Transfert thermique : les 3 modes (conduction, convection, rayonnement)

L'idée et les prérequis

Trois réflexes de base, que tu as déjà, avant de commencer :

• La température se lit en degrés Celsius (°C) ou en kelvins (K). On passe de l'une à l'autre avec $T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273$.
• L'énergie thermique file toujours du chaud vers le froid, jamais l'inverse toute seule.
• Une surface $S$ se mesure en $\text{m}^2$, une épaisseur $e$ en mètres.

Maintenant l'idée centrale : un transfert thermique, c'est de l'énergie qui passe d'un corps chaud vers un corps plus froid. Il y a trois façons d'y arriver :

• Conduction : la chaleur avance dans un solide de proche en proche, sans que la matière se déplace (le manche d'une casserole qui chauffe).
• Convection : c'est le fluide qui bouge et emporte la chaleur (l'air chaud d'un radiateur qui monte).
• Rayonnement : la chaleur voyage sous forme d'ondes, même dans le vide (la chaleur d'un feu ressentie à distance, ou celle du Soleil).

Les formules clés

Pour la conduction à travers une paroi, le plus commode est de passer par la résistance thermique $R_\text{th}$, puis d'en déduire le flux $\varphi$ (l'énergie qui traverse chaque seconde) :

$R_\text{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} \quad [\text{K}\cdot\text{W}^{-1}] \qquad \varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{th}} \quad [\text{W}]$

Ici $\lambda$ est la conductivité thermique du matériau (donnée dans l'énoncé), $e$ son épaisseur, $S$ la surface traversée et $\Delta T$ l'écart de température entre les deux faces.

Pour le rayonnement d'un corps, on utilise la loi de Stefan :

$P = \sigma \cdot S \cdot T^4 \qquad \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\text{}\cdot\text{K}^{-4}$

avec une règle d'or : $T$ doit être en kelvins, sinon le résultat est faux.

Un exemple, en entier — un mur en béton

Énoncé. Un mur en béton d'épaisseur $e = 0{,}20\ \text{m}$ et de surface $S = 10\ \text{m}^2$ sépare l'intérieur ($20\ °\text{C}$) de l'extérieur ($0\ °\text{C}$). Sa conductivité vaut $\lambda = 2{,}0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$. Quel est le flux thermique qui le traverse ?

Étape 1 — l'écart de température. $\Delta T = 20 - 0 = 20\ \text{K}$.

Étape 2 — la résistance thermique. $R_\text{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} = \dfrac{0{,}20}{2{,}0 \times 10} = 0{,}010\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.

Étape 3 — le flux. $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{th}} = \dfrac{20}{0{,}010} = 2000\ \text{W} = 2{,}0\ \text{kW}$.

Le mur laisse donc s'échapper $2{,}0\ \text{kW}$. Retiens la chaîne : écart, puis résistance, puis flux.

Les trois modes, définis proprement

Un transfert thermique est un échange d'énergie entre deux systèmes de températures différentes, spontanément orienté du plus chaud vers le plus froid. On distingue trois mécanismes, qu'il faut savoir reconnaître :

• La conduction : l'énergie se propage au sein d'un solide (ou par contact entre solides) grâce à l'agitation microscopique des particules, sans aucun déplacement de matière à l'échelle visible. C'est le manche de la casserole.
• La convection : l'énergie est transportée par le mouvement d'ensemble d'un fluide (liquide ou gaz). Elle est naturelle quand le fluide se met en mouvement tout seul, à cause des différences de densité (l'air chaud, moins dense, monte) ; elle est forcée quand un appareil l'y oblige (ventilateur, pompe, sèche-cheveux).
• Le rayonnement : tout corps dont la température n'est pas nulle émet des ondes électromagnétiques. Ce mode n'a besoin d'aucun support matériel : il fonctionne dans le vide, et c'est ainsi que l'énergie du Soleil nous parvient.

La question réflexe pour trier : la matière se déplace-t-elle ? (non = conduction ou rayonnement) et faut-il un milieu ? (non = rayonnement).

Conduction : flux, résistance et couches en série

Le flux thermique $\varphi$ mesure l'énergie qui traverse la paroi chaque seconde ; il s'exprime en watts. Pour la conduction :

$\varphi = \lambda \cdot S \cdot \dfrac{T_\text{ch} - T_\text{fr}}{e} \qquad \text{ou} \qquad \varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{th}} \quad \text{avec} \quad R_\text{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S}$

Les deux écritures sont équivalentes ; la seconde est plus pratique dès qu'il y a plusieurs couches. Méthode pas à pas :

• Relever les données : $\lambda$, $S$, $e$, et les deux températures.
• Calculer la résistance : $R_\text{th} = e / (\lambda S)$.
• En déduire le flux : $\varphi = \Delta T / R_\text{th}$.
• Pour plusieurs couches en série (mur + isolant), on additionne les résistances : $R_\text{total} = R_1 + R_2 + \cdots$, puis on calcule $\varphi$.

Exemple. Une cloison : $\lambda = 0{,}50\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$, $S = 2{,}0\ \text{m}^2$, $e = 0{,}10\ \text{m}$, faces à $20\ °\text{C}$ et $5\ °\text{C}$.

$R_\text{th} = \dfrac{0{,}10}{0{,}50 \times 2{,}0} = 0{,}10\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$, puis $\varphi = \dfrac{15}{0{,}10} = 150\ \text{W}$.

Rayonnement : la loi de Stefan

Le rayonnement ne se calcule pas avec une résistance : on utilise directement la loi de Stefan, qui donne la puissance rayonnée par un corps (assimilé à un corps noir) :

$P = \sigma \cdot S \cdot T^4 \qquad \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\text{}\cdot\text{K}^{-4}$

Deux points de vigilance : la température est à la puissance 4 (un petit écart de température change beaucoup la puissance), et elle doit être en kelvins. On convertit toujours avec $T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273$.

Exemple. Une surface de $S = 1{,}0\ \text{m}^2$ à $T = 300\ \text{K}$ (soit $27\ °\text{C}$).

$T^4 = (300)^4 = 8{,}1 \times 10^{9}$, donc $P = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 1{,}0 \times 8{,}1 \times 10^{9} \approx 4{,}6 \times 10^{2}\ \text{W}$.

La surface rayonne donc environ $460\ \text{W}$.

Exemple guidé 1 — le mur en béton

On refait le mur en béton ensemble, mais cette fois je commente chaque ligne — c'est comme ça que tu dois rédiger au propre.

Données. $\lambda = 2{,}0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 0{,}20\ \text{m}$, $S = 10\ \text{m}^2$, intérieur $20\ °\text{C}$, extérieur $0\ °\text{C}$.

1. On écrit l'écart de température. Comme on va utiliser une résistance, on note $\Delta T = 20 - 0 = 20\ \text{K}$ (l'écart est le même en °C et en K, donc pas de conversion à faire ici).

2. On calcule la résistance thermique. $R_\text{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} = \dfrac{0{,}20}{2{,}0 \times 10} = \dfrac{0{,}20}{20} = 0{,}010\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$. On garde l'unité $\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$, c'est un point de vérification.

3. On en déduit le flux. $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{th}} = \dfrac{20}{0{,}010} = 2000\ \text{W}$.

4. On conclut avec une phrase. Le mur laisse passer un flux de $2000\ \text{W} = 2{,}0\ \text{kW}$ vers l'extérieur. Voilà pourquoi un mur nu, ça chauffe la rue.

Exemple guidé 2 — on ajoute un isolant

Même mur, mais on colle un isolant contre le béton : une couche de laine de verre d'épaisseur $e_2 = 0{,}10\ \text{m}$ et de conductivité $\lambda_2 = 0{,}040\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$. On garde $S = 10\ \text{m}^2$ et $\Delta T = 20\ \text{K}$. Le réflexe : on additionne les résistances.

1. Résistance du béton. $R_1 = \dfrac{0{,}20}{2{,}0 \times 10} = 0{,}010\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ (déjà calculée).

2. Résistance de l'isolant. $R_2 = \dfrac{e_2}{\lambda_2 \cdot S} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 10} = \dfrac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.

3. Résistance totale (couches en série). $R_\text{total} = R_1 + R_2 = 0{,}010 + 0{,}25 = 0{,}26\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.

4. Nouveau flux. $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{total}} = \dfrac{20}{0{,}26} \approx 77\ \text{W}$.

Résultat parlant : le flux passe de $2000\ \text{W}$ à $77\ \text{W}$. Une fine couche d'isolant, avec son $\lambda$ minuscule, fait presque tout le travail. C'est elle qui porte la plus grosse résistance.

Exemple guidé 3 — le rayonnement d'une surface

Passons au rayonnement, avec le piège classique intégré. Une surface chaude de $S = 2{,}0\ \text{m}^2$ est à $T = 300\ \text{K}$ (soit $27\ °\text{C}$). Quelle puissance rayonne-t-elle ?

1. On vérifie l'unité de température. On veut des kelvins : $300\ \text{K}$, c'est déjà bon. (Si l'énoncé donnait $27\ °\text{C}$, on ferait $27 + 273 = 300\ \text{K}$.)

2. On calcule $T^4$. $(300)^4 = 8{,}1 \times 10^{9}$.

3. On applique la loi de Stefan. $P = \sigma \cdot S \cdot T^4 = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 2{,}0 \times 8{,}1 \times 10^{9} \approx 9{,}2 \times 10^{2}\ \text{W}$, soit environ $918\ \text{W}$.

Le piège à ne pas tomber dedans. Si on avait bêtement gardé $27$ (les °C) : $P_\text{faux} = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 2{,}0 \times (27)^4 \approx 0{,}06\ \text{W}$. Un résultat 15 000 fois trop petit, complètement absurde. La conversion en kelvins n'est pas un détail.

Les subtilités et pièges classiques

Voici ce qui sépare une copie moyenne d'une copie qui prend tous les points.

• Écart ou température absolue ? L'écart $\Delta T$ est identique en °C et en K (un écart de $20\ °\text{C}$ vaut un écart de $20\ \text{K}$), donc pour la conduction on peut travailler directement avec les °C. Mais une température absolue, elle, change : $20\ °\text{C} = 293\ \text{K}$.
• Stefan = toujours des kelvins. Dans $P = \sigma S T^4$, $T$ est une température absolue : on convertit systématiquement avant de mettre à la puissance 4.
• En série, on additionne les résistances, jamais les flux. À travers des couches empilées, le flux $\varphi$ est le même partout (l'énergie qui entre par une face ressort par l'autre) ; ce sont les $R_\text{th}$ qui s'ajoutent.
• Convection : naturelle ou forcée. Ne l'oublie pas : un ventilateur, une pompe, un sèche-cheveux imposent une convection forcée.
• Les unités valident le calcul. $\varphi$ en $\text{W}$, $R_\text{th}$ en $\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$, $\lambda$ en $\text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$. Une unité fausse en fin de ligne = une erreur en amont.

Problème type 1 — isoler un mur

Énoncé. Un mur de surface $S = 10\ \text{m}^2$ est fait de briques ($e_1 = 0{,}20\ \text{m}$, $\lambda_1 = 1{,}0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$). L'intérieur est à $20\ °\text{C}$, l'extérieur à $5\ °\text{C}$. On ajoute une plaque de polystyrène ($e_2 = 0{,}08\ \text{m}$, $\lambda_2 = 0{,}040\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\text{}\cdot\text{K}^{-1}$). Comparer le flux perdu avec et sans l'isolant.

1. Écart de température. $\Delta T = 20 - 5 = 15\ \text{K}$.

2. Sans isolant. $R_1 = \dfrac{0{,}20}{1{,}0 \times 10} = 0{,}020\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$, donc $\varphi_\text{sans} = \dfrac{15}{0{,}020} = 750\ \text{W}$.

3. Résistance du polystyrène. $R_2 = \dfrac{0{,}08}{0{,}040 \times 10} = \dfrac{0{,}08}{0{,}40} = 0{,}20\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.

4. Avec isolant (série). $R_\text{total} = R_1 + R_2 = 0{,}020 + 0{,}20 = 0{,}22\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$, donc $\varphi_\text{avec} = \dfrac{15}{0{,}22} \approx 68\ \text{W}$.

5. Conclusion. L'isolant fait chuter les pertes de $750\ \text{W}$ à $68\ \text{W}$, soit environ onze fois moins. Ce que le correcteur attend : les résistances additionnées (et non les flux), les unités à chaque ligne, et une phrase de comparaison chiffrée à la fin.

Problème type 2 — la plaque qui rayonne

Énoncé. Une plaque chauffante, assimilée à un corps noir, a une surface $S = 0{,}50\ \text{m}^2$ et fonctionne à $227\ °\text{C}$. Quelle puissance rayonne-t-elle ?

1. Conversion en kelvins (le réflexe qui sauve). $T = 227 + 273 = 500\ \text{K}$.

2. Calcul de $T^4$. $(500)^4 = 6{,}25 \times 10^{10}$.

3. Loi de Stefan. $P = \sigma \cdot S \cdot T^4 = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}50 \times 6{,}25 \times 10^{10}$.

4. On regroupe les puissances de 10. $P = 5{,}67 \times 0{,}50 \times 6{,}25 \times 10^{-8+10} = 17{,}7 \times 10^{2} \approx 1{,}8 \times 10^{3}\ \text{W}$.

5. Conclusion. La plaque rayonne près de $1{,}8\ \text{kW}$. Ce que le correcteur attend : la conversion en kelvins écrite noir sur blanc, la gestion propre des puissances de 10, et l'unité finale en watts.

Le mur, un circuit électrique déguisé

D'où sort ce truc de « résistances qui s'additionnent » ? La formule $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_\text{th}}$ a exactement la forme de la loi d'Ohm en électricité, $I = \dfrac{U}{R}$. Le parallèle est complet :

• l'écart de température $\Delta T$ joue le rôle de la tension $U$ (ce qui pousse) ;
• le flux thermique $\varphi$ joue le rôle du courant $I$ (ce qui circule) ;
• la résistance thermique $R_\text{th}$ joue le rôle de la résistance électrique $R$ (ce qui freine).

Et comme en électricité, des résistances en série sont traversées par le même courant et voient leurs valeurs s'ajouter : $R_\text{total} = R_1 + R_2 + \cdots$. Voilà la justification de la règle du palier précédent — ce n'est pas une recette magique, c'est la même physique que les circuits.

Ce qui t'attend ensuite

Où tout cela te mène-t-il ?

• Dès maintenant, en 1re, le bilan énergétique d'un système est le sous-thème compagnon de ce chapitre : les transferts que tu viens de voir y deviennent des termes d'un bilan d'énergie complet. C'est la fiche à enchaîner tout de suite après celle-ci.
• En Terminale, tu retrouveras le flux thermique et la résistance thermique approfondis, sur des situations bien plus riches qu'une simple paroi.
• Au-delà du programme, la loi de Stefan s'affine pour les corps réels avec un facteur d'émissivité $\varepsilon$ (compris entre 0 et 1) : $P = \varepsilon \cdot \sigma \cdot S \cdot T^4$. Le corps noir de cette fiche correspond au cas idéal $\varepsilon = 1$.
• Toujours en ouverture, la convection se quantifie elle aussi, avec un coefficient d'échange qui relie le flux à l'écart de température entre le fluide et la paroi — de quoi calculer, un jour, le refroidissement d'un radiateur ou d'un processeur.

Le fil rouge à garder : un même écart de température, trois chemins pour l'énergie (conduction, convection, rayonnement), et à chaque fois une grandeur qui résiste au passage. Tu tiens déjà le cœur du sujet.