times 4{,}47 \times 10^9 \approx 6{,}44 \times 10^9$ ans. La relation $\tau \approx 1{,}44 \, t_{1/2}$ est bien vérifiée (écart dû à l'arrondi).