Exercice théorème de Thalès : 6 exercices corrigés pas à pas

Exercice théorème de Thalès : voici six énoncés avec leur correction entièrement rédigée, de l'application directe du cours jusqu'à la réciproque, en accès libre et sans inscription.

Exercice théorème de Thalès : la méthode en trois temps

Un exercice sur le théorème de Thalès se résout en trois temps : repérer la configuration (deux droites parallèles coupées par deux sécantes, triangles emboîtés ou papillon), écrire l'égalité des trois rapports en respectant l'ordre des sommets, puis calculer la longueur cherchée par produit en croix. La réciproque, elle, ne sert jamais à calculer une longueur : elle sert à démontrer un parallélisme.

Le point qui fait perdre le plus de points n'est pas le calcul, c'est l'ordre dans lequel les lettres sont écrites. Dans un triangle ABC avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) parallèle à (BC), l'égalité du cours s'écrit AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les trois numérateurs appartiennent au petit triangle, les trois dénominateurs au grand, et chaque fraction part du même sommet A. Une fraction retournée dans le lot et tout le reste s'effondre.

Avant de commencer les exercices ci-dessous, gardez ouverte la fiche de cours Thalès et réciproque du programme de 3e : les énoncés qui suivent reprennent exactement les notations qu'elle utilise.

Exercice 1 : application directe du cours du théorème de Thalès

Énoncé. ABC est un triangle. M est un point du segment [AB], N un point du segment [AC], et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm et BC = 12 cm. Calculer AC, puis MN.

Correction. Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C aussi, et (MN) est parallèle à (BC). Le théorème de Thalès s'applique dans les triangles emboîtés de sommet commun A, et donne :

AM/AB = AN/AC = MN/BC, soit 4/10 = 6/AC = MN/12.

Pour AC, le produit en croix sur les deux premières fractions donne 4 × AC = 10 × 6 = 60, donc AC = 60 ÷ 4 = 15 cm.

Pour MN, le produit en croix sur la première et la troisième donne 10 × MN = 4 × 12 = 48, donc MN = 48 ÷ 10 = 4,8 cm.

Conclusion à recopier telle quelle sur la copie : AC mesure 15 cm et MN mesure 4,8 cm.

Remarquez que rien n'a été calculé avant que la triple égalité soit écrite en entier. C'est le geste à automatiser : on écrit d'abord les trois rapports avec les lettres, on remplace ensuite.

Exercice 2 : la configuration papillon, quand les triangles sont opposés

Énoncé. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On donne OA = 3 cm, OB = 4,5 cm, AB = 5 cm et OC = 9 cm. Calculer OD et CD.

Correction. Le point O appartient à la fois à [AC] et à [BD], donc les triangles OAB et OCD sont opposés par le sommet O. Avec (AB) parallèle à (CD), le théorème de Thalès donne :

OA/OC = OB/OD = AB/CD, soit 3/9 = 4,5/OD = 5/CD.

Le rapport de réduction vaut 3/9, c'est-à-dire 1/3. Pour OD : 3 × OD = 9 × 4,5 = 40,5, donc OD = 13,5 cm. Pour CD : 3 × CD = 9 × 5 = 45, donc CD = 15 cm.

Conclusion : OD mesure 13,5 cm et CD mesure 15 cm.

Cette configuration se reconnaît à sa forme de nœud papillon, et beaucoup d'élèves refusent d'y appliquer Thalès parce qu'ils ne voient plus le triangle emboîté du cours. La règle d'écriture ne change pourtant pas : le sommet commun O ouvre les deux premières fractions, et la troisième compare les deux côtés parallèles. Pour vous entraîner sur les deux configurations à la suite, la feuille d'exercices Thalès et réciproque de 3e les alterne volontairement.

Exercice 3 : l'erreur classique du rapport écrit avec le mauvais segment

Énoncé. Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). On donne AM = 3 cm, MB = 5 cm et BC = 10 cm. Calculer MN.

Correction. L'énoncé donne AM et MB, pas AB. Première étape, reconstituer le côté entier : AB = AM + MB = 3 + 5 = 8 cm.

Thalès donne alors MN/BC = AM/AB, soit MN/10 = 3/8. Le produit en croix donne 8 × MN = 30, donc MN = 3,75 cm.

Conclusion : MN mesure 3,75 cm.

La copie qui perd les points écrit MN/BC = AM/MB, soit 3/5, et trouve 6 cm. Le rapport AM/MB = AN/NC est bien vrai dans cette figure (3/5 d'un côté, et on peut vérifier qu'il vaut la même chose de l'autre), mais il ne fait pas partie de la triple égalité du théorème : MN se compare à BC dans le même rapport que AM se compare à AB, le côté entier. Quand un énoncé fournit un morceau de côté, additionnez avant d'écrire quoi que ce soit.

Exercice 4 : Thalès dans une situation concrète, la hauteur par l'ombre

Énoncé. Un piquet vertical de 1,50 m projette une ombre de 0,90 m sur le sol horizontal. Au même moment, un arbre projette une ombre de 5,40 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Correction. Attention à la figure : il n'y a pas ici de triangles emboîtés partageant un sommet. Le piquet et son ombre forment un premier triangle rectangle, l'arbre et la sienne un second, entièrement séparé du premier. Ce qui les relie, c'est que les rayons du soleil arrivent parallèlement entre eux et que les deux objets sont perpendiculaires au sol : les deux triangles ont donc leurs angles deux à deux égaux, ils sont semblables, et le grand est un agrandissement du petit. C'est cette phrase qu'il faut écrire dans la copie, elle seule autorise l'égalité des rapports qui suit.

Le coefficient d'agrandissement se lit sur les ombres : 5,40 ÷ 0,90 = 6. Les hauteurs sont dans le même rapport, donc hauteur de l'arbre / 1,50 = 5,40 / 0,90 = 6, d'où hauteur de l'arbre = 1,50 × 6 = 9.

Conclusion : l'arbre mesure 9 m.

Les problèmes de ce type sont notés autant sur la modélisation que sur le calcul. Le point décisif est la phrase qui transforme l'énoncé en figure : dire que les rayons du soleil sont parallèles, que les deux objets sont perpendiculaires au sol, et que les deux triangles rectangles obtenus sont donc semblables. L'exercice est souvent annoncé comme un exercice « de Thalès », parce qu'on y manipule les mêmes rapports et le même produit en croix, mais la justification attendue est celle de l'agrandissement, pas celle d'une configuration emboîtée.

Exercice 5 : Thalès et Pythagore dans le même exercice

Énoncé. ABC est un triangle rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. M est le point de [AB] tel que AM = 4,5 cm, et N est le point de [AC] tel que (MN) est parallèle à (BC). Calculer BC, puis AN et MN.

Correction. Le triangle ABC est rectangle en A, donc le théorème de Pythagore donne BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100, d'où BC = 10 cm.

Thalès s'applique ensuite dans les triangles AMN et ABC : AM/AB = AN/AC = MN/BC, soit 4,5/6 = AN/8 = MN/10. Le rapport 4,5 ÷ 6 vaut 0,75.

AN = 0,75 × 8 = 6 cm, et MN = 0,75 × 10 = 7,5 cm.

Vérification possible sans nouvelle formule : le triangle AMN est lui aussi rectangle en A, et 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25, qui est bien le carré de 7,5. Le résultat tient.

Conclusion : BC mesure 10 cm, AN mesure 6 cm et MN mesure 7,5 cm.

Les sujets de brevet enchaînent souvent les deux théorèmes dans la même question, et la difficulté est de savoir lequel ouvre le raisonnement. Ici, c'est le sens direct de Pythagore qui donne la longueur BC. Nos fiches de 3e traitent, elles, le sens inverse : la fiche sur la réciproque du théorème de Pythagore et ses exercices associés servent à démontrer qu'un triangle est rectangle, pas à calculer un troisième côté. Elles restent utiles à ce stade, parce que la rédaction demandée y est exactement celle de Thalès : nommer le théorème, vérifier ses conditions, comparer, conclure.

Exercice 6 : La réciproque du théorème de Thalès sur un triangle

Énoncé. ABC est un triangle. M appartient à [AB] et N appartient à [AC]. On donne AB = 12 cm, AM = 4,5 cm, AC = 8 cm et AN = 3 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Correction. On compare les deux rapports, sans arrondir. D'un côté AM/AB = 4,5/12 = 0,375. De l'autre AN/AC = 3/8 = 0,375. Les deux rapports sont égaux, et les points A, M, B d'une part, A, N, C d'autre part, sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Variante à traiter dans la foulée. Reprenez le même énoncé avec AM = 5 cm. Alors AM/AB = 5/12 et AN/AC = 3/8. Réduits au même dénominateur 24, ces rapports valent 10/24 et 9/24 : ils sont différents. Les droites (MN) et (BC) ne sont donc pas parallèles, par la contraposée du théorème de Thalès.

Trois exigences de rédaction sont spécifiques à cette question. Il faut vérifier l'alignement dans le même ordre, sans quoi la réciproque ne s'applique pas. Il faut comparer les rapports en valeurs exactes, ou au même dénominateur, jamais sur des arrondis à deux décimales qui peuvent masquer une différence. Il faut enfin conclure sur le parallélisme, jamais sur une longueur : la réciproque ne calcule rien.

Ce que le correcteur attend dans la copie

Une correction juste mal rédigée coûte des points au contrôle comme au brevet, parce que le barème note le raisonnement autant que le résultat. Quatre gestes suffisent à sécuriser la note.

1. Annoncer la configuration et l'hypothèse : les points alignés, et le parallélisme donné par l'énoncé. Sans cette phrase, l'application du théorème n'est pas justifiée.
2. Écrire la triple égalité complète avec les lettres, avant tout chiffre. C'est elle qui prouve que l'ordre des sommets est maîtrisé.
3. Poser le produit en croix, puis donner la valeur exacte. On n'arrondit qu'à la toute fin, et seulement si l'énoncé le demande.
4. Terminer par une phrase de conclusion avec l'unité. « AC mesure 15 cm » vaut mieux que « AC = 15 » posé seul en bas de page.

Pour les classes de 4e, le même raisonnement se travaille d'abord sous sa forme réduite avec les milieux : les exercices sur le théorème des milieux du programme de 4e préparent exactement le geste demandé l'année suivante.

Travailler ces exercices avec les bénévoles de l'association

Vidyalaya donne des cours dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019, et s'est formellement constituée en association loi 1901 en novembre 2020. Le soutien scolaire fait partie de son objet, aux côtés du français langue étrangère ; un partenariat lie l'association à la section ULIS de la Cité scolaire Claude-Bernard, à Paris, depuis 2022.

Les cours reprennent en septembre 2026, en présentiel, à raison de 2 heures par semaine, sur deux lieux : Paris 10e, 16 rue Demarquay, et Paris 19e, 6 rue Léon Giraud. La participation demandée pour le soutien scolaire se situe entre 10 et 15 € de l'heure de cours : elle ne rémunère personne, puisque l'association fonctionne à 100 % bénévole depuis février 2024, elle couvre les frais de fonctionnement, les salles et le matériel. Pour poser une question ou demander une place, passez par la page de contact du site.

En ligne, la bibliothèque de l'association compte plus de 1 100 fiches de cours et d'exercices, gratuites, sans inscription et publiées sous licence CC BY-SA 4.0. Les pages liées dans cet article en font partie : ouvrez-en une, refaites l'exercice 6 sans regarder la correction, et comparez votre rédaction phrase par phrase avec celle donnée ci-dessus.

Questions fréquentes

Quelle différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème part du parallélisme, donné par l'énoncé, et permet de calculer une longueur. La réciproque part de deux rapports égaux et de points alignés dans le même ordre, et permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Si l'énoncé demande « les droites sont-elles parallèles », c'est la réciproque, ou sa contraposée quand la réponse est non.

En quelle classe travaille-t-on ces exercices ?

Dans nos fiches de programme, le théorème de Thalès et sa réciproque relèvent de la 3e, dans le domaine espace et géométrie. La 4e travaille la version restreinte, le théorème des milieux, qui installe le même réflexe de comparaison des rapports.

Faut-il redémontrer le théorème dans la copie ?

Non. Il faut le citer par son nom et vérifier ses conditions d'application : les points alignés et les droites parallèles. La démonstration du théorème lui-même n'est pas attendue dans un exercice de calcul de longueur.

Peut-on appliquer Thalès si les droites ne sont pas parallèles ?

Non, et c'est précisément ce que teste la variante de l'exercice 6. Quand les rapports diffèrent, on conclut par la contraposée que les droites ne sont pas parallèles, et aucun calcul de longueur n'est possible par ce théorème.