Contrôle bientôt, et le prof a écrit « donne la contraposée » au tableau sans que tu saches ce que c'est ? Respire. Ce n'est pas un chapitre de plus à apprendre : c'est la grammaire commune à tous les autres. Quatre mots, un exemple, et tu récupères les points de rédaction que tout le monde perd.
Le programme range « Vocabulaire ensembliste et logique » parmi les parties transversales : elles « ne donnent pas lieu à des séquences de cours spécifiques mais font cependant l'objet d'un enseignement explicite ». Autrement dit : ces mots-là ne tombent jamais dans un chapitre à eux. Ils arrivent en cours de route — au détour d'une équation, d'un calcul de déterminant, d'un exercice sur les entiers — puis on prend un moment pour les mettre au propre.
Cette fiche est ce moment-là. Tu n'y trouveras pas de nouvelle formule à retenir : uniquement des façons de rédiger qui servent dans tous les autres chapitres.
On part toujours d'une proposition : un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux — pas les deux, jamais « ça dépend de l'humeur ».
La contraposée de « si $A$ alors $B$ », c'est « si non $B$ alors non $A$ ». On échange les deux morceaux et on les nie.
« Si non $A$ alors non $B$ » n'est pas la contraposée : c'est un énoncé qui peut très bien être faux alors que le premier est vrai. Retiens le geste en deux temps : on retourne, puis on nie.
Étape 1 — il est vrai. Si $n$ est un multiple de $4$, on peut écrire $n = 4k$ avec $k$ entier, donc $n = 2 \times (2k)$ : c'est bien un multiple de $2$, donc un nombre pair.
Étape 2 — la contraposée. On retourne, puis on nie : « si $n$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas un multiple de $4$ ». Elle est vraie elle aussi — et elle le sera toujours, automatiquement, dès que l'énoncé de départ est vrai.
Étape 3 — la réciproque. On échange sans nier : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Là, rien n'est automatique, et elle est fausse : prends $n = 6$. Il est pair, et pourtant $6$ n'est pas un multiple de $4$. Un seul cas a suffi.
Étape 4 — le piège. « Si $n$ n'est pas un multiple de $4$, alors $n$ n'est pas pair » : beaucoup l'écrivent en croyant donner la contraposée. C'est faux, et le même $n = 6$ le montre — $6$ n'est pas un multiple de $4$, et il est pourtant bien pair.
Ce qu'il faut retenir. À partir d'une implication vraie, une seule chose est offerte : sa contraposée. Tout le reste se démontre, ou se démolit avec un contre-exemple.
Les mots te reviennent : implication, réciproque, « donc », « si et seulement si »… On remet tout au propre, dans l'ordre : ce qu'est une proposition, comment on la nie, les trois façons de raisonner attendues en seconde, et les pièges où se perdent la moitié des copies.
Une proposition est un énoncé qui a une valeur de vérité : vrai ou faux. « $3 + 4 = 7$ » est une proposition vraie ; « $5$ est un multiple de $3$ » est une proposition fausse ; « $x + 1$ » n'est pas une proposition, ce n'est qu'une expression.
On utilise des variables pour écrire des propositions qui parlent de plusieurs objets à la fois : « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ ». Sa vérité ne dépend plus d'un nombre particulier.
Deux connecteurs servent à assembler des propositions :
La négation d'une proposition $A$, c'est la proposition qui est vraie exactement quand $A$ est fausse. On l'écrit « non $A$ ». En seconde, on nie des propositions simples : des égalités, des inégalités, des appartenances, et des assemblages avec « et » ou « ou ».
| Proposition | Sa négation |
|---|---|
| $x = 3$ | $x \neq 3$ |
| $x \gt 2$ | $x \leqslant 2$ |
| $x \geqslant 0$ | $x \lt 0$ |
| $x \in [0\,;\,1]$ | $x \notin [0\,;\,1]$ |
| « $x \gt 0$ et $y \gt 0$ » | « $x \leqslant 0$ ou $y \leqslant 0$ » |
| « $x = 1$ ou $x = 2$ » | « $x \neq 1$ et $x \neq 2$ » |
| « tous les élèves ont la moyenne » | « au moins un élève n'a pas la moyenne » |
| « il existe un réel dont le carré vaut $-1$ » | « le carré de tout réel est différent de $-1$ » |
Implication. « $A \Rightarrow B$ » se lit « si $A$ alors $B$ », ou « $A$ entraîne $B$ ». Elle affirme une seule chose : on ne peut pas avoir $A$ vraie avec $B$ fausse. Attention, elle ne dit rien du cas où $A$ est fausse.
Réciproque. C'est « $B \Rightarrow A$ ». C'est une proposition différente : savoir que $A \Rightarrow B$ est vraie ne renseigne en rien sur elle. Si tu veux l'utiliser, tu dois la démontrer séparément — ou trouver un contre-exemple qui la démolit.
Contraposée. C'est « non $B \Rightarrow$ non $A$ ». Celle-là est offerte : une implication et sa contraposée sont toujours vraies ensemble, ou fausses ensemble. Démontrer l'une, c'est démontrer l'autre — et c'est parfois beaucoup plus facile dans un sens que dans l'autre.
Pour l'énoncé « si $A$ alors $B$ » :
Équivalence. « $A \Leftrightarrow B$ » se lit « $A$ si et seulement si $B$ ». Elle affirme deux implications d'un coup : $A \Rightarrow B$ et $B \Rightarrow A$. Pour la démontrer, on démontre donc les deux sens — sauf si chaque étape du calcul est elle-même une équivalence, et là on peut enchaîner.
1. Le contre-exemple — pour dire « c'est faux ». Face à un énoncé annoncé pour tous les cas, un seul cas qui le met en défaut suffit à le déclarer faux. On l'exhibe, on vérifie qu'il satisfait l'hypothèse, on vérifie qu'il rate la conclusion, et c'est plié.
2. La disjonction des cas. On découpe la situation en quelques cas qui couvrent tout, on démontre le résultat dans chacun, et on conclut. Le découpage classique sur les entiers : « $n$ est pair » ou « $n$ est impair ». Sur les réels : « $x \geqslant 0$ » ou « $x \lt 0$ ».
3. Le raisonnement par l'absurde. On garde les hypothèses, on suppose en plus que la conclusion est fausse, et on déroule jusqu'à une contradiction. Comme la situation supposée est impossible, la conclusion était vraie.
On enfile le survêt et on rédige ensemble. Trois exemples entièrement traités, empruntés à trois chapitres différents : la géométrie repérée, les inégalités, les entiers. Tu suis chaque ligne — c'est exactement le geste qu'on te demandera de refaire.
L'énoncé. Soient $A$, $B$, $C$ trois points, avec $A \neq B$ et $A \neq C$. On part de : « si $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$ ».
La contraposée. On retourne, puis on nie : « si $\det(\vec{AB},\vec{AC}) \neq 0$, alors $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés ». Elle est vraie sans rien démontrer de plus — et c'est elle que tu utilises en contrôle : tu calcules un déterminant, tu trouves $-1$, tu conclus « non alignés ». Sans le mot, tu fais déjà de la contraposition depuis des semaines.
La réciproque. « Si $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$, alors $A$, $B$, $C$ sont alignés ». Attention : elle est vraie, mais pas parce que l'énoncé de départ l'est. C'est un résultat à part, démontré dans la fiche Colinéarité et déterminant — et la démonstration y coûte une disjonction des cas selon que la première coordonnée est nulle ou non.
Le bilan. Ici l'énoncé et sa réciproque sont vrais : on a donc le droit d'écrire l'équivalence « $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$ ». Mais ce droit a été payé par deux démonstrations, pas offert par une seule.
Ligne 1 — on teste, pour voir. Avec $x = 5$ : $x^2 = 25 \gt 4$, et $5 \gt 2$. Ça marche. Avec $x = 3$ : $9 \gt 4$ et $3 \gt 2$. Ça marche encore. Deux réussites — et pourtant on n'a rien démontré du tout.
Ligne 2 — on cherche là où ça peut casser. L'hypothèse porte sur $x^2$, qui ne voit pas le signe de $x$. On va donc chercher du côté des négatifs.
Ligne 3 — le contre-exemple. Prenons $x = -3$. L'hypothèse est satisfaite : $(-3)^2 = 9$, et $9 \gt 4$. La conclusion, elle, est fausse : $-3 \gt 2$ n'est pas vrai. Un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse : l'énoncé est faux.
Ligne 4 — l'énoncé correct. Pour tout réel $x$ : $x^2 \gt 4$ équivaut à « $x \lt -2$ ou $x \gt 2$ ». Le « ou » n'est pas décoratif : c'est lui qui rattrape la moitié négative que l'énoncé de départ avait oubliée.
Ce qu'il faut retenir. Un contre-exemple réfute ; il ne prouve jamais. Les deux essais réussis de la ligne 1 n'auraient jamais pu établir l'énoncé, même en en faisant mille.
Le découpage. Tout entier est pair, ou impair — jamais les deux, jamais aucun des deux. Ces deux cas couvrent donc toute la situation, et on va démontrer le résultat dans chacun.
Cas 1 : $n$ est pair. On écrit $n = 2k$ avec $k$ entier. Alors $n(n+1) = 2k \times (n+1) = 2 \times \left[k(n+1)\right]$. Le crochet est un entier, donc $n(n+1)$ est pair.
Cas 2 : $n$ est impair. On écrit $n = 2k+1$ avec $k$ entier. Alors $n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)$, donc $n(n+1) = n \times 2(k+1) = 2 \times \left[n(k+1)\right]$. Le crochet est un entier, donc $n(n+1)$ est pair.
Conclusion. Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. Comme il n'y a pas d'autre cas, la propriété est vraie pour tout entier $n$.
Avant de rédiger, vérifie deux choses : les cas couvrent tout (aucun entier oublié) et chacun d'eux mène bien à la conclusion. Un cas oublié, et la démonstration ne vaut plus rien — c'est là que le correcteur regarde en premier.
Trois problèmes rédigés comme en contrôle : une démonstration par contraposée, une par l'absurde, une équivalence en deux sens. Puis la liste de ce que le correcteur coche — et celle des phrases qui coûtent des points à tous les coups.
Énoncé. Soit $n$ un entier. Montrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
Pourquoi on ne fonce pas tout droit. Partir de « $n^2$ est impair » ne donne rien de maniable : on ne sait pas écrire $n$ à partir de $n^2$. On va donc démontrer la contraposée, qui est équivalente à l'énoncé, et beaucoup plus facile.
Étape 1 — on écrit la contraposée. On retourne, puis on nie : « si $n$ n'est pas impair, alors $n^2$ n'est pas impair ». Pour un entier, « pas impair » veut dire « pair » — les deux cas se partagent tous les entiers sans reste. La contraposée s'énonce donc : « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ».
Étape 2 — on la démontre. Supposons $n$ pair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)$. Comme $2k^2$ est un entier, $n^2$ est pair.
Étape 3 — on conclut. La contraposée est vraie, donc l'énoncé de départ l'est aussi : si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
Le programme fait démontrer, côté arithmétique, que le carré d'un nombre impair est impair — c'est-à-dire « $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair ». Range bien les trois énoncés, ils se ressemblent et ne disent pas la même chose :
Énoncé. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a + b \geqslant 10$. Montrer que $a \geqslant 5$ ou $b \geqslant 5$.
Étape 1 — on garde l'hypothèse. On conserve $a + b \geqslant 10$ du début à la fin. C'est elle qui va fournir la contradiction ; on n'y touche pas.
Étape 2 — on nie la conclusion. La conclusion est « $a \geqslant 5$ ou $b \geqslant 5$ ». Sa négation change le connecteur et nie chaque morceau : « $a \lt 5$ et $b \lt 5$ ». C'est ce qu'on suppose, en plus de l'hypothèse.
Étape 3 — on déroule. De $a \lt 5$ et $b \lt 5$ on tire, en additionnant les deux inégalités, $a + b \lt 5 + 5$, c'est-à-dire $a + b \lt 10$.
Étape 4 — la contradiction. On aurait donc à la fois $a + b \geqslant 10$ et $a + b \lt 10$, ce qui est impossible pour un réel.
Conclusion. La supposition faite à l'étape 2 est donc à rejeter : on a bien $a \geqslant 5$ ou $b \geqslant 5$.
Sur cet exemple, les deux marchent : la contraposée de l'énoncé s'écrit « si $a \lt 5$ et $b \lt 5$, alors $a + b \lt 10$ », et c'est exactement le calcul de l'étape 3. Les deux rédactions sont justes ; l'absurde est plus souple quand la conclusion est un « ou », la contraposée est plus courte quand elle se transforme bien. Autre démonstration par l'absurde à connaître : celle de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, rédigée dans la fiche Ensembles de nombres.
Énoncé. Soit $x$ un réel. Montrer que $x^2 = 9$ si et seulement si $x = 3$ ou $x = -3$.
Le plan. Une équivalence, c'est deux implications. On les traite l'une après l'autre, en annonçant à chaque fois laquelle on démontre.
Sens 1 — on suppose $x^2 = 9$. Alors $x^2 - 9 = 0$, donc $(x-3)(x+3) = 0$. Un produit de deux facteurs est nul exactement quand l'un au moins des facteurs est nul : donc $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$, c'est-à-dire $x = 3$ ou $x = -3$.
Sens 2 — on suppose $x = 3$ ou $x = -3$. Deux cas. Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$. Si $x = -3$, alors $x^2 = (-3)^2 = 9$. Dans les deux cas $x^2 = 9$.
Conclusion. Les deux implications sont établies, donc l'équivalence est démontrée : $x^2 = 9 \iff (x = 3$ ou $x = -3)$.
Écrire « $x^2 = 9$ donc $x = 3$ » et s'arrêter là, c'est perdre la solution $-3$ — et c'est aussi n'avoir démontré qu'un seul sens. Chaque fois que tu passes d'un carré à sa racine, il y a deux candidats : garde-les tous les deux.
Tu tiens la mécanique ? Regardons sous le capot : pourquoi la contraposée dit la même chose, le vocabulaire « nécessaire / suffisant » que tu vas entendre l'an prochain, et ce qui arrive quand on se met à nier une implication. Bonus culture — au-delà du contrôle.
On peut s'en convaincre sans machinerie, en revenant à ce que l'implication affirme vraiment.
Ce que dit « si $A$ alors $B$ ». Une seule chose : la situation « $A$ vraie et $B$ fausse » est impossible. Rien de plus. Quand $A$ est fausse, l'implication ne promet rien.
Ce que dit « si non $B$ alors non $A$ ». La même chose lue à l'envers : la situation « non $B$ vraie et non $A$ fausse » est impossible — c'est-à-dire « $B$ fausse et $A$ vraie ».
La conclusion. Les deux énoncés interdisent la même et unique situation : $A$ vraie avec $B$ fausse. Ils ne peuvent donc pas avoir des valeurs de vérité différentes. Voilà pourquoi démontrer l'un, c'est démontrer l'autre — et pourquoi ce n'est pas un truc, mais un fait.
La réciproque, elle, interdit une autre situation : « $B$ vraie et $A$ fausse ». Rien à voir. C'est pour cela qu'elle vit sa vie de son côté.
Le même $A \Rightarrow B$ se dit de deux manières que tu croiseras en première :
Reprends l'exemple du premier onglet : être un multiple de $4$ est suffisant pour être pair ; être pair est nécessaire pour être un multiple de $4$, mais pas suffisant. Et quand une condition est à la fois nécessaire et suffisante, on a une équivalence.
En seconde, on ne nie que des propositions simples : le programme précise « sans implication ni quantificateurs ». Voici quand même à quoi ça ressemble, parce que tu t'en sers déjà sans le savoir.
Nier « si $A$ alors $B$ », ce n'est pas « si $A$ alors non $B$ ». C'est affirmer que la situation interdite se produit : « $A$ est vraie et $B$ est fausse ». Une négation d'implication n'est plus une implication du tout.
Reprends l'énoncé de l'onglet vert : « pour tout réel $x$, si $x^2 \gt 4$ alors $x \gt 2$ ». Le nier, c'est affirmer : « il existe un réel $x$ tel que $x^2 \gt 4$ et $x \leqslant 2$ » — on garde l'hypothèse et on nie la conclusion. Et exhiber un tel $x$ — ici $-3$ —, c'est précisément donner un contre-exemple. Un contre-exemple n'est pas un truc de dépannage : c'est la démonstration de la négation de l'énoncé.
Au passage, tu vois pourquoi il ne prouve rien dans l'autre sens : trouver un $x$ qui vérifie l'énoncé ne dit rien de tous les autres.
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