Radioactivité : décroissance et demi-vie

Un noyau instable se désintègre spontanément — le nombre de noyaux restants décroît exponentiellement avec le temps.

1 L'idée

Un noyau radioactif est instable : il se désintègre spontanément en émettant un rayonnement (α, β ou γ) pour donner un noyau fils plus stable. La désintégration d'un noyau individuel est aléatoire et imprévisible, mais sur un très grand nombre de noyaux, la proportion qui reste suit une loi exponentielle décroissante parfaitement déterministe.

Chaque isotope est caractérisé par une constante radioactive $\lambda$ (en s⁻¹) : plus $\lambda$ est grand, plus la désintégration est rapide. La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux s'est désintégrée ; elle ne dépend ni de la quantité initiale, ni de la température, ni de l'état chimique.

2 Les lois fondamentales

Décroissance du nombre de noyaux

$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$

Activité (en becquerel, Bq = désint./s)

$A(t) = \lambda \, N(t) = A_0 \, e^{-\lambda t} \quad \text{avec} \quad A_0 = \lambda N_0$

Demi-vie et constante radioactive

$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \approx \dfrac{0{,}693}{\lambda}$

Après n demi-vies exactes

$N = \dfrac{N_0}{2^n}$

3 Exemples calculés

Exemple A — Calculer λ à partir de t₁/₂

Le carbone 14 a $t_{1/2} = 5\,730$ ans.

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730} \approx \dfrac{0{,}693}{5\,730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ an⁻¹.

Exemple B — Nombre de noyaux après 3 demi-vies

$N_0 = 1{,}60 \times 10^{12}$ noyaux, $n = 3$ demi-vies.

$N = \dfrac{1{,}60 \times 10^{12}}{2^3} = \dfrac{1{,}60 \times 10^{12}}{8} = 2{,}00 \times 10^{11}$ noyaux.

Exemple C — Trouver t à partir de N(t)/N₀

On sait $N(t)/N_0 = 1/4$ et $t_{1/2} = 100$ ans.

$1/4 = 1/2^2 \Rightarrow n = 2$ demi-vies $\Rightarrow t = 2 \times 100 = 200$ ans.

Vérification : $N(200) = N_0 \, e^{-\lambda \times 200} = N_0 \, e^{-2\ln 2} = N_0/4$. ✓

Méthode — résoudre un problème de décroissance radioactive

Identifier les données : $N_0$ (ou $A_0$), $\lambda$ ou $t_{1/2}$, et la durée $t$.
Convertir toutes les durées dans la même unité avant tout calcul (souvent en secondes pour l'activité en Bq).
Si seule $t_{1/2}$ est donnée : calculer $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$.
Astuce : si $t = n \times t_{1/2}$ avec $n$ entier, utiliser $N = N_0/2^n$ — plus rapide que l'exponentielle.
Pour trouver $t$ : isoler $e^{-\lambda t}$, puis prendre le logarithme : $t = -\dfrac{\ln(N/N_0)}{\lambda}$.

Erreurs fréquentes

$t_{1/2} \neq 1/\lambda$ : la demi-vie vaut $\ln 2/\lambda \approx 0{,}693/\lambda$, et non $1/\lambda$ (qui est la durée de vie moyenne $\tau$).
Unités : si $t$ est en jours ou en années, $\lambda$ doit être dans la même unité — convertir avant tout calcul numérique.
Ne pas confondre $N$ (nombre de noyaux, sans unité) et $A = \lambda N$ (activité, en Bq) — un facteur $\lambda$ les sépare.
Après $n$ demi-vies, il reste $N_0/2^n$ noyaux, pas $N_0 - n \times (N_0/2)$ : la décroissance est exponentielle, pas linéaire.