Brevet 2017 — Maths, sujet complet corrigé
Exercice 1 — Probabilités
4 pointsProbabilités · Proportionnalité & %Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire au hasard une boule et on regarde sa couleur. On replace ensuite la boule dans l’urne et on mélange les boules.
La probabilité d’obtenir une boule verte est $\frac{2}{5}$.
- Expliquer pourquoi la probabilité d’obtenir une boule bleue est égale à $\frac{3}{5}$.
- Paul a effectué 6 tirages et a obtenu une boule verte à chaque fois. Au 7e tirage, aura-t-il plus de chances d’obtenir une boule bleue qu’une boule verte ?
- Déterminer le nombre de boules bleues dans cette urne sachant qu’il y a 8 boules vertes.
🟢 Je suis prêt
Rappelle-toi que la somme des probabilités de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1.
🟡 Je me souviens plus trop
Il n'y a que deux issues : boule verte et boule bleue.
La somme de leurs probabilités vaut 1.
Donc $p(\text{bleue}) = 1 - p(\text{verte}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
La probabilité d'obtenir une boule bleue est bien $\frac{3}{5}$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues possibles est toujours égale à 1.
Ici, il n'y a que deux issues : tirer une boule verte ou tirer une boule bleue.
On connaît la probabilité de l'issue « boule verte » : $\frac{2}{5}$.
On en déduit la probabilité de l'issue « boule bleue » en faisant : $1 - \frac{2}{5}$.
$1 = \frac{5}{5}$, donc $\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
La probabilité d'obtenir une boule bleue est donc $\frac{3}{5}$. ✓
🟢 Je suis prêt
Souviens-toi : quand on remet la boule dans l'urne, les tirages sont indépendants. Les probabilités ne changent pas d'un tirage à l'autre.
🟡 Je me souviens plus trop
L'énoncé précise qu'on replace la boule après chaque tirage : les tirages sont donc indépendants.
Les probabilités restent les mêmes à chaque tirage, quels que soient les résultats précédents.
Ainsi, au 7e tirage, la probabilité d'obtenir une boule bleue est toujours $\frac{3}{5}$ et celle d'obtenir une boule verte est $\frac{2}{5}$.
Comme $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$, Paul a toujours plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte.
Oui, il a plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
L'urne contient des boules vertes et bleues. Après chaque tirage, on remet la boule et on mélange. Cela signifie que chaque tirage est indépendant des précédents : la composition de l'urne est toujours la même.
Par conséquent, les probabilités ne sont pas modifiées par les résultats antérieurs. Même après 6 boules vertes d'affilée, la probabilité de tirer une boule verte reste $\frac{2}{5}$ et celle de tirer une boule bleue reste $\frac{3}{5}$.
On compare ces deux probabilités : $\frac{3}{5} = 0,6$ et $\frac{2}{5} = 0,4$. Donc $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.
Paul a donc plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte au 7e tirage (et à n'importe quel tirage). ✓
🟢 Je suis prêt
Utilise la probabilité $\frac{2}{5}$ et le nombre de boules vertes (8) pour trouver le nombre total de boules, puis déduis-en le nombre de boules bleues.
🟡 Je me souviens plus trop
La probabilité de tirer une boule verte est $\frac{2}{5}$. Cela signifie que, sur l'ensemble des boules, la proportion de vertes est $\frac{2}{5}$.
On sait qu'il y a 8 boules vertes. Donc $\frac{2}{5}$ du nombre total de boules correspond à 8.
Pour trouver le nombre total $N$, on résout $\frac{2}{5} \times N = 8$, soit $N = 8 \times \frac{5}{2} = 20$.
Il y a donc 20 boules au total. Le nombre de boules bleues est $20 - 8 = 12$.
Il y a 12 boules bleues dans l'urne. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On sait que la probabilité d'obtenir une boule verte est $\frac{2}{5}$. Cela veut dire que le nombre de boules vertes représente $\frac{2}{5}$ du nombre total de boules.
On connaît le nombre de boules vertes : 8. On peut donc écrire l'égalité : $\frac{2}{5} \times \text{total} = 8$.
Pour trouver le total, on divise 8 par $\frac{2}{5}$, ce qui revient à multiplier par l'inverse : $\text{total} = 8 \times \frac{5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
L'urne contient donc 20 boules en tout. Comme il y a 8 boules vertes, le reste est bleu : $20 - 8 = 12$.
Il y a donc 12 boules bleues. ✓
Exercice 2 — Scratch & Triangles équilatéraux
6 pointsScratch / algorithmiqueOn donne un programme Scratch qui permet de tracer plusieurs triangles équilatéraux de tailles différentes. Il utilise un bloc triangle (voir le sujet) et une variable nommée côté. Les longueurs sont en pixels. L'instruction s'orienter à 90 dirige le lutin vers la droite.
(voir la figure du sujet pour le script et le bloc triangle)
Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Cherche le bloc qui place le lutin à un endroit précis avant de commencer à tracer. Les coordonnées sont écrites dedans : la première pour l'axe horizontal x, la seconde pour l'axe vertical y.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans le script, le bloc aller à x: −200 y: −100 définit le point de départ. C'est lui qui positionne le stylo avant le tracé.
Les coordonnées sont donc (−200 ; −100).
✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le point de départ d'un tracé dans Scratch est fixé par l'instruction « aller à x: … y: … ». Juste après le drapeau vert et l'effacement, le script place le lutin.
Ici, l'instruction est aller à x: −200 y: −100. La première valeur est la coordonnée horizontale (abscisse) et la seconde la coordonnée verticale (ordonnée).
Les coordonnées du point de départ sont donc (−200 ; −100).
✓
Combien de triangles sont dessinés par le script ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Regarde la boucle « répéter … fois ». Elle indique combien de fois le bloc triangle est appelé. Attention : ce n'est pas le nombre de côtés du triangle, mais le nombre de triangles complets.
🟡 Je me souviens plus trop
Le script contient une boucle répéter 5 fois. À l'intérieur, le bloc triangle est exécuté puis le lutin avance de côté. Le bloc triangle est donc exécuté à chaque passage dans la boucle.
Cela signifie que 5 triangles sont dessinés.
✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour savoir combien de triangles sont tracés, il faut observer la structure du programme. Après avoir défini la position, l'orientation et la valeur initiale de côté, le script utilise une boucle « répéter 5 fois ».
Dans cette boucle, on trouve le bloc triangle qui trace un triangle complet, puis le lutin avance. Comme le bloc est répété 5 fois, le programme dessine exactement 5 triangles.
✓
Quelle est la longueur (en pixels) du côté du deuxième triangle tracé ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Observe comment la variable côté évolue. Elle commence à 100 et perd 20 à chaque triangle. Le deuxième utilise donc la valeur après une seule diminution.
🟡 Je me souviens plus trop
Au début, côté = 100. Après avoir tracé le premier triangle et avancé, l'instruction « Ajouter à côté −20 » s'exécute. La nouvelle valeur de côté devient 100 − 20 = 80. C'est cette valeur qui est utilisée pour le deuxième triangle.
Le deuxième triangle a donc un côté de 80 pixels.
✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La variable côté est initialisée à 100 au début du programme.
Le premier triangle est tracé avec cette valeur. Ensuite, le lutin avance de la longueur côté (soit 100), puis la valeur de côté est modifiée : on lui ajoute −20. Elle devient donc 100 − 20 = 80.
Quand la boucle recommence pour le deuxième triangle, le bloc triangle utilise cette nouvelle valeur. Le côté du deuxième triangle mesure donc 80 pixels.
✓
Tracer à main levée l'allure de la figure obtenue quand on exécute ce script.
🟢 Je suis prêt
🟢 Les triangles partent du même point, s'alignant vers la droite. Chacun est plus petit de 20 pixels que le précédent. Imagine-les emboîtés ou décalés, côte à côte en dégradé.
🟡 Je me souviens plus trop
On trace 5 triangles équilatéraux dont les côtés diminuent de 20 pixels à chaque fois (100, 80, 60, 40, 20). Le premier triangle est tracé vers la droite ; après chaque triangle, le lutin avance, donc le suivant démarre un peu plus à droite. La figure montre 5 triangles alignés horizontalement, de plus en plus petits, comme une frise.
✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le script positionne le stylo en (−200 ; −100). La variable côté vaut 100 au départ.
1er triangle : côté 100. Il est tracé à l'endroit indiqué, pointe vers la droite. Le lutin avance de 100 et côté devient 80.
2e triangle : côté 80, tracé à partir du nouveau point, plus petit, à droite du premier.
Ainsi de suite pour les côtés 60, 40 et 20. On obtient 5 triangles alignés de gauche à droite, de tailles décroissantes (100, 80, 60, 40 et 20 pixels).
✓
On modifie le script initial pour obtenir une nouvelle figure (voir énoncé). Indiquer le numéro d'une instruction du script après laquelle on peut placer l'instruction tourner de 60 degrés pour obtenir cette nouvelle figure.
🟢 Je suis prêt
🟢 L'instruction à placer doit s'appliquer à chaque triangle sans changer la structure de la boucle. Regarde à quel moment ajouter une rotation qui décale l'orientation avant le prochain tracé.
🟡 Je me souviens plus trop
Pour obtenir la nouvelle figure (triangles disposés en hexagone ou décalés angulairement), il faut modifier l'orientation après chaque triangle. L'instruction « tourner de 60° » doit être placée à l'intérieur de la boucle, après l'instruction qui modifie la variable côté et avant la fin du cycle. Cela correspond à l'instruction n° 9.
✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La figure obtenue forme une rosace avec les triangles orientés différemment. Pour changer l'orientation à chaque nouveau triangle, il faut ajouter une rotation à l'intérieur de la boucle.
Le bloc « tourner de 60 degrés » doit agir sur l'angle une fois le triangle tracé et avant le début du suivant. Le meilleur emplacement est après le bloc qui réduit la variable côté, soit après l'instruction n° 9 (« Ajouter à côté -20 »). Ainsi, chaque triangle est tourné de 60° supplémentaires par rapport au précédent.
✓
Exercice 3 — Charge d'un condensateur
4 pointsProportionnalité & % · Lecture graphiqueUn condensateur est un composant électronique qui permet de stocker de l'énergie électrique pour la restituer plus tard.
Le graphique suivant montre l'évolution de la tension mesurée aux bornes d'un condensateur en fonction du temps lorsqu'il est en charge. (voir la figure du sujet)
La courbe part de l'origine, croît rapidement puis se stabilise autour de 5 V.
🟢 Je suis prêt
Pour reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique, regarde si les points sont alignés avec l'origine et forment une droite.
🟡 Je me souviens plus trop
Observe la forme du graphique : la courbe représentant la tension en fonction du temps n'est pas une droite.
Dans une situation de proportionnalité, le graphique est toujours une droite passant par l'origine.
Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par une droite passant par l'origine du repère.
Étape 1 : Regarde le graphique fourni. La courbe part bien de l'origine (0,0), mais elle n'est pas droite : elle s'incurve.
Étape 2 : Comme ce n'est pas une droite, la tension n'est pas proportionnelle au temps.
Conclusion : Il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité. ✓
🟢 Je suis prêt
Repère la valeur 0,2 s sur l'axe horizontal, puis lis la tension correspondante sur l'axe vertical en suivant la courbe.
🟡 Je me souviens plus trop
Sur l'axe des abscisses (temps), place-toi à 0,2 s.
Remonte verticalement jusqu'à la courbe, puis lis la valeur sur l'axe des ordonnées (tension).
La tension mesurée est d'environ $4,4$ V. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour lire une valeur sur un graphique :
1. Repère la graduation 0,2 sur l'axe horizontal (temps en secondes).
2. Trace mentalement une droite verticale jusqu'à rencontrer la courbe.
3. Depuis ce point d'intersection, trace une droite horizontale jusqu'à l'axe vertical (tension en volts) et lis la valeur.
On trouve environ $4,4$ V. ✓
🟢 Je suis prêt
Calcule d'abord 60 % de 5 V, puis cherche sur le graphique à quel temps cette tension est atteinte.
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule 60 % de la tension maximale : $0,6 \times 5 = 3$ V.
Sur le graphique, cherche le temps correspondant à une tension de 3 V : depuis 3 V sur l'axe vertical, va horizontalement jusqu'à la courbe, puis redescends sur l'axe du temps.
On lit environ $0,09$ s. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Prendre 60 % d'une valeur revient à multiplier par $0,6$ (car $60\% = \frac{60}{100} = 0,6$).
1. Calcule 60 % de 5 V : $0,6 \times 5 = 3$ V. La tension cherchée est donc 3 V.
2. Sur le graphique, repère 3 V sur l'axe vertical.
3. Trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis une droite verticale jusqu'à l'axe du temps.
4. Lis la valeur sur l'axe du temps : on trouve environ $0,09$ s.
La tension atteint 60 % de la tension maximale au bout d'environ $0,09$ seconde. ✓
Exercice 4 — Panneaux photovoltaïques & trigonométrie
8 pointsProportionnalité & % · Trigonométrie · Pythagore & réciproqueLes panneaux photovoltaïques produisent de l'électricité à partir du rayonnement solaire. L'énergie électrique se mesure en kilowatt-heure (kWh).
1. Lecture de tableau : le prix d'achat du kWh dépend du type d'installation (A ou B), de la puissance totale et de la date d'installation.
2. Pan sud du toit (voir la figure du sujet) : ABC est un triangle rectangle en B. On donne BC = 4,5 m, la hauteur du mur AC = 7 − 4,8 = 2,2 m.
3. Dimensions du toit : le pan sud est un rectangle de 7,5 m de long sur environ 5 m de large (calculé à la question 3a). Les panneaux sont des carrés de 1 m de côté.
En mai 2015, une centrale solaire de type B, d'une puissance de 28 kW, est installée. Vérifier que le prix d'achat de 31 420 kWh est d'environ 4 383 €.
(Extrait du tableau : Type B, puissance 0 à 36 kW, période du 01/04/15 au 30/06/15 -> 13,95 centimes d'euro par kWh.)
🟢 Je suis prêt
Méthode :
Repère dans le tableau la période qui englobe mai 2015 et la puissance de 28 kW. Convertis le prix en centimes en euros pour faciliter le calcul.
🟡 Je me souviens plus trop
Étapes :
Mai 2015 → période du 01/04/15 au 30/06/15.
Puissance 28 kW → Type B, tranche 0 à 36 kW : prix = 13,95 centimes/kWh.
Convertis en euros : 13,95 centimes ÷ 100 = 0,1395 €/kWh.
Calcule le prix total : $31\,420 \times 0,1395 = 4\,383,09$ €.
Le prix d'achat est bien d'environ 4 383 €.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Je raisonne pas à pas :
1. Période concernée. L'installation date de mai 2015. Dans le tableau, la période « du 01/04/15 au 30/06/15 » couvre ce mois. Je prends donc le prix indiqué dans cette colonne.
2. Type et puissance. La centrale est de type B et sa puissance est de 28 kW. Le tableau donne pour le type B une première ligne : « 0 à 36 kW ». 28 est bien compris entre 0 et 36, donc j'utilise cette ligne. Le prix est 13,95 centimes d'euro par kWh.
3. Conversion du prix. Le prix est donné en centimes. Pour avoir des euros, je divise par 100 : $13,95 \div 100 = 0,1395$ €. Un kWh est donc vendu 0,1395 euro.
4. Prix total pour 31 420 kWh. Il suffit de multiplier le nombre de kWh par le prix d'un kWh : $31\,420 \times 0,1395$. Le calcul donne exactement 4 383,09 €.
5. Cohérence. L'énoncé demande de vérifier que le prix est « environ 4 383 € ». 4 383,09 arrondi à l'unité est bien 4 383 €.
Le prix d'achat est d'environ 4 383 €. ✓
Déterminer, au degré près, l'angle $\widehat{ABC}$ que forme le pan sud du toit avec l'horizontale (voir la figure du sujet).
🟢 Je suis prêt
Méthode :
Place-toi dans le triangle rectangle ABC. Identifie le côté que tu connais (adjacent à l'angle $\widehat{ABC}$) et le côté opposé. Utilise ensuite la formule de trigonométrie qui lie ces deux côtés.
🟡 Je me souviens plus trop
Étapes :
ABC est rectangle en B. $\widehat{ABC}$ est l'angle en B. Côté adjacent = BC = 4,5 m.
Côté opposé = AC = 7 − 4,8 = 2,2 m.
Utilise la tangente : $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{2,2}{4,5}$.
Calcule $\frac{2,2}{4,5} \approx 0,4889$.
Applique $\tan^{-1}$ (ou arctan) : $\widehat{ABC} \approx 26°$ (arrondi au degré près).
L'angle mesure environ 26°.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Reprenons tout :
1. Identification du triangle. Le pan sud du toit est représenté par le segment [AB]. Le triangle ABC est rectangle en B (l'horizontale BC et la verticale AC). Je cherche l'angle $\widehat{ABC}$, c'est-à-dire l'angle en B entre l'horizontale BC et le toit AB.
2. Mesures des côtés. D'après la figure : BC = 4,5 m. La hauteur AC n'est pas donnée directement mais on lit 7 m (hauteur totale) et 4,8 m (hauteur du mur sous le triangle). Donc AC = 7 − 4,8 = 2,2 m.
3. Choix de la formule. Dans le triangle rectangle en B, par rapport à l'angle $\widehat{ABC}$ : le côté [BC] est le côté adjacent (il touche l'angle B et l'angle droit). Le côté [AC] est le côté opposé. La formule qui relie côté opposé et côté adjacent est la tangente : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
4. Application numérique. $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC} = \frac{2,2}{4,5}$. En calculant : $2,2 \div 4,5 \approx 0,4889$.
5. Utilisation de la calculatrice. Pour retrouver l'angle à partir de sa tangente, j'utilise la touche $\tan^{-1}$ (ou arctan). Je tape $\tan^{-1}(0,4889)$ et j'obtiens environ 26,05°. Arrondi au degré près, cela donne 26°.
L'angle $\widehat{ABC}$ mesure environ 26°.✓
Montrer que la longueur AB est environ égale à 5 m.
🟢 Je suis prêt
Méthode :
Tu es dans un triangle rectangle. Tu connais les deux côtés de l'angle droit. Quel théorème permet de calculer l'hypoténuse ?
🟡 Je me souviens plus trop
Étapes :
Dans ABC rectangle en B : AC = 2,2 m, BC = 4,5 m, AB est l'hypoténuse.
Applique le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Calcule : $AB^2 = 2,2^2 + 4,5^2 = 4,84 + 20,25 = 25,09$.
Prends la racine carrée : $AB = \sqrt{25,09} \approx 5,009$ m.
AB est bien environ égale à 5 m.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Raisonnons étape par étape :
1. Nature du triangle. La figure montre que ABC est rectangle en B. Les droites (BC) horizontale et (AC) verticale sont perpendiculaires. L'hypoténuse est donc [AB].
2. Le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici : $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
3. On remplace par les valeurs connues. AC = 2,2 m (trouvé plus haut), BC = 4,5 m (donné). $AB^2 = 2,2^2 + 4,5^2$.
4. Calculs. $2,2^2 = 2,2 \times 2,2 = 4,84$. $4,5^2 = 4,5 \times 4,5 = 20,25$. Leur somme : $4,84 + 20,25 = 25,09$. Donc $AB^2 = 25,09$.
5. Longueur AB. Pour obtenir AB, on prend la racine carrée de 25,09. Avec la calculatrice : $\sqrt{25,09} \approx 5,009$. En arrondissant au mètre le plus proche, on trouve exactement 5 m.
La longueur AB est environ 5 m. ✓
Le propriétaire prévoit d'installer 20 panneaux carrés de 1 m de côté. Quel pourcentage de la surface totale du pan sud du toit sera alors couvert ? On donnera une valeur approchée à 1 % près.
🟢 Je suis prêt
Méthode :
Calcule d'abord la surface occupée par les 20 panneaux, puis la surface totale du toit rectangulaire (longueur 7,5 m, largeur AB). Termine par un produit en croix pour obtenir le pourcentage.
🟡 Je me souviens plus trop
Étapes :
Surface des 20 panneaux : $20 \times 1^2 = 20$ m².
Surface du toit : $7,5 \times 5 = 37,5$ m² (AB ≈ 5 m).
Pourcentage : $\frac{\text{surface panneaux}}{\text{surface toit}} \times 100 = \frac{20}{37,5} \times 100$.
Calcule : $\frac{20}{37,5} = 0,5333...$ ; $0,5333 \times 100 = 53,33...$%.
Environ 53 % du toit est couvert.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Méthode pour un pourcentage :
1. Surface occupée par les panneaux. Chaque panneau est un carré de 1 m de côté. Son aire = 1 m × 1 m = 1 m². Il y a 20 panneaux, donc la surface totale occupée = 20 × 1 = 20 m².
2. Surface totale du toit. Le pan sud est un rectangle de 7,5 m de long et d'une largeur AB qu'on vient de calculer (environ 5 m). Aire du rectangle = longueur × largeur = 7,5 × 5 = 37,5 m².
3. Calcul du pourcentage. Le pourcentage est le rapport entre la surface occupée et la surface totale, multiplié par 100 : $\frac{20}{37,5} \times 100$. On effectue la division : $20 \div 37,5 \approx 0,5333$. Puis on multiplie par 100 : $0,5333 \times 100 = 53,33$ %.
4. Arrondi. On demande une valeur approchée à 1 % près : 53,33 % arrondi à l'unité donne 53 % (car le chiffre après la virgule est 3, inférieur à 5).
Environ 53 % du pan sud du toit sera couvert par les panneaux solaires. ✓
La notice impose une bordure libre d'au moins 30 cm tout autour de l'ensemble des panneaux. Le propriétaire peut-il installer les 20 panneaux prévus ?
🟢 Je suis prêt
Méthode :
Commence par retrancher 30 cm (0,3 m) de chaque côté du toit pour obtenir l'espace disponible. Vérifie ensuite combien de panneaux de 1 m de côté tu peux placer dans ce rectangle utile (en longueur et en largeur).
🟡 Je me souviens plus trop
Étapes :
Espace disponible : longueur utile = $7,5 - 2 \times 0,3 = 6,9$ m ; largeur utile = $5 - 2 \times 0,3 = 4,4$ m.
En longueur, on peut placer 6 panneaux ($6 \times 1 = 6 \le 6,9$).
En largeur, on peut placer 4 panneaux ($4 \times 1 = 4 \le 4,4$).
Nombre maxi de panneaux : $6 \times 4 = 24$.
Comme 24 ≥ 20, le propriétaire peut bien installer ses 20 panneaux.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Vérifions pas à pas :
1. L'exigence de la notice. Une bordure d'au moins 30 cm (0,3 m) doit être laissée libre tout autour. Cela signifie qu'on retire cette largeur de bande de chaque côté du rectangle, donc deux fois 0,3 m en longueur et deux fois 0,3 m en largeur.
2. Calcul de l'espace utilisable. Le pan sud du toit mesure 7,5 m sur 5 m. Longueur utile = $7,5 - 2 \times 0,3 = 7,5 - 0,6 = 6,9$ m. Largeur utile = $5 - 2 \times 0,3 = 5 - 0,6 = 4,4$ m.
3. Nombre maximal de panneaux. Chaque panneau fait 1 m de côté. En longueur, combien de panneaux de 1 m peut-on aligner sur 6,9 m ? $6 \times 1 = 6$ m (inférieur à 6,9 m) ; on ne peut pas en mettre 7 car cela demanderait 7 m > 6,9 m. Donc 6 panneaux max en longueur. En largeur utile (4,4 m), on peut placer au maximum 4 panneaux (4 m ≤ 4,4 m, 5 m serait trop). Le nombre total maximal est donc $6 \times 4 = 24$ panneaux.
4. Conclusion. Le propriétaire peut placer jusqu'à 24 panneaux, et il souhaite en installer 20. Comme 20 est bien inférieur ou égal à 24, c'est tout à fait possible.
Oui, le propriétaire peut installer les 20 panneaux prévus. ✓
Exercice 5 — Calculs littéraux et formules
8 pointsCalcul littéral · Équations · Proportionnalité & %1. Lors des Jeux Olympiques de Rio en 2016, la danoise Pernille Blume a remporté le 50 m nage libre en 24,07 secondes. A-t-elle nagé plus rapidement qu'une personne qui se déplace en marchant vite, c'est-à-dire à 6 km/h ?
2. On donne l'expression $E = (3x + 8)^2 - 64$.
- a. Développer $E$.
- b. Montrer que $E$ peut s'écrire sous forme factorisée : $3x(3x + 16)$.
- c. Résoudre l'équation $(3x + 8)^2 - 64 = 0$.
3. La distance $d$ de freinage d'un véhicule dépend de sa vitesse et de l'état de la route. On peut la calculer à l'aide de la formule : $d = k imes V^2$ avec $d$ en mètres, $V$ la vitesse en m/s, et $k$ un coefficient. On a $k = 0{,}14$ sur route mouillée et $k = 0{,}08$ sur route sèche. Quelle est la vitesse d'un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est égale à 15 m ?
Pernille Blume nage-t-elle plus vite qu'un marcheur à 6 km/h ?
🟢 Je suis prêt
Mets les deux vitesses dans la même unité, par exemple en m/s. Calcule la vitesse de la nageuse puis convertis celle du marcheur.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Calcule la vitesse de Pernille Blume en m/s : $v_{\text{nageuse}} = \dfrac{50}{24{,}07} \approx 2{,}08$ m/s.
Étape 2 : Convertis 6 km/h en m/s. Tu sais que 6 km = 6000 m et 1 h = 3600 s, donc $v_{\text{marcheur}} = \dfrac{6000}{3600} \approx 1{,}67$ m/s.
Conclusion : $2{,}08 > 1{,}67$, donc Pernille Blume nage plus rapidement que le marcheur.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour comparer des vitesses, on les exprime dans la même unité.
1. Vitesse de la nageuse en m/s
Pernille parcourt 50 m en 24,07 s. Sa vitesse est $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$.
$v = \dfrac{50}{24{,}07} \approx 2{,}08$ m/s.
2. Vitesse du marcheur en m/s
6 km/h signifie qu'en 1 heure (3600 s) il parcourt 6 km (6000 m).
$v = \dfrac{6000}{3600} = \dfrac{60}{36} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ m/s.
3. Comparaison
$2{,}08 \text{ m/s} > 1{,}67 \text{ m/s}$.
Pernille Blume nage donc plus rapidement qu'un marcheur à 6 km/h.✓
Développer $E = (3x + 8)^2 - 64$.
🟢 Je suis prêt
Utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 8$, puis soustrais 64.
🟡 Je me souviens plus trop
Applique l'identité : $(3x + 8)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 8 + 8^2 = 9x^2 + 48x + 64$.
Alors $E = 9x^2 + 48x + 64 - 64 = 9x^2 + 48x$.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour développer $(3x + 8)^2$, on utilise $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=3x$ et $b=8$.
1. Développement du carré :
$(3x)^2 = 9x^2$
$2 \times 3x \times 8 = 48x$
$8^2 = 64$
Donc $(3x+8)^2 = 9x^2 + 48x + 64$.
2. Simplification :
$E = (3x+8)^2 - 64 = 9x^2 + 48x + 64 - 64 = 9x^2 + 48x$.✓
Montrer que $E = 3x(3x + 16)$.
🟢 Je suis prêt
Tu peux factoriser la forme développée $9x^2 + 48x$ ou bien utiliser l'identité $a^2 - b^2$ sur la forme initiale.
🟡 Je me souviens plus trop
Depuis la forme développée : $9x^2 + 48x = 3x \times 3x + 3x \times 16 = 3x(3x + 16)$.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Deux méthodes possibles.
Méthode directe :
En question 2a on a trouvé $E = 9x^2 + 48x$.
On repère le facteur commun $3x$ :
$9x^2 = 3x \times 3x$, et $48x = 3x \times 16$.
Donc $E = 3x \times 3x + 3x \times 16 = 3x(3x + 16)$.
Méthode avec produit remarquable :
$E = (3x+8)^2 - 64 = (3x+8)^2 - 8^2$ (identité $a^2-b^2$).
$E = [(3x+8)-8] \times [(3x+8)+8]$
$E = 3x(3x+16)$.✓
Résoudre $(3x + 8)^2 - 64 = 0$.
🟢 Je suis prêt
Remplace par la forme factorisée de la question 2b et utilise la règle du produit nul : $A \times B = 0$ signifie $A = 0$ ou $B = 0$.
🟡 Je me souviens plus trop
L'équation devient $3x(3x+16)=0$.
Soit $3x=0 \implies x=0$, soit $3x+16=0 \implies x=-\dfrac{16}{3}$.
Solutions : $0$ et $-\dfrac{16}{3}$.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On sait que $E = 3x(3x+16)$. Résoudre $(3x+8)^2 - 64 = 0$ revient à résoudre $3x(3x+16) = 0$.
Règle : Un produit de facteurs est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul.
1er facteur : $3x = 0$ donc $x = 0$.
2e facteur : $3x + 16 = 0$ donc $3x = -16$ et $x = -\dfrac{16}{3}$.
Les solutions sont $0$ et $-\dfrac{16}{3}$.✓
Quelle est la vitesse d'un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est 15 m ?
🟢 Je suis prêt
Remplace $d$ par 15 et $k$ par $0{,}14$ dans la formule $d = k V^2$. Isole $V^2$ puis prends la racine carrée.
🟡 Je me souviens plus trop
On a $15 = 0{,}14 \times V^2$. Donc $V^2 = \dfrac{15}{0{,}14}$.
$V = \sqrt{\dfrac{15}{0{,}14}} \approx 10{,}35$ m/s.
La vitesse est d'environ $10{,}35$ m/s.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La formule est $d = k \times V^2$, avec $d$ en m, $V$ en m/s, et $k$ coefficient selon la route.
1. Données : $d = 15$ m, $k = 0{,}14$ (route mouillée).
2. Résolution : $15 = 0{,}14 \times V^2$
$V^2 = \dfrac{15}{0{,}14}$
$V = \sqrt{\dfrac{15}{0{,}14}}$ (on garde la valeur positive car c'est une vitesse).
3. Calcul : $\dfrac{15}{0{,}14} \approx 107{,}14$ donc $V \approx \sqrt{107{,}14} \approx 10{,}35$ m/s.
La vitesse du véhicule est environ $10{,}35$ m/s.✓
Exercice 6 — Statistiques - IMC
8 pointsStatistiques / médiane · Calcul littéral · Proportionnalité & %Avec les documents suivants, tu vas calculer et interpréter l'Indice de Masse Corporelle (IMC) de quelques employés.
Document n°1 : Le surpoids est un problème de santé majeur, l'IMC est couramment utilisé.
Document n°2 : L'IMC se calcule avec la formule $IMC = \frac{\text{masse}}{\text{taille}^2}$ (masse en kg, taille en m).
Normes :
$18,5 \leqslant IMC < 25$ → corpulence normale
$25 \leqslant IMC < 30$ → surpoids
$IMC \geqslant 30$ → obésité
Le médecin a relevé les données de six employés dans une feuille de tableur (extrait ci-dessous).
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Taille (en m) | 1,69 | 1,72 | 1,75 | 1,78 | 1,86 | 1,88 |
| 2 | Masse (en kg) | 72 | 85 | 74 | 70 | 115 | 85 |
| 3 | IMC (*) | 25,2 | 28,7 | 24,2 | 22,1 | 33,2 | 24,0 |
(*) valeur approchée au dixième
a. Combien d'employés sont en situation de surpoids ou d'obésité ?
b. Parmi les formules suivantes, laquelle a-t-on écrite dans la cellule B3 puis recopiée à droite ?
- $=72/1,69 \, \hat{\,}2$
- $=\text{B1}/(\text{B2}*\text{B2})$
- $=\text{B2}/(\text{B1}*\text{B1})$
- $=\$\text{B2}/(\$\text{B1}*\$\text{B1})$
🟢 Je suis prêt
Repère les IMC supérieurs ou égaux à 25 dans la ligne 3. Pour la formule, rappelle-toi : l'IMC c'est la masse divisée par la taille au carré. Dans le tableur, la masse est en ligne 2, la taille en ligne 1.
🟡 Je me souviens plus trop
a. Rappel des normes : surpoids si IMC ≥ 25, obésité si IMC ≥ 30. Dans la ligne 3, les valeurs ≥ 25 sont : B3=25,2 ; C3=28,7 ; E3=33,2. ➔ Il y a 3 employés en situation de surpoids ou d'obésité.
b. La masse est en B2, la taille en B1. Pour calculer l'IMC (masse/taille²), la formule correcte est $=\text{B2}/(\text{B1}*\text{B1})$ car elle utilise les bonnes lignes et les références relatives s'adaptent quand on recopie.
Réponse : a) 3 employés ; b) $=\text{B2}/(\text{B1}*\text{B1})$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : La formule IMC est $\text{masse} \div \text{taille}^2$. Dans un tableur, une formule commence par « = » et utilise les références des cellules. Si je recopie vers la droite, les lettres de colonne s'ajustent automatiquement (sauf si j'utilise des $).
a. Repérage des cas : Je regarde la ligne 3. Surpoids : IMC ≥ 25. Les cellules qui vérifient cela sont : B3 = 25,2 (surpoids) ; C3 = 28,7 (surpoids) ; E3 = 33,2 (obésité). Les autres sont en dessous de 25. ➔ Cela fait 3 employés.
b. Choix de la formule : Dans B3, la masse est en B2, la taille en B1. Je dois faire B2 ÷ (B1 × B1). La formule $=72/1,69\,\hat{\,}2$ ne s'adapterait pas si recopiée (valeurs en dur). $=B1/(B2*B2)$ inverserait la masse et la taille. Les signes $ bloquent les références et ne donneraient pas la souplesse voulue. La formule correcte est donc $=\text{B2}/(\text{B1}*\text{B1})$.
Réponse : a) 3 employés ; b) $=\text{B2}/(\text{B1}*\text{B1})$ ✓
Le médecin a relevé les IMC (arrondis à l'unité) des 41 employés :
| IMC | 20 | 22 | 23 | 24 | 25 | 29 | 30 | 33 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 9 | 12 | 6 | 8 | 2 | 1 | 1 | 2 |
a. Calcule une valeur approchée, arrondie à l'entier près, de l'IMC moyen.
b. Quel est l'IMC médian ? Interprète ce résultat.
c. Un magazine affirme : « On estime qu'au moins 5 % de la population mondiale est en surpoids ou obèse. » Est-ce le cas dans cette entreprise ?
🟢 Je suis prêt
Moyenne : Multiplie chaque IMC par son effectif, additionne le tout, puis divise par 41. Médiane : 41 données, la médiane est la 21e valeur (la série est déjà dans l'ordre croissant). Pourcentage : Compte les personnes avec IMC ≥ 25, puis fais un produit en croix par rapport à 41.
🟡 Je me souviens plus trop
a. Somme pondérée = $9\times20 + 12\times22 + 6\times23 + 8\times24 + 2\times25 + 29 + 30 + 2\times33 = 949$. Moyenne = $949 \div 41 \approx 23,146$, arrondie à l'entier : 23.
b. Effectif total impair (41). La médiane est la 21e valeur. En additionnant les effectifs cumulés : 9 (20) + 12 (22) = 21. La 21e valeur est 22. ➔ IMC médian = 22. Cela signifie qu'au moins la moitié des employés a un IMC ≤ 22 (et au moins la moitié un IMC ≥ 22).
c. Nombre d'employés en surpoids ou obèses (IMC ≥ 25) : effectifs de 25, 29, 30 et 33 = $2+1+1+2 = 6$. Pourcentage = $\frac{6}{41} \times 100 \approx 14,6$ %, ce qui est supérieur à 5 %. L'affirmation se vérifie donc ici.
Réponse : a) 23 ; b) Médiane = 22 ; c) Oui, environ 14,6 % > 5 % ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappels : Pour la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on somme, on divise par l'effectif total. La médiane partage la série en deux moitiés égales : avec 41 valeurs (impair), c'est la 21e. Pour le pourcentage : $\frac{\text{partie}}{\text{total}}\times 100$.
a. Calcul de la moyenne : $m = \frac{9\times20 + 12\times22 + 6\times23 + 8\times24 + 2\times25 + 29 + 30 + 2\times33}{41} = \frac{180+264+138+192+50+29+30+66}{41} = \frac{949}{41} \approx 23,146$. Arrondi à l'entier : 23.
b. Recherche de la médiane : Je range déjà les valeurs par ordre croissant (le tableau nous le donne). Effectifs cumulés : 9 pers. à 20 → até 9 ; +12 à 22 → até 21. La 21e valeur est donc 22. Interprétation : au moins 50 % des employés ont un IMC ≤ 22, et au moins 50 % un IMC ≥ 22.
c. Comparaison aux 5 % : Les IMC en surpoids ou obésité sont ceux ≥ 25 : c'est à dire 25, 29, 30 et 33. Leurs effectifs cumulés : $2+1+1+2 = 6$ employés. Pourcentage : $\frac{6}{41}\times 100 \approx 14,6\%$. Comme $14,6\% > 5\%$, l'affirmation du magazine est vraie pour cette entreprise.
Réponse : a) 23 ; b) Médiane = 22 ; c) Oui, car environ 14,6 % des employés sont en surpoids ou obèses. ✓
Exercice 7 — Confiture de fraises
7 pointsProportionnalité & % · Aires & volumesLéo a ramassé des fraises pour faire de la confiture.
- Il utilise les proportions de sa grand-mère : 700 g de sucre pour 1 kg de fraises. Il a ramassé 1,8 kg de fraises. De quelle quantité de sucre a-t-il besoin ?
- Après cuisson, Léo a obtenu 2,7 litres de confiture. Il verse la confiture dans des pots cylindriques de 6 cm de diamètre et de 12 cm de haut, qu’il remplit jusqu’à 1 cm du bord supérieur. Combien pourra-t-il remplir de pots ? Rappels : $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$, Volume d’un cylindre = $\pi \times R^2 \times h$.
- Il colle ensuite sur ses pots une étiquette rectangulaire de fond blanc qui recouvre toute la surface latérale du pot.
- Montrer que la longueur de l’étiquette est d’environ 18,8 cm.
- Dessiner l’étiquette à l’échelle $\frac{1}{3}$.
🟢 Je suis prêt
Pense à utiliser un tableau de proportionnalité ou à multiplier la quantité de fraises par la quantité de sucre pour 1 kg.
🟡 Je me souviens plus trop
On sait que pour 1 kg de fraises, il faut 700 g de sucre.
Pour 1,8 kg, on multiplie : $700 \times 1,8 = 1260$.
Donc il a besoin de 1260 g de sucre, soit 1,260 kg. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre. Ici, la masse de sucre est proportionnelle à la masse de fraises.
Pour 1 kg de fraises, il faut 700 g de sucre.
Pour 1,8 kg, on effectue le calcul : $700 \times 1,8 = 1260$.
Donc Léo a besoin de 1260 g de sucre, c'est-à-dire 1,260 kg. ✓
🟢 Je suis prêt
Calcule le volume d'un pot en faisant attention à la hauteur réelle de remplissage (12 cm - 1 cm). Convertis les litres en cm³, puis divise le volume total par le volume d'un pot.
🟡 Je me souviens plus trop
Volume d'un pot : rayon = 3 cm, hauteur remplie = 11 cm. $V = \pi \times 3^2 \times 11 = 99\pi$ cm³.
Volume total : $2,7 \text{ L} = 2700$ cm³.
Nombre de pots : $\frac{2700}{99\pi} \approx 8,7$.
Il pourra donc remplir 9 pots (8 entièrement et un 9e partiellement). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : volume d'un cylindre = $\pi \times R^2 \times h$. Attention, le pot n'est rempli que jusqu'à 1 cm du bord, donc la hauteur de confiture est $12 - 1 = 11$ cm. Le diamètre est 6 cm, donc le rayon $R = 3$ cm.
Volume d'un pot : $V = \pi \times 3^2 \times 11 = \pi \times 9 \times 11 = 99\pi$ cm³.
On a 2,7 L de confiture. Comme 1 L = 1000 cm³, $2,7 \text{ L} = 2,7 \times 1000 = 2700$ cm³.
Pour trouver le nombre de pots, on divise le volume total par le volume d'un pot : $\frac{2700}{99\pi} \approx 8,7$.
Cela signifie qu'on peut remplir 8 pots entièrement, et il restera de la confiture pour un 9e pot (qui ne sera pas plein). Donc Léo pourra remplir 9 pots. ✓
🟢 Je suis prêt
La longueur de l'étiquette correspond au périmètre de la base du cylindre. Utilise la formule du périmètre d'un cercle : $P = \pi \times \text{diamètre}$.
🟡 Je me souviens plus trop
Le diamètre du pot est 6 cm. Le périmètre de la base est $P = \pi \times 6 = 6\pi \approx 18,8$ cm.
Donc la longueur de l'étiquette est d'environ 18,8 cm. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : la surface latérale d'un cylindre est un rectangle dont la longueur est égale au périmètre de la base. Le périmètre d'un cercle se calcule avec $P = \pi \times D$ (ou $2\pi R$).
Ici, le diamètre du pot est 6 cm. Donc $P = \pi \times 6 = 6\pi$.
En prenant $\pi \approx 3,14$, on obtient $6 \times 3,14 = 18,84$ cm, soit environ 18,8 cm. Ainsi, la longueur de l'étiquette est bien d'environ 18,8 cm. ✓
🟢 Je suis prêt
Pour dessiner à l'échelle 1/3, divise chaque dimension réelle par 3. L'étiquette a pour dimensions 12 cm de hauteur et environ 18,8 cm de longueur.
🟡 Je me souviens plus trop
Dimensions réelles : hauteur = 12 cm, longueur ≈ 18,8 cm.
À l'échelle $\frac{1}{3}$ : hauteur = $\frac{12}{3} = 4$ cm, longueur = $\frac{18,8}{3} \approx 6,3$ cm.
Il faut donc tracer un rectangle de 4 cm sur environ 6,3 cm. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : une échelle $\frac{1}{3}$ signifie que 1 cm sur le dessin représente 3 cm en réalité. Pour obtenir les dimensions du dessin, on divise les dimensions réelles par 3.
L'étiquette réelle est un rectangle de hauteur 12 cm (la hauteur du pot) et de longueur environ 18,8 cm (périmètre de la base).
Hauteur sur le dessin : $12 \div 3 = 4$ cm.
Longueur sur le dessin : $18,8 \div 3 \approx 6,3$ cm.
Il faut donc dessiner un rectangle de 4 cm de haut sur environ 6,3 cm de long. ✓