Transferts thermiques et flux thermique

Quantifier les échanges de chaleur à travers une paroi — base physique de l'isolation thermique.

1 L'idée

Un transfert thermique est un échange spontané d'énergie entre deux corps de températures différentes, toujours du corps chaud vers le corps froid. Trois modes coexistent :

Conduction : propagation de proche en proche dans un solide, sans déplacement de matière (ex. une barre métallique chauffée à une extrémité).
Convection : transport par un fluide en mouvement, naturelle (différences de densité) ou forcée (ventilateur, pompe).
Rayonnement : émission d'ondes électromagnétiques, sans support matériel (ex. chaleur reçue du Soleil).

En Terminale, on étudie la conduction en régime permanent à travers des parois planes, en utilisant le flux thermique $\Phi$ et la résistance thermique $R_{th}$.

2 Grandeurs et lois fondamentales

Flux thermique

$\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t} \quad (\text{W})$

Loi de Fourier — paroi plane

$\Phi = \lambda \cdot S \cdot \dfrac{\Delta T}{e}$

Résistance thermique

$R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} \quad (\text{K/W})$

Flux et résistance

$\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}$

Parois en série

$R_{\text{tot}} = R_{th,1} + R_{th,2} + \cdots$

3 Signification des grandeurs

$\lambda$ est la conductivité thermique (W·m⁻¹·K⁻¹) : plus $\lambda$ est faible, plus le matériau est isolant. Ordres de grandeur : béton $\lambda \approx 1{,}0$ ; laine de verre $\lambda \approx 0{,}040$ ; mousse de polyuréthane $\lambda \approx 0{,}025$.

$e$ est l'épaisseur de la paroi (m), $S$ sa surface (m²), $\Delta T = T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}$ l'écart de température (K ou °C). La relation $\Phi = \Delta T / R_{th}$ est l'analogue thermique de la loi d'Ohm ($I = U/R$) : la résistance thermique s'oppose au flux de chaleur comme la résistance électrique s'oppose au courant. Pour des couches superposées, les résistances thermiques s'additionnent.

4 Exemple — paroi composite béton + laine de verre

Données

Béton : $\lambda_1 = 1{,}0$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$, $e_1 = 0{,}20$ m, $S = 10$ m², $\Delta T = 20$ K.

Laine de verre : $\lambda_2 = 0{,}040$ W·m$^{-1}$·K$^{-1}$, $e_2 = 0{,}10$ m.

Résolution

$R_{th,1} = \dfrac{0{,}20}{1{,}0 \times 10} = 0{,}020$ K/W

$R_{th,2} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 10} = \dfrac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25$ K/W

$R_{\text{tot}} = 0{,}020 + 0{,}25 = 0{,}270$ K/W

$\Phi = \dfrac{20}{0{,}270} \approx 74$ W

Méthode — résoudre un problème de conduction en régime permanent

Identifier toutes les couches et relever $\lambda_i$, $e_i$, $S$ (même surface pour toutes les couches en série).
Calculer chaque résistance : $R_{th,i} = e_i \,/\, (\lambda_i \cdot S)$.
Additionner les résistances : $R_{\text{tot}} = \sum_i R_{th,i}$.
Calculer le flux : $\Phi = \Delta T \,/\, R_{\text{tot}}$.
Convertir en énergie si besoin : $Q = \Phi \times \Delta t$, avec $\Delta t$ en secondes.

Erreurs fréquentes

Confondre $\lambda$ (propriété du matériau) et $R_{th}$ (propriété de la paroi) : un petit $\lambda$ donne un grand $R_{th}$, c'est-à-dire un bon isolant.
Omettre $S$ dans $R_{th} = e\,/\,(\lambda \cdot S)$ : sans la surface, le résultat est faux.
Oublier de convertir l'épaisseur $e$ en mètres ou la durée $\Delta t$ en secondes avant le calcul de $Q$.
Prendre $\Delta T$ négatif : par convention $\Delta T = T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}} \gt 0$, le flux est toujours positif.