Pythagore exercice : corrigé pas à pas et lexique de l'énoncé

Quatre exercices, trois corrigés en entier et un à chercher seul, du repérage de l'hypoténuse jusqu'à l'arrondi, avec les mots de l'énoncé traités avant le calcul.

Pythagore exercice : la méthode en trois étapes

Quand on tape « pythagore exercice », on veut un énoncé, un corrigé qui ne s'arrête pas à la ligne de calcul, et la possibilité de recommencer sur un autre. Voici la méthode, puis trois corrigés complets et un énoncé à traiter seul.

Un exercice sur le théorème de Pythagore se résout en trois étapes : repérer le triangle rectangle et son hypoténuse, écrire l'égalité hypoténuse² = côté² + côté², puis isoler la longueur cherchée. Si les trois longueurs sont données, on compare les deux membres : l'égalité vérifiée prouve que le triangle est rectangle.

Pour un calcul de longueur, la rédaction la plus souvent attendue au collège tient en quatre lignes ; la consigne ou l'enseignant peut en exiger plus ou moins.

1. « Le triangle ABC est rectangle en A. »
2. « D'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². »
3. Le calcul, avec les nombres remplacés.
4. La conclusion, avec l'unité et l'arrondi demandé.

Ce gabarit ne couvre que le calcul d'une longueur. L'exercice de réciproque, celui où l'on doit établir la nature du triangle, suit une rédaction différente : les deux membres sont calculés séparément, puis comparés, et la conclusion vient seulement après. C'est l'objet du troisième corrigé plus bas.

Une seule règle décide du signe : si l'hypoténuse est cherchée, on additionne. Si l'hypoténuse est donnée et qu'on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait. Tout le reste de l'exercice découle de cette question, posée avant d'écrire quoi que ce soit.

Un mot sur qui écrit ces corrigés. Vidyalaya est une association loi 1901, implantée dans le quartier de la Gare du Nord (Paris 10e) depuis 2019, entièrement bénévole depuis février 2024. Nous faisons du français langue étrangère et du soutien scolaire, dans les mêmes locaux du 10e et du 19e. C'est ce qui explique la section suivante : en séance, nous lisons l'énoncé avant de toucher au calcul.

Les mots de l'énoncé qui bloquent avant le calcul

L'association reçoit depuis 2019, dans le même quartier, un public qui vient pour le français et pour le programme scolaire, avec des élèves qui travaillent les maths dans une langue qu'ils sont en train d'apprendre. Le calcul de Pythagore est court. Le vocabulaire de l'énoncé, lui, ne l'est pas, et un exercice raté n'est pas toujours un exercice mal calculé.

Le mot de l'énoncé	Ce qu'il demande vraiment
hypoténuse	le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois
côté de l'angle droit	l'un des deux côtés qui touchent le sommet de l'angle droit
« rectangle en A »	l'angle droit est au sommet A, donc l'hypoténuse est [BC]
« en déduire »	réutiliser le résultat de la question précédente, sans le recalculer
« valeur exacte »	la réponse avec le symbole racine, sans passer à la calculatrice
« arrondir au dixième »	un seul chiffre après la virgule
« justifier »	citer le théorème par son nom avant le calcul

Deux formulations méritent qu'on s'y arrête. « En déduire » signale que la question précédente a déjà donné le nombre nécessaire, et qu'un élève qui repart de zéro perd du temps sur un devoir chronométré. « Valeur exacte » et « valeur arrondie » ne demandent pas la même écriture : l'une garde √74, l'autre donne 8,6. Un énoncé qui réclame la valeur exacte et reçoit un arrondi perd des points, même si l'arrondi est juste.

Le geste à prendre : lire l'énoncé une fois pour l'histoire, une deuxième fois en entourant ces mots-là, et seulement ensuite ouvrir le cahier.

Exercice corrigé 1 : calculer l'hypoténuse

Énoncé. ABC est un triangle rectangle en A. AB = 5 cm et AC = 7 cm. Calculer BC, puis en donner la valeur arrondie au dixième de centimètre.

Corrigé.

Le triangle ABC est rectangle en A, donc son hypoténuse est [BC], le côté qui ne touche pas le sommet A.

D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².

BC² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74.

BC = √74 cm, c'est la valeur exacte.

BC ≈ 8,6 cm, arrondi au dixième.

Le point de contrôle. L'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés. 8,6 est bien supérieur à 7 et à 5, le résultat est cohérent. Un élève qui trouve 6 cm sait immédiatement qu'il s'est trompé, sans attendre la correction.

Pour d'autres énoncés du même type, notre fiche d'exercices sur le théorème de Pythagore en 4e enchaîne les configurations classiques, avec les corrigés.

Exercice corrigé 2 : calculer un côté de l'angle droit

Énoncé. RST est un triangle rectangle en S. RT = 9 cm et RS = 4 cm. Calculer ST, arrondi au dixième.

C'est l'exercice où le signe se décide, parce que la longueur la plus grande est fournie et non cherchée. Un élève qui applique le gabarit de l'exercice 1 sans se demander lequel des trois côtés est l'hypoténuse écrit ST² = 9² + 4² et obtient une longueur supérieure à l'hypoténuse, ce que la figure interdit. La confusion ne porte pas sur le théorème, elle porte sur le rôle de la donnée : hypoténuse donnée ou hypoténuse cherchée.

Corrigé.

Le triangle RST est rectangle en S. L'hypoténuse est [RT], le côté opposé à S. Elle est donnée : on va donc soustraire.

D'après le théorème de Pythagore : RT² = RS² + ST².

9² = 4² + ST², soit 81 = 16 + ST².

ST² = 81 − 16 = 65.

ST = √65 cm, soit environ 8,1 cm.

Le point de contrôle. Le côté trouvé doit être plus court que l'hypoténuse. 8,1 est inférieur à 9. Si le calcul avait donné 9,8 cm, c'est qu'on aurait additionné au lieu de soustraire.

Exercice corrigé 3 : la réciproque, prouver qu'un triangle est rectangle

Énoncé. Un triangle a pour côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?

Ici, les trois longueurs sont données et aucune n'est à calculer. La question ne porte plus sur une longueur mais sur la nature du triangle, c'est la réciproque du théorème.

Corrigé.

Le plus grand côté mesure 15 cm : s'il y a un angle droit, il est opposé à ce côté.

D'un côté : 15² = 225.

De l'autre : 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de 15 cm.

Le cas où le triangle n'est pas rectangle, à traiter dans la foulée. Un triangle de côtés 6 cm, 7 cm et 9 cm : 9² = 81, et 6² + 7² = 36 + 49 = 85. Les deux membres ne sont pas égaux, donc le triangle n'est pas rectangle. Attention au théorème cité en conclusion : ce n'est pas la réciproque qui le prouve, mais la contraposée du théorème direct, puisqu'un triangle rectangle vérifierait forcément l'égalité. La réciproque, elle, ne sert qu'à conclure dans le cas d'égalité. Le calcul, en revanche, est identique dans les deux situations : deux membres calculés séparément, puis comparés, puis la conclusion. On ne conclut jamais avant d'avoir écrit les deux nombres.

Nos deux ressources sur ce point : la fiche de cours sur la réciproque en 3e et les exercices de réciproque de Pythagore en 3e.

Quand la figure n'est pas orientée comme dans le cours

Dans les manuels, le triangle rectangle est dessiné avec l'angle droit en bas à gauche et l'hypoténuse en diagonale montante. Un sujet de brevet, lui, retourne la figure, la penche, ou n'en donne aucune. L'élève cherche alors l'hypoténuse « en haut à droite » et désigne le mauvais côté, ce qui fausse tout le reste sans qu'aucun calcul soit faux.

Figure : le triangle DEF, rectangle en E, posé penché comme dans un sujet. Le petit carré marque l'angle droit au sommet E. Les deux côtés qui contiennent la lettre E, [ED] et [EF], ne peuvent pas être l'hypoténuse ; il reste [DF], celui qui part de D et arrive à F sans passer par E.

Le geste qui règle le problème ne dépend pas du dessin :

1. Repérer la lettre du sommet marqué de l'angle droit, par exemple E dans « rectangle en E ».
2. Barrer mentalement les deux côtés qui contiennent cette lettre, ici [ED] et [EF].
3. Le côté restant, [DF], est l'hypoténuse.

Quand aucune figure n'est fournie, il faut la tracer soi-même, à main levée, en plaçant d'abord le sommet de l'angle droit. Un croquis approximatif suffit : il sert à ne pas se tromper de côté, pas à mesurer.

Théorème ou réciproque : la question à se poser devant l'énoncé

Les deux énoncés se ressemblent et se confondent facilement, alors qu'ils répondent à des questions opposées. Une seule question tranche : que demande-t-on, une longueur ou une nature ?

• L'énoncé donne deux longueurs et en demande une troisième : c'est le théorème de Pythagore. On calcule.
• L'énoncé donne trois longueurs et demande de prouver que le triangle est rectangle : c'est la réciproque. On compare.

Un troisième cas apparaît dans les sujets : l'énoncé donne trois longueurs et demande de montrer que le triangle n'est pas rectangle. La comparaison des deux membres est la même, mais la conclusion s'appuie sur la contraposée du théorème direct, pas sur la réciproque, et c'est ce nom-là qu'il faut écrire quand la copie demande de justifier.

Le même réflexe de tri sert ailleurs en géométrie. Nos exercices sur le théorème de Thalès et sa réciproque en 3e reposent sur la même distinction, calculer une longueur d'un côté, prouver un parallélisme de l'autre.

Exercice 4 : à vous de chercher, le corrigé est en bas

Celui-ci n'a pas son corrigé collé sous l'énoncé. Cherchez d'abord sur une feuille, en faisant le croquis, et ne descendez qu'ensuite.

Énoncé.

1. Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Donner la valeur exacte, puis l'arrondi au centième de mètre.
2. Un élève affirme qu'un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm est rectangle. A-t-il raison ? Justifier.

Deux repères avant de commencer, sans donner la réponse. Dans la question 1, le mur et le sol forment l'angle droit, et l'échelle est le côté qui ne le touche pas. Dans la question 2, aucune longueur n'est à calculer, donc ce n'est pas le même outil.

Corrigé de la question 1. Le sol, le mur et l'échelle forment un triangle rectangle, l'angle droit étant au pied du mur. L'échelle est l'hypoténuse, elle est donnée : on soustrait. En notant h la hauteur cherchée, 4² = 1,5² + h², soit 16 = 2,25 + h², donc h² = 13,75 et h = √13,75 m, c'est la valeur exacte. L'arrondi au centième donne h ≈ 3,71 m. Contrôle : 3,71 est bien inférieur à 4, la hauteur ne peut pas dépasser la longueur de l'échelle.

Corrigé de la question 2. Les trois longueurs sont données, la question porte sur la nature du triangle. Le plus grand côté mesure 8 cm : 8² = 64. De l'autre côté, 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Les deux nombres sont différents, donc le triangle n'est pas rectangle. La justification attendue s'appuie sur la contraposée du théorème de Pythagore : si le triangle était rectangle, l'égalité serait vérifiée, or elle ne l'est pas.

Où s'entraîner, et ce que nous ne prétendons pas faire

Nos fiches d'exercices sont en ligne, gratuites, sans compte à créer et sans téléchargement, publiées sous licence CC BY-SA 4.0. La bibliothèque compte plus de 1 100 fiches, tous niveaux et toutes matières confondus, un décompte refait en août 2026 que nous préférons annoncer comme une borne basse, puisque le corpus bouge de semaine en semaine. Pour prolonger le travail de géométrie en 4e, la fiche sur le théorème des milieux se traite juste après celle de Pythagore.

Ce que nous ne faisons pas, autant le dire : nous ne publions aucun taux de réussite en mathématiques, parce que nous ne l'avons pas mesuré. Nous ne vendons pas de recueil d'exercices et nous ne promettons pas de note.

Ce que nous faisons : des cours en présentiel, deux heures par semaine, depuis la rentrée de septembre 2026, dans le 10e (16 rue Demarquay) et dans le 19e (École démocratique, 6 rue Léon Giraud). Le tarif est associatif, son montant est précisé lors de l'inscription. Pour une place ou une question, la page de contact est le bon point de départ.

Questions fréquentes

Le théorème de Pythagore, c'est en quelle classe ?

Dans notre bibliothèque, il est rangé en 4e, partie « grandeurs et mesures », et sa réciproque en 3e. C'est le classement de nos fiches, pas une règle : selon la progression retenue au cycle 4, beaucoup de classes voient la réciproque dès la 4e, dans la foulée du théorème. Un élève de 3e qui bloque sur la réciproque gagne à refaire d'abord une fiche de 4e sur le théorème lui-même.

Comment reconnaître l'hypoténuse à coup sûr ?

C'est le côté opposé à l'angle droit, donc celui qui ne contient pas la lettre du sommet de l'angle droit. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés, ce qui donne un moyen de vérifier son résultat après coup.

Faut-il rendre la valeur exacte ou la valeur arrondie ?

Celle que l'énoncé demande, littéralement. « Valeur exacte » veut dire qu'on garde l'écriture avec la racine, par exemple √74 cm. « Arrondi au dixième » veut dire un chiffre après la virgule, soit 8,6 cm. En l'absence de consigne, donner la valeur exacte puis, si c'est utile à la question posée, son arrondi.

Vos exercices sont-ils vraiment gratuits ?

Oui. Les fiches se consultent en ligne, sans inscription et sans paiement, sous licence CC BY-SA 4.0. L'association est entièrement bénévole depuis février 2024.