Ensembles, notations et cardinal

Les prérequis (rien de méchant)

Trois choses seulement, et tu les as déjà croisées cette année :

• les noms des ensembles de nombres : $\mathbb{N}$ (entiers naturels), $\mathbb{Z}$ (entiers relatifs), $\mathbb{D}$ (décimaux), $\mathbb{Q}$ (rationnels), $\mathbb{R}$ (réels) ;
• les intervalles : $[0\,;\,3]$ se lit « tous les réels compris entre $0$ et $3$, bornes comprises » ;
• savoir compter les objets d'une liste. Oui, c'est tout.

Cette fiche ne réexplique ni $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ni les intervalles : elle t'apprend à écrire avec eux.

L'essentiel : un ensemble, c'est une collection d'objets

Un ensemble, c'est une collection d'objets bien identifiés. Ces objets s'appellent ses éléments. On peut donner un ensemble en écrivant la liste de ses éléments entre accolades : c'est la notation $\{\ldots\}$.

Prenons un objet que tu croises déjà ailleurs : les entiers de l'intervalle $[0\,;\,9]$. En extension, cela donne $E = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9\}$.

• $7$ est un élément de $E$ : on écrit $7 \in E$ et on lit « $7$ appartient à $E$ » ;
• $12$ n'est pas un élément de $E$ : on écrit $12 \notin E$, « $12$ n'appartient pas à $E$ » ;
• l'ensemble $A = \{0\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}$ des entiers pairs de cet intervalle est entièrement contenu dans $E$ : on écrit $A \subset E$, « $A$ est inclus dans $E$ », et on dit que $A$ est un sous-ensemble de $E$ ;
• $E$ a dix éléments : on écrit $\mathrm{Card}(E) = 10$, « le cardinal de $E$ vaut $10$ ».

Et si un ensemble n'a aucun élément, on le note $\varnothing$ : c'est l'ensemble vide, et $\mathrm{Card}(\varnothing) = 0$.

Un exemple, du début à la fin

On travaille sur $E$, l'ensemble des entiers de $[0\,;\,9]$, et sur son sous-ensemble $A = \{0\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}$.

Étape 1. Je compte les éléments de $A$ : $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, cela fait cinq objets. Donc $\mathrm{Card}(A) = 5$.

Étape 2. Chaque élément de $A$ est bien un chiffre, donc il est aussi dans $E$ : $A \subset E$.

Étape 3. Je liste ce qui est dans $E$ mais pas dans $A$ : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. Cet ensemble s'appelle le complémentaire de $A$ dans $E$ ; on le note $\overline{A}$ (ou $E \setminus A$). Donc $\overline{A} = \{1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,9\}$ et $\mathrm{Card}(\overline{A}) = 5$.

Contrôle. $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(\overline{A}) = 5 + 5 = 10 = \mathrm{Card}(E)$. Chaque entier de $E$ est d'un côté ou de l'autre, jamais des deux : le compte tombe juste.

Conclusion. Avec cinq symboles tu viens de décrire, comparer et compter des ensembles. C'est exactement ce qu'on te demandera, que l'objet soit un nombre, un intervalle ou une classe d'élèves.

Décrire un ensemble : deux façons

En extension : on écrit la liste des éléments entre accolades. $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,12\}$ (les diviseurs de $12$). L'ordre n'a aucune importance et on n'écrit jamais deux fois le même élément.

En compréhension : on décrit la propriété commune à tous les éléments. $B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \lt 4\}$ se lit « l'ensemble des réels $x$ tels que $-1 \le x \lt 4$ ». La barre $\mid$ se lit « tels que ». Ici $B$ n'est rien d'autre que l'intervalle $[-1\,;\,4[$ : les deux écritures désignent le même ensemble.

C'est cette deuxième forme que tu utilises sans le savoir dès que tu écris un ensemble de solutions : « $S = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x - 6 \ge 0\}$ », c'est-à-dire $S = [3\,;\,+\infty[$.

$\in$ ou $\subset$ : la question qui coûte des points

Les deux symboles ne relient pas les mêmes objets, et c'est toute la difficulté.

• $\in$ relie un élément à un ensemble : $3 \in \mathbb{N}$, $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, $2 \in [0\,;\,5]$.
• $\subset$ relie un ensemble à un ensemble : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, $[0\,;\,3] \subset [0\,;\,5]$, $\{3\} \subset \mathbb{N}$. Quand $A \subset B$, on dit aussi que $A$ est un sous-ensemble de $B$ (ou une partie de $B$ : les deux mots sont synonymes).

Regarde bien la dernière ligne : $3$ est un nombre, $\{3\}$ est un ensemble qui contient ce nombre. On écrit donc $3 \in \mathbb{N}$ et $\{3\} \subset \mathbb{N}$ — mais jamais $3 \subset \mathbb{N}$, ni $\{3\} \in \mathbb{N}$.

Définition exacte de l'inclusion : $A \subset B$ signifie que tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$. Pour prouver qu'une inclusion est fausse, il suffit donc d'exhiber un seul élément de $A$ qui n'est pas dans $B$ : $\mathbb{Z}$ n'est pas inclus dans $\mathbb{N}$, parce que $-3 \in \mathbb{Z}$ et $-3 \notin \mathbb{N}$.

Deux cas particuliers à connaître : $\varnothing \subset A$ pour n'importe quel ensemble $A$, et $A \subset A$.

Réunion, intersection, complémentaire

On se place dans un ensemble de référence $E$, et on prend deux sous-ensembles $A$ et $B$ de $E$ (autrement dit $A \subset E$ et $B \subset E$ ; on dit aussi deux parties de $E$).

• Intersection $A \cap B$ : les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$. Le mot « et » se traduit par $\cap$.
• Réunion $A \cup B$ : les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (éventuellement dans les deux). Le mot « ou » se traduit par $\cup$.
• Complémentaire du sous-ensemble $A$ dans $E$ : les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$. On le note $\overline{A}$, comme en probabilités, ou $E \setminus A$.

Quand $A \cap B = \varnothing$, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints : ils n'ont aucun élément commun.

Les mêmes symboles sur les intervalles

Rien ne change quand les éléments sont des réels. Prenons $A = [-1\,;\,4[$ et $B = ]2\,;\,7]$ :

• $A \cap B = ]2\,;\,4[$ : il faut être à la fois $\ge -1$, $\lt 4$, $\gt 2$ et $\le 7$, ce qui revient à $2 \lt x \lt 4$ ;
• $A \cup B = [-1\,;\,7]$ : les deux intervalles se chevauchent, la réunion est d'un seul tenant.

Attention, la réunion de deux intervalles séparés par un trou n'est pas un intervalle : $]-\infty\,;\,2] \cup [5\,;\,+\infty[$ reste en deux morceaux (aucun réel entre $2$ et $5$ n'y figure), et $]-\infty\,;\,2] \cap [5\,;\,+\infty[ \;= \varnothing$.

Le cardinal, et la formule de la réunion

Pour un ensemble fini $A$, $\mathrm{Card}(A)$ désigne son nombre d'éléments. La notation n'a de sens que pour un ensemble fini : $\mathrm{Card}([0\,;\,1])$ n'a pas de sens en seconde, cet intervalle contenant une infinité de réels.

Trois résultats à connaître, avec $A$ et $B$ deux parties finies d'un ensemble $E$ fini :

• $\mathrm{Card}(\varnothing) = 0$ ;
• $\mathrm{Card}(\overline{A}) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A)$ ;
• $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$.

La dernière n'est pas à apprendre par cœur : elle se retrouve en une phrase. En additionnant $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(B)$, les éléments communs sont comptés deux fois : on retire donc une fois $\mathrm{Card}(A \cap B)$. Elle ne se simplifie en $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$ que si $A$ et $B$ sont disjoints. Tu l'as déjà rencontrée en troisième sous sa forme probabiliste : $P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.

C'est ce cardinal que tu retrouves en probabilités. Quand on tire au hasard un élément d'un ensemble fini $E$, toutes les issues ayant la même chance, $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(E)}$. En probabilités, cet ensemble de référence est traditionnellement noté $\Omega$ (l'ensemble des issues), et la formule s'écrit $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$ : c'est le même objet, sous un autre nom. Compter proprement, c'est déjà calculer une probabilité.

Couple et produit cartésien

Un couple $(a\,;\,b)$ est la donnée de deux objets dans un ordre imposé. C'est la grande différence avec un ensemble : $(3\,;\,-2)$ et $(-2\,;\,3)$ sont deux couples différents, alors que $\{3\,;\,-2\}$ et $\{-2\,;\,3\}$ sont le même ensemble. Tu en manipules à chaque exercice de repérage : les coordonnées d'un point sont un couple.

Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble de tous les couples $(a\,;\,b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$. Exemple : si $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $B = \{5\,;\,6\}$, alors

$A \times B = \{(1\,;\,5)\,;\,(1\,;\,6)\,;\,(2\,;\,5)\,;\,(2\,;\,6)\,;\,(3\,;\,5)\,;\,(3\,;\,6)\}$, et $\mathrm{Card}(A \times B) = 3 \times 2 = 6$.

Une fois un repère choisi, chaque point du plan est repéré par un couple de réels : c'est exactement le lien entre le produit cartésien et le repérage que tu pratiques en géométrie.

Ex 1 — Deux listes d'entiers, en extension

Énoncé. On note $A$ l'ensemble des diviseurs positifs de $12$ et $B$ celui des diviseurs positifs de $18$. Écrire $A$ et $B$ en extension, puis déterminer $A \cap B$, $A \cup B$ et leurs cardinaux.

Ligne 1. Les diviseurs positifs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Donc $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,12\}$ et $\mathrm{Card}(A) = 6$.

Ligne 2. Les diviseurs positifs de $18$ : $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$. Donc $B = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,6\,;\,9\,;\,18\}$ et $\mathrm{Card}(B) = 6$.

Ligne 3. $A \cap B$ = ce qui est dans les deux listes : $1$, $2$, $3$, $6$. Donc $A \cap B = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,6\}$ et $\mathrm{Card}(A \cap B) = 4$. (Ce sont les diviseurs communs à $12$ et $18$.)

Ligne 4. $A \cup B$ = tout ce qui apparaît dans au moins une des deux listes, chaque élément écrit une seule fois : $A \cup B = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,9\,;\,12\,;\,18\}$, donc $\mathrm{Card}(A \cup B) = 8$.

Ligne 5 — le contrôle. La formule donne $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B) = 6 + 6 - 4 = 8$. On retrouve bien le $8$ compté à la main.

Bonus notation. $4 \in A$ mais $4 \notin B$ ; $\{1\,;\,3\} \subset A \cap B$ ; et $A$ n'est pas inclus dans $B$, puisque $4 \in A$ et $4 \notin B$.

Ex 2 — Une classe entière, comptée proprement

Énoncé. Dans une classe $E$ de $30$ élèves, $12$ jouent d'un instrument ($A$), $21$ pratiquent un sport en club ($B$), et $8$ font les deux. Combien d'élèves font au moins une des deux activités ? Combien n'en font aucune ?

Ligne 1 — traduire. $\mathrm{Card}(E) = 30$, $\mathrm{Card}(A) = 12$, $\mathrm{Card}(B) = 21$, et « faire les deux » c'est appartenir à $A$ et à $B$, donc $\mathrm{Card}(A \cap B) = 8$.

Ligne 2 — « au moins une » c'est la réunion. $\mathrm{Card}(A \cup B) = 12 + 21 - 8 = 25$. Vingt-cinq élèves font au moins une des deux activités.

Piège évité. Sans le terme $-\,8$, on aurait annoncé $33$ élèves… dans une classe de $30$. Les huit élèves des deux activités auraient été comptés deux fois.

Ligne 3 — « aucune » c'est le complémentaire. $\mathrm{Card}\big(\overline{A \cup B}\big) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A \cup B) = 30 - 25 = 5$. Cinq élèves ne font ni l'un ni l'autre.

Ligne 4 — le détail des quatre zones. Instrument seul : $12 - 8 = 4$. Sport seul : $21 - 8 = 13$. Les deux : $8$. Ni l'un ni l'autre : $5$. Vérification : $4 + 13 + 8 + 5 = 30$, l'effectif de la classe.

Ex 3 — Un ensemble de solutions, écrit correctement

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système « $2x - 6 \ge 0$ et $5 - x \gt 0$ », puis donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Ligne 1. $2x - 6 \ge 0$ équivaut à $2x \ge 6$, soit $x \ge 3$. L'ensemble des $x$ qui conviennent est $S_1 = [3\,;\,+\infty[$.

Ligne 2. $5 - x \gt 0$ équivaut à $5 \gt x$, soit $x \lt 5$. On obtient $S_2 = \;]-\infty\,;\,5[$.

Ligne 3 — traduire le « et ». Une solution du système doit vérifier les deux conditions à la fois : $S = S_1 \cap S_2$.

Ligne 4 — calculer l'intersection. $x \ge 3$ et $x \lt 5$ donne $3 \le x \lt 5$, donc $S = [3\,;\,5[$. En compréhension : $S = \{x \in \mathbb{R} \mid 3 \le x \lt 5\}$.

Ligne 5 — et si c'était « ou » ? Alors on prendrait $S_1 \cup S_2$. Or tout réel est soit $\lt 5$, soit $\ge 3$ (et beaucoup sont les deux) : la réunion vaut $\mathbb{R}$ tout entier. « Et » et « ou » ne donnent pas du tout le même ensemble.

Ligne 6 — un cardinal, quand même. $\mathrm{Card}(S)$ n'a pas de sens : $S$ contient une infinité de réels. En revanche $S \cap \mathbb{Z} = \{3\,;\,4\}$ (les entiers relatifs de $[3\,;\,5[$), et là $\mathrm{Card}(S \cap \mathbb{Z}) = 2$.

Le test $\in$ / $\subset$ en trois secondes

Dans toutes les situations de seconde, devant une écriture du type « objet $\;\square\;$ ensemble », pose-toi une seule question : l'objet de gauche a-t-il des accolades, ou est-il un ensemble connu ?

• À gauche un élément (un nombre, un point, un élève) : le symbole est $\in$. Exemples : $-3 \in \mathbb{Z}$, $0{,}5 \in [0\,;\,1]$, $\pi \in \mathbb{R}$.
• À gauche un ensemble (accolades, intervalle, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$…) : le symbole est $\subset$. Exemples : $\{-3\} \subset \mathbb{Z}$, $[0\,;\,1] \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

Et pour réfuter une inclusion, un seul élément suffit. « $\mathbb{Q} \subset \mathbb{D}$ ? » Non : $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ et $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$. Un contre-exemple bien choisi vaut une démonstration complète. (Le détail de $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et du critère de décimalité est traité dans la fiche Ensembles de nombres.)

Un problème type, entièrement résolu

Énoncé. Un club compte $80$ membres. On note $A$ l'ensemble des membres de moins de $18$ ans et $B$ l'ensemble des membres qui pratiquent la natation. On sait que $\mathrm{Card}(A) = 30$, $\mathrm{Card}(B) = 45$ et $\mathrm{Card}(A \cap B) = 18$. 1. Combien de membres ont moins de $18$ ans ou pratiquent la natation ? 2. Combien ne sont ni l'un ni l'autre ? 3. Combien ont moins de $18$ ans sans pratiquer la natation ? 4. On choisit un membre au hasard, chacun ayant la même chance d'être choisi : quelle est la probabilité qu'il appartienne à $A \cup B$ ?

1. Le « ou » est une réunion : $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B) = 30 + 45 - 18 = 57$. Réponse : $57$ membres.

2. « Ni l'un ni l'autre », c'est le complémentaire de la réunion dans l'ensemble $E$ des $80$ membres : $\mathrm{Card}\big(\overline{A \cup B}\big) = 80 - 57 = 23$. Réponse : $23$ membres.

3. « Dans $A$ mais pas dans $B$ » se note $A \setminus B$ : c'est la notation du complémentaire $E \setminus A$, étendue à deux sous-ensembles quelconques. On enlève de $A$ les membres qui sont aussi dans $B$ : $\mathrm{Card}(A \setminus B) = \mathrm{Card}(A) - \mathrm{Card}(A \cap B) = 30 - 18 = 12$. Réponse : $12$ membres.

4. Il y a équiprobabilité, donc on compte : $P(A \cup B) = \dfrac{\mathrm{Card}(A \cup B)}{\mathrm{Card}(E)} = \dfrac{57}{80} = 0{,}7125$. Réponse : environ $0{,}71$. (En probabilités, l'ensemble de référence $E$ est noté $\Omega$ : la formule est la même.)

Vérification finale. Les quatre zones : $A$ seul $= 12$, $A \cap B = 18$, $B$ seul $= 45 - 18 = 27$, aucun des deux $= 23$. Total : $12 + 18 + 27 + 23 = 80$. Le compte tombe juste, la copie est cohérente.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points

• le bon symbole entre les bons objets : $\in$ élément–ensemble, $\subset$ ensemble–ensemble ; une seule confusion et la ligne est fausse même si le résultat est bon ;
• traduire explicitement « et » par $\cap$ et « ou » par $\cup$ avant de calculer ;
• écrire l'ensemble des solutions comme un ensemble ($S = [3\,;\,5[$), pas comme une inégalité laissée en vrac ;
• préciser dans quel ensemble de référence on prend un complémentaire : $\overline{A}$ n'a de sens qu'une fois $E$ annoncé ;
• terminer par une vérification par les zones : la somme des quatre effectifs doit redonner $\mathrm{Card}(E)$.

Les pièges classiques

• oublier le terme $-\,\mathrm{Card}(A \cap B)$ : $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$ n'est vrai que si $A \cap B = \varnothing$ ;
• écrire $\mathrm{Card}$ d'un ensemble infini : $\mathrm{Card}(\mathbb{N})$ ou $\mathrm{Card}([0\,;\,1])$ n'ont aucun sens en seconde, la notation est réservée aux ensembles finis ;
• confondre $\varnothing$ et $\{0\}$ : le premier n'a aucun élément ($\mathrm{Card} = 0$), le second en a un, le nombre $0$ ($\mathrm{Card} = 1$) ;
• croire qu'une réunion d'intervalles est toujours un intervalle : $]-\infty\,;\,2] \cup [5\,;\,+\infty[$ est en deux morceaux ;
• intervertir les termes d'un couple : $(3\,;\,-2) \neq (-2\,;\,3)$, alors que $\{3\,;\,-2\} = \{-2\,;\,3\}$ ;
• mélanger effectifs et pourcentages dans la même formule : on additionne des effectifs entre eux, ou des fréquences entre elles, jamais les deux.

Pourquoi $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$

La formule n'est pas à croire sur parole : elle se démontre en découpant $A \cup B$ en trois morceaux sans recouvrement.

Étape 1 — le découpage. Tout élément de $A \cup B$ est dans exactement l'une de ces trois zones : dans $A$ seul (c'est $A \setminus B$), dans les deux (c'est $A \cap B$), ou dans $B$ seul (c'est $B \setminus A$).

Étape 2 — compter zone par zone. Comme les trois zones sont deux à deux disjointes, les effectifs s'ajoutent : $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A \setminus B) + \mathrm{Card}(A \cap B) + \mathrm{Card}(B \setminus A)$.

Étape 3 — exprimer chaque zone. $A$ est la réunion disjointe de $A \setminus B$ et de $A \cap B$, donc $\mathrm{Card}(A \setminus B) = \mathrm{Card}(A) - \mathrm{Card}(A \cap B)$. De même $\mathrm{Card}(B \setminus A) = \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$.

Étape 4 — remplacer. $\mathrm{Card}(A \cup B) = \big(\mathrm{Card}(A) - \mathrm{Card}(A \cap B)\big) + \mathrm{Card}(A \cap B) + \big(\mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)\big)$, c'est-à-dire $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$.

Ce que ça raconte. En additionnant $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(B)$, on a compté deux fois les éléments communs ; on en retire donc une copie. Retiens l'image plutôt que la formule : elle se reconstruit toute seule.

Compter des couples : le produit cartésien

Si $A$ et $B$ sont finis, chaque élément de $A$ peut être associé à chacun des éléments de $B$ : $\mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times \mathrm{Card}(B)$. Avec $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $B = \{5\,;\,6\}$ : $3 \times 2 = 6$ couples, et on les visualise comme les nœuds d'un quadrillage.

Le même raisonnement compte les parties d'un ensemble : pour chaque élément, on décide de le prendre ou non. Un ensemble à $2$ éléments a donc $2 \times 2 = 4$ parties, et tu peux les écrire toutes : $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a\,;\,b\}$. Avec $3$ éléments on en compterait $2 \times 2 \times 2 = 8$, et en général un ensemble à $n$ éléments a $2^{\,n}$ parties.

Rendez-vous l'an prochain

• Une remarque de vocabulaire. Lire et écrire des propositions « pour tout… » ou « il existe… » est au programme de seconde, mais les symboles correspondants y sont hors programme : cette année, ces quantifications s'écrivent en français. C'est l'autre moitié de ce chapitre transversal, traitée dans la fiche Implication, contraposée et raisonnements.
• En algèbre et en fonctions, ce langage devient permanent : ensemble de définition, ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation, réunion d'intervalles dans un tableau de signes.
• En probabilités, tout repose dessus : $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A}$, et le comptage $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$ quand il y a équiprobabilité. La probabilité conditionnelle s'écrit elle-même avec une intersection.
• Plus tard au lycée, compter les éléments d'un ensemble devient un sujet à part entière — le dénombrement — et le produit cartésien y sert de brique de base.
• Le lien à garder : ce chapitre n'a pas d'exercices « à lui ». Il se révise en relisant tes autres copies et en vérifiant que chaque $\in$, chaque $\subset$ et chaque $S = \ldots$ y sont écrits juste.