Brevet 2024 — Maths, sujet complet corrigé

Une probabilité, c'est le nombre de cas qui nous intéressent ÷ le nombre total de cas possibles, quand toutes les issues ont la même chance (ici, c'est dit dans l'énoncé : « même probabilité »).

1) Compter les cas possibles : les numéros vont de 0 à 36. Quand on compte 0 compris, il y en a $36-0+1 = 37$ (le « +1 » parce qu'on compte le 0).

2) Le 7 est un seul de ces 37 numéros, et tous ont la même chance.

3) Donc $P(7)=\dfrac{1}{37}$. ✓

« À la fois noire et paire » : il faut les deux conditions en même temps. On part de la liste des cases noires et on ne garde que les paires (multiples de 2).

1) Cases noires (énoncé) : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35.

2) On barre les impaires (11, 13, 15, 17, 29, 31, 33, 35). Il reste les paires : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26, 28 → 10 cases.

3) Sur 37 cases au total : $P = \dfrac{10}{37}$. ✓

« Inférieur ou égal à 6 » ($\leq 6$) veut dire 6 compris. On liste tous ces numéros.

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. En comptant le 0, ça fait $6-0+1 = 7$ numéros.

2) Donc $P(\text{numéro} \leq 6) = \dfrac{7}{37}$. ✓

Un numéro est soit $\leq 6$, soit $\geq 7$ : ces deux cas sont contraires (l'un OU l'autre, jamais les deux). La règle : $P(\text{A}) + P(\text{contraire de A}) = 1$.

1) On connaît $P(\leq 6) = \dfrac{7}{37}$ (question précédente).

2) Donc $P(\geq 7) = 1 - \dfrac{7}{37}$. Pour soustraire, on écrit $1 = \dfrac{37}{37}$ : $\dfrac{37}{37}-\dfrac{7}{37}=\dfrac{30}{37}$. ✓

« 3 chances sur 4 » s'écrit $\dfrac34$. La question : a-t-on $\dfrac{30}{37} > \dfrac34$ ?

1) On passe en décimal : $\dfrac{30}{37} \approx 0{,}81$ et $\dfrac34 = 0{,}75$.

2) $0{,}81 > 0{,}75$, donc $\dfrac{30}{37} > \dfrac34$ : la probabilité dépasse 3 chances sur 4.

3) Le joueur a raison. ✓

Astuce sans calculette : $\dfrac34 = \dfrac{30}{40}$. Comme $40 > 37$, partager 30 en 40 donne moins que le partager en 37 : donc $\dfrac{30}{40} < \dfrac{30}{37}$.

Un programme de calcul est une suite d'instructions : on part d'un nombre et on applique chaque ligne l'une après l'autre, en gardant à chaque fois le résultat précédent.

1) « Carré » : $5^2 = 5\times 5 = 25$.

2) « Multiplier par 2 » : on multiplie le résultat actuel : $25\times 2 = 50$.

3) « Ajouter le double du nombre de départ » : le départ est 5 (pas 25 !), son double est $2\times 5 = 10$, donc $50+10 = 60$.

4) « Soustraire 4 » : $60-4 = 56$. On retrouve bien 56. ✓

Le programme B fabrique deux résultats puis les multiplie.

1) Résultat 1 $= (\text{nombre})+2$. Avec $-9$ : $-9+2 = -7$.

2) Résultat 2 $= (\text{nombre})-1$. Avec $-9$ : $-9-1 = -10$.

3) Produit $(-7)\times(-10)$. Règle des signes : « moins par moins donne plus », donc $7\times 10 = 70$.

Le programme B affiche 70. ✓

On remplace « nombre choisi » par $x$ dans chaque ligne de B :

• Résultat 1 $= x+2$ ; Résultat 2 $= x-1$.

• B affiche « Résultat 1 × Résultat 2 » $=(x+2)\times(x-1)$ → c'est $E_2$.

Pourquoi pas les autres ?

• $E_1=(x+2)-1$ est une soustraction, pas un produit. Faux.

• $E_3=x+2\times x-1$ : sans parenthèses, la priorité fait $2\times x$ d'abord → $x+2x-1=3x-1$, pas le produit voulu. Faux.

On remplace « le nombre choisi » par $x$ et on suit les consignes :

1) « Carré » : $x^2$.

2) « Multiplier par 2 » : $2\times x^2 = 2x^2$.

3) « Ajouter le double du départ » : le double de $x$ est $2x$, donc $2x^2+2x$.

4) « Soustraire 4 » : $2x^2+2x-4$.

Donc $A = 2x^2+2x-4$. ✓ (Vérif : $x=5$ donne $2\times25+10-4=56$, cohérent avec 1.a.)

On prouve une égalité vraie pour tous les nombres : on travaille avec la lettre $x$, pas avec un exemple.

1) Développer B (double distributivité, chaque terme du 1er facteur multiplie chaque terme du 2nd) : $$(x+2)(x-1)=x^2-x+2x-2=x^2+x-2.$$

2) Multiplier par 2 : $2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$.

3) Comparer à $A=2x^2+2x-4$ (2.b) : les deux expressions sont identiques.

Conclusion : pour n'importe quel nombre, $A = 2\times B$. ✓

Cette égalité $2x^2+2x-4=2(x^2+x-2)$ est une identité polynomiale, vérifiable formellement — d'où la garantie « zéro erreur de calcul ».

Le rayon relie le centre à un point du cercle ; le diamètre traverse le cercle en passant par le centre — il vaut donc deux rayons.

• Ici $R = 4{,}5$ cm, donc $AB = 2R = 2\times 4{,}5 = 9$ cm. ✓

Réciproque de Pythagore : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du plus grand côté).

1) On calcule la somme des carrés des deux petits côtés : $AD^2+DB^2 = 7{,}2^2+5{,}4^2 = 51{,}84+29{,}16 = 81$.

2) On calcule le carré du plus grand côté $[AB]$ : $AB^2 = 9^2 = 81$.

3) Les deux donnent 81 : $AD^2+DB^2 = AB^2$. D'après la réciproque de Pythagore, $ABD$ est rectangle en D (angle droit en face de $[AB]$, l'hypoténuse). ✓

Théorème de Thalès : deux droites sécantes en $A$, coupées par deux parallèles, donnent des longueurs proportionnelles.

1) Vérifier la configuration : $B,E,A$ alignés, $D,F,A$ alignés (les deux sécantes passent par $A$), et $(BD)\parallel(EF)$. ✔️

2) Écrire les rapports égaux : $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{EF}{BD}$. On garde les deux qui contiennent $AF$ : $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}$.

3) Remplacer : $\dfrac{2{,}7}{9}=\dfrac{AF}{7{,}2}$. Or $\dfrac{2{,}7}{9}=0{,}3$.

4) Donc $AF = 0{,}3\times 7{,}2 = 2{,}16$ cm. ✓

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur. Ici l'angle droit est en $D$ (question 2), donc les côtés sont $[DA]$ et $[DB]$.

1) Aire $=\dfrac{\text{côté}\times\text{côté}}{2}=\dfrac{BD\times AD}{2}=\dfrac{5{,}4\times 7{,}2}{2}$.

2) $\dfrac{7{,}2}{2}=3{,}6$, donc Aire $=5{,}4\times 3{,}6 = 19{,}44$ cm². ✓

L'aire d'un disque de rayon $R$ est $\pi\times R^2$ (le rappel est donné dans l'énoncé).

1) $R = 4{,}5$ cm, donc $R^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25$.

2) Aire $=\pi\times 20{,}25 \approx 63{,}617\ldots$ cm².

3) « Arrondi au centième » = 2 chiffres après la virgule : $63{,}62$ cm². ✓

« Quel pourcentage de B représente A » se calcule par $\dfrac{A}{B}\times 100$.

1) Ici $A$ = aire du triangle $=19{,}44$ et $B$ = aire du disque $\approx 63{,}62$.

2) $\dfrac{19{,}44}{63{,}62}\times 100 \approx 30{,}6$.

L'aire du triangle représente environ 30,6 % de l'aire du disque. ✓

L'image de $-4$ par $f$, notée $f(-4)$, s'obtient en remplaçant $x$ par $-4$.

1) $f(-4)=3\times(-4)-2$.

2) $3\times(-4)=-12$, puis $-12-2=-14$.

Donc l'image est $-14$ → Réponse A. ✓

« Au cube » = multiplier le nombre trois fois par lui-même.

1) $(-5)^3=(-5)\times(-5)\times(-5)$.

2) $(-5)\times(-5)=+25$ (moins par moins = plus).

3) $25\times(-5)=-125$ (plus par moins = moins).

Un nombre négatif à une puissance impaire reste négatif : $-125$ → Réponse A. ✓

Une translation fait glisser tous les points exactement de la même façon (même direction, même longueur : le « vecteur »).

1) On lit sur le quadrillage le déplacement de $C$ vers $A$ (par exemple « 2 cases à gauche, 3 cases vers le bas » — à lire sur la figure du sujet).

2) On applique le même déplacement au point $J$.

3) On arrive sur le point $E$. → Réponse B. ✓

Attention à ne pas confondre :

• Image de $a$ = la hauteur $f(a)$ (on part de l'axe horizontal).

• Antécédent de $b$ = le(s) $x$ tels que $f(x)=b$ (on part de l'axe vertical, à la hauteur $b$, et on lit l'abscisse).

1) Ici on cherche l'antécédent de 3 : on se place à la hauteur $y=3$ sur la courbe.

2) On lit l'abscisse du point correspondant : $x=0$.

Donc l'antécédent de 3 est $0$ → Réponse C. ✓

La médiane partage la série en deux moitiés : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. On commence toujours par ranger dans l'ordre.

1) Ranger : $1{,}46\,;\,1{,}6\,;\,1{,}65\,;\,1{,}67\,;\,1{,}7\,;\,1{,}72\,;\,1{,}75$.

2) Il y a 7 valeurs (nombre impair) : la médiane est celle du milieu, la 4ᵉ (3 avant, 3 après).

3) La 4ᵉ valeur est $1{,}67$. → Réponse B. ✓

Dans un triangle rectangle : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent à l'angle}}{\text{hypoténuse}}$ (moyen mnémotechnique « CAH »).

1) L'angle $\alpha$ est en $B$. L'hypoténuse est le côté face à l'angle droit (en $A$) : c'est $[BC]=5$.

2) Le côté adjacent à $\alpha$ (qui touche $B$ sans être l'hypoténuse) est $[AB]=4$.

3) $\cos\alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. → Réponse A. ✓

Des sachets « tous identiques » en utilisant tout : le nombre de sachets doit diviser à la fois 330 et 132 (sinon il reste des objets ou les sachets ne sont pas égaux).

1) Côté autocollants : $330\div 15 = 22$ → ok.

2) Côté drapeaux : $132\div 15 = 8{,}8$ → pas un nombre entier, donc impossible de mettre le même nombre entier de drapeaux dans 15 sachets.

3) Comme 15 ne divise pas 132, on ne peut pas faire 15 sachets. ✓

« Décomposer en facteurs premiers » = écrire le nombre comme un produit de nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…). On divise par le plus petit premier possible, encore et encore.

1) $330 = 2\times 165 = 2\times 3\times 55 = 2\times 3\times 5\times 11$.

2) $132 = 2\times 66 = 2\times 2\times 33 = 2\times 2\times 3\times 11 = 2^2\times 3\times 11$.

Donc $330 = 2\times3\times5\times11$ et $132 = 2^2\times3\times11$. ✓

Le plus grand nombre de sachets identiques utilisant tout, c'est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 330 et 132. On le lit en gardant les facteurs présents dans les deux décompositions.

1) $330 = 2\times3\times5\times11$ et $132 = 2^2\times3\times11$.

2) Communs aux deux : un facteur $2$, un facteur $3$, un facteur $11$ (le $5$ n'est que dans 330, le second $2$ que dans 132).

3) PGCD $= 2\times3\times11 = 66$. Elle pourra faire 66 sachets. ✓

On répartit également chaque type d'objet dans les 66 sachets : on divise par 66.

1) Autocollants : $330\div 66 = 5$ (car $330 = 66\times 5$).

2) Drapeaux : $132\div 66 = 2$ (car $132 = 66\times 2$).

Chaque sachet contient 5 autocollants et 2 drapeaux. ✓

Un pavé droit a pour volume $V = \text{longueur}\times\text{largeur}\times\text{hauteur}$ (résultat en m³).

1) $V = 25\times 15\times 2 = 750$ m³.

2) La piscine n'est remplie qu'aux $\frac{9}{10}$ : volume d'eau $=\dfrac{9}{10}\times 750 = 9\times 75 = 675$ m³.

3) Chaque m³ coûte $4{,}14$ € : prix $= 675\times 4{,}14 = 2\,794{,}50$ €. ✓