Exercice primitive terminale : corrigés classés par forme
Vous avez tapé « exercice primitive terminale » et les pages qui remontent rangent leurs énoncés par type de fonction ou par difficulté. Celle-ci les range par forme à reconnaître, pose la méthode avant le premier énoncé et termine chaque corrigé par la vérification F' = f.
Exercice primitive terminale : la méthode avant les énoncés
Pour calculer une primitive en terminale, on identifie d'abord la forme de f : somme de fonctions usuelles, u'uⁿ, u'/u, u'eᵘ ou u'/√u. On ajuste ensuite la constante multiplicative pour faire apparaître u', on applique la formule, puis on vérifie en dérivant F : on doit retrouver exactement f. Les autres primitives s'écrivent F + C.
Chaque exercice de cette page se traite dans le même ordre.
- Nommer la forme. Si f est une somme de puissances de x, de 1/x ou de eˣ, on cherche une primitive terme à terme. Sinon, on cherche la fonction u cachée dans l'expression : sous une puissance, au dénominateur, sous une racine ou en exposant.
- Comparer u' au facteur qui reste. On calcule u' et on le pose à côté de ce qui multiplie la forme. S'ils diffèrent d'un nombre, on ajuste ce nombre. S'ils diffèrent d'une expression qui contient x, la forme ne s'applique pas.
- Appliquer la formule du tableau ci-dessous, en gardant devant le nombre ajusté.
- Dériver F et comparer le résultat à f. Si les deux ne coïncident pas exactement, on reprend à l'étape 2.
| Forme de f | Une primitive F | Condition sur l'intervalle |
|---|---|---|
| u'uⁿ (n entier, n ≠ −1) | uⁿ⁺¹/(n+1) | u ne s'annule pas si n < 0 |
| u'/u | ln(u) | u > 0 |
| u'/u | ln(−u) | u < 0 |
| u'eᵘ | eᵘ | aucune |
| u'/√u | 2√u | u > 0 |
Les deux lignes u'/u se résument en une seule : si u ne s'annule pas sur l'intervalle, une primitive de u'/u est ln|u|. Une primitive se cherche toujours sur un intervalle. La condition de la dernière colonne doit tenir en tout point de l'intervalle donné par l'énoncé, sinon la formule ne s'applique pas. Gardez ce tableau sous les yeux pour les quatre séries qui suivent. Si la dérivée d'une fonction composée ne vous revient pas, reprenez d'abord la fiche dérivée d'une composée, parce que chaque ligne du tableau applique cette règle à l'envers.
Ajuster la constante : ce qui manque doit être un nombre
Prenons f(x) = x(x²+1)³ sur ℝ. La fonction u qui saute aux yeux est u(x) = x²+1, et sa dérivée vaut u'(x) = 2x. Devant la puissance, il n'y a que x : il manque le facteur 2. Comme 2 est un nombre, on peut le faire apparaître à condition de le compenser.
On écrit f(x) = ½ × 2x(x²+1)³, c'est-à-dire ½ × u'u³. Une primitive de u'u³ est u⁴/4, et le ½ reste devant :
F(x) = ½ × (x²+1)⁴/4 = (x²+1)⁴/8.
Vérification : F'(x) = 4(x²+1)³ × 2x / 8 = x(x²+1)³. On retrouve f.
Le facteur ½ peut sortir de la primitive parce qu'une primitive de k × g vaut k fois une primitive de g quand k est un nombre. Aucune règle de ce type n'existe pour un facteur qui contient x. Cette différence sépare les exercices faisables des expressions pièges traitées plus bas.
Quand f est une simple somme, il n'y a rien à ajuster. Pour f(x) = 3x²−4/x²+1/x sur ]0 ; +∞[, on cherche une primitive de chaque terme : F(x) = x³+4/x+ln x. La dérivée de 4/x vaut −4/x², ce qui confirme le signe du deuxième terme.
Avant d'ouvrir les séries, écrivez pour chaque énoncé la ligne « u = …, u' = …, nombre à ajuster : … », sans rien calculer d'autre.
Série 1 : la forme u'uⁿ
Énoncés. Déterminer une primitive de f sur ℝ.
- f(x) = 6x(3x²+1)²
- f(x) = (2x−5)⁴
- f(x) = 3x/(x²+4)²
Corrigé de l'exercice 1. u(x) = 3x²+1 et u'(x) = 6x. Le facteur est déjà là : f = u'u², rien à ajuster. F(x) = (3x²+1)³/3. Vérification : F'(x) = 3(3x²+1)² × 6x / 3 = 6x(3x²+1)². On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 2. u(x) = 2x−5 et u'(x) = 2. Le facteur 2 manque, donc f(x) = ½ × 2(2x−5)⁴. F(x) = ½ × (2x−5)⁵/5 = (2x−5)⁵/10. Vérification : F'(x) = 5(2x−5)⁴ × 2 / 10 = (2x−5)⁴. On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 3. On réécrit f(x) = 3x(x²+4)⁻². Avec u(x) = x²+4 et u'(x) = 2x, il faudrait 2x devant et on a 3x : le rapport est le nombre 3/2. On a donc f = (3/2) × u'u⁻², et une primitive de u'u⁻² est u⁻¹/(−1), soit −1/u. F(x) = −3/(2(x²+4)). Vérification : F'(x) = −(3/2) × (−1)(x²+4)⁻² × 2x = 3x/(x²+4)². On retrouve f. Comme x²+4 ne s'annule jamais, la primitive vaut sur tout ℝ.
L'exercice 3 sert de modèle pour tous les quotients dont le dénominateur est une puissance. Passez la puissance au numérateur avec un exposant négatif : la forme u'uⁿ s'applique alors pour tout exposant entier sauf −1.
Série 2 : la forme u'/u et le logarithme
Énoncés. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle indiqué.
- f(x) = 2x/(x²+1) sur ℝ
- f(x) = 1/(3x+2) sur ]−2/3 ; +∞[
- f(x) = (ln x)/x sur ]0 ; +∞[
Corrigé de l'exercice 4. u(x) = x²+1, u'(x) = 2x, et u > 0 sur ℝ. f = u'/u sans ajustement, donc F(x) = ln(x²+1). Vérification : F'(x) = 2x/(x²+1). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 5. u(x) = 3x+2 et u'(x) = 3. L'inégalité 3x+2 > 0 équivaut à x > −2/3, et c'est pour cette raison que l'énoncé impose cet intervalle. On écrit f(x) = ⅓ × 3/(3x+2), donc F(x) = ⅓ ln(3x+2). Vérification : F'(x) = ⅓ × 3/(3x+2) = 1/(3x+2). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 6. Le quotient fait penser à u'/u, mais le dénominateur x n'a pas pour dérivée ln x. Il faut lire f autrement : f(x) = (1/x) × ln x, soit u'u avec u(x) = ln x. C'est la forme u'uⁿ avec n = 1, et F(x) = (ln x)²/2. Vérification : F'(x) = 2 ln x × (1/x) / 2 = (ln x)/x. On retrouve f.
Avant d'écrire un logarithme, vérifiez que u ne s'annule pas sur l'intervalle de l'énoncé. Si u y reste strictement positive, une primitive est ln(u). Si elle y reste strictement négative, c'est ln(−u) : sur ]−∞ ; −2/3[, la fonction de l'exercice 5 a pour primitive ⅓ ln(−3x−2), dont la dérivée vaut ⅓ × (−3)/(−3x−2) = 1/(3x+2). Face à un intervalle comme ]−2/3 ; +∞[, cherchez quelle expression de f s'annule à la borne de cet intervalle : vous tenez probablement votre u.
Série 3 : la forme u'eᵘ
Dans cette série, e^(…) désigne l'exponentielle de l'expression entre parenthèses.
Énoncés. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle indiqué.
- f(x) = e^(2x+1) sur ℝ
- f(x) = x e^(x²) sur ℝ
- f(x) = e^(1/x)/x² sur ]0 ; +∞[
Corrigé de l'exercice 7. u(x) = 2x+1 et u'(x) = 2. Le facteur 2 manque : f(x) = ½ × 2e^(2x+1), donc F(x) = ½ e^(2x+1). Vérification : F'(x) = ½ × 2e^(2x+1) = e^(2x+1). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 8. u(x) = x² et u'(x) = 2x. Devant l'exponentielle il y a x, il manque le nombre 2 : f(x) = ½ × 2x e^(x²). F(x) = ½ e^(x²). Vérification : F'(x) = ½ × 2x e^(x²) = x e^(x²). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 9. u(x) = 1/x et u'(x) = −1/x². Le facteur devant l'exponentielle est 1/x², c'est-à-dire −u'. Le nombre à ajuster est donc −1, et F(x) = −e^(1/x). Vérification : F'(x) = −(−1/x²)e^(1/x) = e^(1/x)/x². On retrouve f.
La forme u'eᵘ n'impose aucune condition sur u. Toute la difficulté porte sur le facteur placé devant l'exponentielle : repérez-le en premier, puis demandez-vous s'il vaut u' multiplié par un nombre, positif ou négatif.
Série 4 : la forme u'/√u
Énoncés. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle indiqué.
- f(x) = 1/√(x+3) sur ]−3 ; +∞[
- f(x) = x/√(x²+5) sur ℝ
- f(x) = (6x+3)/√(x²+x+1) sur ℝ
Corrigé de l'exercice 10. u(x) = x+3, u'(x) = 1, et u > 0 sur l'intervalle. F(x) = 2√(x+3). Vérification : la dérivée de √u est u'/(2√u), donc F'(x) = 2 × 1/(2√(x+3)) = 1/√(x+3). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 11. u(x) = x²+5, strictement positive sur ℝ, et u'(x) = 2x. On écrit f(x) = ½ × 2x/√(x²+5). F(x) = ½ × 2√(x²+5) = √(x²+5). Vérification : F'(x) = 2x/(2√(x²+5)) = x/√(x²+5). On retrouve f.
Corrigé de l'exercice 12. u(x) = x²+x+1 et u'(x) = 2x+1. Le discriminant de x²+x+1 vaut 1−4 = −3 : il est négatif, donc u > 0 sur ℝ. Le numérateur s'écrit 6x+3 = 3(2x+1) = 3u'. F(x) = 3 × 2√u = 6√(x²+x+1). Vérification : F'(x) = 6 × (2x+1)/(2√(x²+x+1)) = (6x+3)/√(x²+x+1). On retrouve f.
Retenez cette forme par sa dérivée : (√u)' = u'/(2√u). Une primitive de u'/√u est donc 2√u, et la vérification tient en une ligne.
Les expressions pièges : la forme semble connue, elle ne l'est pas
Certaines expressions ressemblent à une ligne du tableau sans en être une. Pour les deux premières ci-dessous, aucune formule du programme de terminale ne donne de primitive. Pour les deux suivantes, une formule existe, mais ce n'est pas celle qui vient d'abord à l'esprit.
- e^(x²) seule. Sans facteur x devant, impossible de faire apparaître u' = 2x, et on ne peut pas introduire ce x en le compensant puisque x n'est pas un nombre. La dérivée de ½e^(x²) vaut x e^(x²) et non e^(x²). Cette fonction admet bien des primitives sur ℝ, car elle est continue, mais aucune ne s'écrit avec les fonctions usuelles.
- 1/(x²+1). Le dénominateur a pour dérivée 2x alors que le numérateur vaut 1 : la forme u'/u ne s'applique pas. Comparez avec x/(x²+1), qui donne ½ ln(x²+1), et avec x²/(x³+1) sur ]−1 ; +∞[, qui donne ⅓ ln(x³+1). La primitive de 1/(x²+1) fait appel à une fonction qui n'est pas au programme de terminale.
- (x²+1)² sans facteur devant. On est tenté d'écrire (x²+1)³/3, mais la vérification l'écarte : sa dérivée vaut 2x(x²+1)², et non (x²+1)². Il faut développer : f(x) = x⁴+2x²+1, donc F(x) = x⁵/5+2x³/3+x.
- 1/(2x) sur ]0 ; +∞[. La dérivée de ln(2x) vaut 2/(2x) = 1/x, soit le double de f. Le facteur ½ se place devant : F(x) = ½ ln x. On peut aussi écrire ½ ln(2x), qui ne diffère de ½ ln x que par la constante ½ ln 2.
Devant une expression qui ne correspond à aucune ligne du tableau, relisez la consigne. Un énoncé de terminale ne peut pas vous demander une primitive de e^(x²) avec les formules du cours. S'il en parle, c'est sous une autre forme, qu'il faut lire de près.
Vérifier F' = f, puis fixer la constante
Pour trouver une primitive, il faut deviner une forme. Pour dériver, on suit des règles sans avoir à choisir. C'est pour cela que chaque corrigé de cette page finit par F'(x) : la dérivée confirme ou infirme ce que la reconnaissance a seulement proposé. Une primitive qui ne passe pas la vérification est fausse, même quand la forme semblait la bonne.
Deux types d'exercices de terminale reposent entièrement sur cette vérification.
Montrer qu'une fonction donnée est une primitive. L'énoncé dit par exemple : « montrer que F(x) = x ln x − x est une primitive de ln sur ]0 ; +∞[ ». Il n'y a rien à chercher. On dérive : F'(x) = ln x + x × (1/x) − 1 = ln x, et l'exercice est terminé.
Trouver la primitive qui prend une valeur donnée. Exercice 13 : déterminer la primitive F de f(x) = 2x e^(x²) sur ℝ telle que F(0) = 3.
Corrigé : f = u'eᵘ avec u(x) = x², donc les primitives de f sont les fonctions F(x) = e^(x²) + C. On calcule F(0) = e⁰ + C = 1 + C. La condition F(0) = 3 donne C = 2, d'où F(x) = e^(x²) + 2. Vérification : F'(x) = 2x e^(x²) et F(0) = 3.
Écrivez la ligne « Vérification : F'(x) = … » même quand l'énoncé ne la demande pas. Elle prend une ligne, et une erreur sur le nombre ajusté s'y voit tout de suite. La constante C, elle, disparaît quand on dérive : elle se contrôle en recalculant la valeur imposée, comme F(0) = 3.
Réviser les chapitres voisins sur le site
Notre bibliothèque compte plus de 1 100 fiches, imprimables et en ligne, rangées par chapitre du programme. Quatre fiches d'exercices de terminale prolongent celle-ci.
- Les exercices qui définissent une suite par une intégrale demandent de trouver une primitive, puis d'étudier une limite. Les fiches limites de suites et compléments sur les suites : convergence et sommes couvrent la seconde partie du travail.
- Le raisonnement par récurrence sert dès qu'une propriété dépend d'un entier n, par exemple la dérivée de xⁿ à établir pour tout n.
- Les coefficients binomiaux relèvent de la combinatoire et du dénombrement, un chapitre sans lien direct avec les primitives mais qui figure au même programme.
Ouvrez la fiche qui correspond au prochain chapitre de votre classe et traitez ses exercices dans le même ordre : énoncé, méthode, vérification.
Un soutien en maths de lycée à Paris 10e
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Questions fréquentes
Pourquoi écrit-on F + C et pas seulement F ?
Sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Une fois une primitive F trouvée, toutes les autres s'écrivent F + C, avec C réel. On ne fixe C que si l'énoncé impose une valeur, comme F(0) = 3.
Peut-on ajuster un facteur qui contient x ?
Non. Seul un nombre peut être introduit puis compensé : on multiplie par ce nombre dans l'expression et on divise par lui devant la primitive. Si le facteur qui manque contient x, la forme ne s'applique pas. Il faut alors développer, réécrire f autrement ou relire la consigne.
Comment savoir si la forme u'/u s'applique ?
Il faut deux conditions. Le numérateur doit être la dérivée du dénominateur, à un nombre près. Le dénominateur ne doit pas s'annuler sur l'intervalle : s'il y est positif, une primitive est ln(u), et s'il y est négatif, une primitive est ln(−u). Si l'une des deux conditions manque, la forme u'/u ne s'applique pas.
Où et quand ont lieu les cours de soutien pour le lycée ?
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