Brevet 2018 — Maths, sujet complet corrigé

Rappel : La latitude se lit sur les lignes horizontales ($0^\circ$ à l'équateur, jusqu'à $90^\circ$ N au nord, $90^\circ$ S au sud). La longitude se lit sur les lignes verticales ($0^\circ$ au méridien de Greenwich, jusqu'à $180^\circ$ E à l'est, $180^\circ$ W à l'ouest).

1. Sur la carte, observe les indications de latitude : Pyeongchang est entre $30^\circ$ N et $40^\circ$ N, plus proche de $30^\circ$ N, donc environ $35^\circ$ N.

2. Pour la longitude, elle est entre $120^\circ$ E et $140^\circ$ E, plus proche de $120^\circ$ E, donc environ $130^\circ$ E.

Réponse : Latitude $35^\circ$ N et longitude $130^\circ$ E. ✓

Rappel : Volume d'une boule de rayon $R$ : $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

1. Le diamètre de la boule est $23$ cm, donc son rayon $R = \frac{23}{2} = 11,5$ cm.

2. On remplace dans la formule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 11,5^3$.

3. Calcul de $11,5^3 = 11,5 \times 11,5 \times 11,5 = 1\,520,875$.

4. $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1\,520,875 = \frac{4 \times \pi \times 1\,520,875}{3}$.

5. En prenant $\pi \approx 3,14$ ou en utilisant la calculatrice, on trouve environ $6\,371$ cm$^3$.

Donc le volume de la boule est bien d'environ $6\,371$ cm$^3$. ✓

Rappel : Pour calculer un pourcentage, on fait $\frac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$.

1. Calcule le volume du cylindre (socle) : son diamètre est $6$ cm donc $r = 3$ cm, hauteur $h = 23$ cm. $V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 23 = \pi \times 9 \times 23 = 207\pi$.

2. Avec $\pi \approx 3,14$, $207\pi \approx 207 \times 3,14 = 649,98$, arrondi à $650$ cm$^3$.

3. Volume total du trophée = volume boule + volume cylindre = $6\,371 + 650 = 7\,021$ cm$^3$.

4. Pourcentage de la boule : $\frac{6\,371}{7\,021} \times 100$.

5. Calcul : $6\,371 \div 7\,021 \approx 0,9074$, puis $0,9074 \times 100 = 90,74\,\%$.

6. Environ $91\,\%$, ce qui est proche de $90\,\%$, donc Marie a raison.

Marie a raison. ✓

Rappel : La moyenne d’une série se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre total de valeurs.

Étape 1 : On calcule la somme des 10 concentrations à Grenoble : 32 + 39 + 52 + 57 + 78 + 63 + 60 + 82 + 82 + 89 = 634 µg/m³.

Étape 2 : On divise cette somme par 10 (le nombre de jours) : 634 ÷ 10 = 63,4 µg/m³. Ainsi, la concentration moyenne à Grenoble est 63,4 µg/m³.

Étape 3 : On compare avec la moyenne de Lyon, donnée dans le tableau : 72,5 µg/m³. Puisque 63,4 < 72,5, c’est la ville de Lyon qui a la concentration moyenne la plus élevée.

Lyon a eu la plus forte concentration moyenne. ✓

Rappel : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion des données.

Pour Grenoble : Dans le tableau, on repère la concentration la plus forte (89 µg/m³ le 25 janvier) et la plus faible (32 µg/m³ le 16 janvier). L’étendue est donc : 89 - 32 = 57 µg/m³.

Pour Lyon : Le résumé donne directement les valeurs extrêmes : minimale = 22 µg/m³, maximale = 107 µg/m³. L’étendue est donc : 107 - 22 = 85 µg/m³.

En comparant, 85 > 57, donc l’étendue la plus grande est celle de Lyon.

Interprétation : Une étendue plus grande signifie que les valeurs sont plus dispersées. Ainsi, à Lyon, les concentrations en PM10 varient beaucoup d’un jour à l’autre (certains jours très pollués, d’autres beaucoup moins), alors qu’à Grenoble, les valeurs sont plus proches les unes des autres (moins de variation). ✓

Rappel : La médiane est la valeur qui coupe la série ordonnée en deux parties de même effectif. Pour une série de 10 valeurs, la médiane est la moyenne entre la 5ᵉ et la 6ᵉ valeur. Elle indique que 50% des valeurs sont supérieures ou égales à cette médiane.

Donnée : La médiane des concentrations à Lyon est 83,5 µg/m³.

Analyse : Puisque la médiane vaut 83,5 µg/m³, au moins la moitié des 10 jours (soit au moins 5 jours) ont une concentration supérieure ou égale à 83,5 µg/m³. Or 83,5 > 80, donc ces jours-là, le seuil de 80 µg/m³ est forcément dépassé. Ainsi, le seuil d’alerte a bien été dépassé au moins 5 fois.

Conclusion : l’affirmation est exacte. ✓

Rappel : pour calculer une probabilité, on divise le nombre de cas favorables par le nombre total de cas.

Ici, il y a 125 morceaux de rap (cas favorables) sur 375 morceaux au total (cas possibles).

On écrit la fraction : $\frac{125}{375}$.

On simplifie : 125 et 375 sont tous les deux divisibles par 125. 125 ÷ 125 = 1, 375 ÷ 125 = 3.

Donc $\frac{125}{375} = \frac{1}{3}$.

La probabilité qu’il écoute du rap est $\frac{1}{3}$✓

Rappel : probabilité = nombre de morceaux de rock / nombre total de morceaux.

On note $x$ le nombre inconnu de morceaux de rock. On a donc $\frac{x}{375} = \frac{7}{15}$.

Pour trouver $x$, on fait un produit en croix : $x \times 15 = 7 \times 375$, donc $x = \frac{7 \times 375}{15}$.

On calcule : $7 \times 375 = 2625$, puis $2625 \div 15 = 175$.

Donc $x = 175$.

Théo a 175 morceaux de rock dans son lecteur✓

Rappel : un pourcentage est une fraction sur 100.

On convertit les $40\%$ d'Alice en fraction : $40\% = \frac{40}{100} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ (en simplifiant par 10).

La probabilité de Théo est $\frac{7}{15}$.

Pour comparer $\frac{2}{5}$ et $\frac{7}{15}$, on met au même dénominateur. $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$.

On compare : $\frac{6}{15}$ (Alice) et $\frac{7}{15}$ (Théo). $6 < 7$, donc $\frac{6}{15} < \frac{7}{15}$.

Théo a donc une probabilité plus grande d'écouter du rock✓

Rappel : Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Ici, le triangle $CBD$ est rectangle en $B$, donc l'hypoténuse est $CD$. On a $CD^2 = CB^2 + BD^2$.

On connaît $CD = 8,5$ cm et $CB = 7,5$ cm. On cherche $BD$. On isole $BD^2$ : $BD^2 = CD^2 - CB^2 = 8,5^2 - 7,5^2$.

Calcule chaque carré : $8,5^2 = 72,25$, $7,5^2 = 56,25$. Donc $BD^2 = 72,25 - 56,25 = 16$.

Enfin, $BD = \sqrt{16} = 4$ cm. La longueur $BD$ est bien $4$ cm. ✓

Deux triangles sont semblables si leurs côtés sont proportionnels. On associe les côtés dans l'ordre croissant ou selon la figure.

Pour $CBD$, les côtés sont $CB=7,5$ cm, $BD=4$ cm, $CD=8,5$ cm. Pour $BFE$, on a $BF=6$ cm, $FE=3,2$ cm, $BE=6,8$ cm.

On calcule les rapports en divisant chaque côté de $BFE$ par le côté correspondant de $CBD$ : $\frac{BF}{CB} = \frac{6}{7,5} = 0,8$ ; $\frac{FE}{BD} = \frac{3,2}{4} = 0,8$ ; $\frac{BE}{CD} = \frac{6,8}{8,5} = 0,8$.

Les trois rapports sont égaux à $0,8$, donc les longueurs sont proportionnelles. Ainsi, les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables. ✓

On veut savoir si l'angle $\widehat{BFE}$ est droit. On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle $BFE$.

On connaît les trois côtés : $BF = 6$ cm, $FE = 3,2$ cm, $BE = 6,8$ cm. On repère le plus grand côté, qui serait l'hypoténuse si le triangle est rectangle : c'est $BE = 6,8$ cm.

On calcule $BE^2 = 6,8^2 = 46,24$. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $BF^2 + FE^2 = 6^2 + 3,2^2 = 36 + 10,24 = 46,24$.

On constate que $BE^2 = BF^2 + FE^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BFE$ est rectangle en $F$. Donc l'angle $\widehat{BFE}$ mesure $90^\circ$. Sophie a raison. ✓

L'angle $\widehat{ACD}$ est composé de $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BCD}$. On sait que $\widehat{ACB} = 61^\circ$ (donné sur la figure). Il faut calculer $\widehat{BCD}$.

Dans le triangle $CBD$ rectangle en $B$, on connaît le côté adjacent à $\widehat{BCD}$ : $CB = 7,5$ cm, et l'hypoténuse $CD = 8,5$ cm. On utilise le cosinus : $\cos(\widehat{BCD}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{CB}{CD} = \frac{7,5}{8,5} = \frac{15}{17}$.

À la calculatrice, on trouve $\widehat{BCD} = \cos^{-1}\left(\frac{15}{17}\right) \approx 28^\circ$.

Donc $\widehat{ACD} = \widehat{ACB} + \widehat{BCD} \approx 61^\circ + 28^\circ = 89^\circ$. Comme $89^\circ \neq 90^\circ$, l'angle $\widehat{ACD}$ n'est pas droit. Max a tort. ✓

Le programme demande de : choisir un nombre, le multiplier par $4$, ajouter $8$, puis multiplier le tout par $2$.

Si on choisit le nombre $-1$, on commence par la multiplication : $(-1) \times 4 = -4$.

Ensuite, on ajoute $8$ au résultat : $-4 + 8 = 4$.

Enfin, on multiplie par $2$ : $4 \times 2 = 8$.

On obtient donc $8$ comme résultat final. ✓

Pour retrouver le nombre de départ quand on connaît le résultat, on peut utiliser l'expression du programme. Avec $x$ comme nombre de départ, le résultat est $2(4x+8)$.

On développe : $2(4x+8) = 2 \times 4x + 2 \times 8 = 8x + 16$.

On veut que ce résultat soit $30$, donc on écrit l'équation $8x + 16 = 30$.

On isole $x$ : d'abord on soustrait $16$ de chaque côté : $8x = 30 - 16 = 14$.

Puis on divise par $8$ : $x = \frac{14}{8} = 1,75$.

On vérifie : en appliquant le programme à $1,75$, on obtient $(1,75 \times 4 + 8) \times 2 = (7+8) \times 2 = 15 \times 2 = 30$. Le nombre cherché est donc $1,75$. ✓

Pour prouver que $A$ et $B$ sont égales, on va les écrire sous la même forme.

Tout d'abord, on développe et réduit $A$ : $A = 2(4x+8) = 2 \times 4x + 2 \times 8 = 8x + 16$.

Ensuite, on s'occupe de $B = (4+x)^2 - x^2$. On commence par développer $(4+x)^2$ en utilisant $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=4$ et $b=x$ : $(4+x)^2 = 4^2 + 2 \times 4 \times x + x^2 = 16 + 8x + x^2$.

On remplace dans $B$ : $B = 16 + 8x + x^2 - x^2$. Les $x^2$ s'annulent, il reste $B = 16 + 8x$.

On obtient $A = 8x+16$ et $B = 8x+16$. Les deux expressions sont identiques, donc elles sont égales pour n'importe quelle valeur de $x$.

L'égalité est prouvée. ✓

On cherche à savoir si le résultat du programme est toujours positif. Le résultat s'écrit $8x+16$.

Pour déterminer son signe, on résout l'inéquation $8x+16 > 0$.

On isole $x$ : on soustrait $16$ de chaque côté : $8x > -16$, puis on divise par $8$ (nombre positif, donc l'ordre ne change pas) : $x > -2$.

Ainsi, le résultat est positif lorsque $x$ est strictement supérieur à $-2$. Si $x$ est égal à $-2$, le résultat est $0$. Si $x$ est inférieur à $-2$, le résultat est négatif.

L'affirmation prétend que c'est positif pour toutes les valeurs de $x$, ce qui est faux. Un contre-exemple : avec $x=-3$, on obtient $8 \times (-3) + 16 = -24+16 = -8$, qui n'est pas positif.

L'affirmation 1 est donc fausse. ✓

L'expression du résultat est $2(4x+8) = 8x+16$.

On veut montrer que si $x$ est un entier, alors le résultat est un multiple de $8$. Pour cela, on factorise $8x+16$ par $8$.

On écrit $8x+16 = 8 \times x + 8 \times 2 = 8 \times (x + 2)$.

Le résultat est donc $8$ multiplié par $(x+2)$. Comme $x$ est un entier, $x+2$ est aussi un entier. Le résultat est donc un multiple de $8$.

L'affirmation est vraie. ✓

Rappel : En Scratch, l'orientation 90° signifie que le stylo se déplace vers la droite. Le bloc Carré répète 4 fois : avancer de Longueur puis tourner de 90° vers la droite. Le bloc Triangle répète 3 fois : avancer de Longueur puis tourner de 120° vers la gauche (cela donne un triangle équilatéral au-dessus du carré).

Programme jusqu'à la ligne 7 : on initialise Longueur à 300, puis on exécute Carré puis Triangle. Le carré se trace de (0,0) à (300,0) puis (300,−300), (0,−300) et retour à (0,0). Le triangle part de (0,0), trace un premier côté jusqu'à (300,0) (superposé au haut du carré), puis les deux autres côtés forment un triangle équilatéral au-dessus. L'échelle est 1 cm pour 50 pixels, donc 300 pixels = 6 cm. La figure attendue est un carré de côté 6 cm avec un triangle équilatéral de côté 6 cm sur un côté. (voir la figure du corrigé). ✓

Rappel : après l'exécution du Carré puis du Triangle (lignes 6 et 7), le stylo est de retour au point de départ (0,0) et son orientation est toujours 90° (vers la droite). La ligne 8 est « avancer de Longueur / 6 ». Avec Longueur = 300, cela donne un déplacement de $300 \div 6 = 50$ pixels. Le stylo se déplace donc de 50 unités vers la droite, ce qui l'amène au point de coordonnées (50 ; 0). ✓

Pour obtenir un axe de symétrie vertical, le petit carré intérieur doit être centré par rapport au grand carré. Le programme avance d'abord de 50 pixels (ligne 8), ce qui décale le départ vers la droite. Le petit carré commence donc à 50 pixels du bord gauche. Pour qu'il soit également à 50 pixels du bord droit, son côté doit mesurer $300 - 50 - 50 = 200$ pixels. Il faut donc attribuer à Longueur la valeur 200 avant de dessiner le petit carré (et le petit triangle). La ligne 9 complétée est : « mettre Longueur à 200 ». ✓

Le petit carré est obtenu à partir du grand carré par une réduction : chaque longueur est multipliée par un même coefficient $k$. Le coefficient $k$ est le rapport des côtés : $k = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}$. Cette transformation qui agrandit ou réduit une figure en conservant les angles est une homothétie. L'homothétie a pour rapport de réduction $\frac{2}{3}$. ✓

Dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, et les aires sont multipliées par $k^2$. Ici $k = \frac{2}{3}$, donc le rapport de l'aire du petit carré sur l'aire du grand carré est $k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. Le petit carré occupe environ 44 % de l'aire du grand carré. ✓

Pour qu'il y ait proportionnalité entre deux grandeurs, leur représentation graphique doit être une droite et cette droite doit passer par l'origine du repère, c'est-à-dire le point de coordonnées (0,0).

Ici, le graphique montre une droite qui commence à 20 tours par seconde au temps 0. Elle ne passe donc pas par l'origine. Même si c'est une droite, l'origine n'est pas sur la droite, donc il n'y a pas proportionnalité.

Réponse : non, le temps et la vitesse ne sont pas proportionnels car la droite ne passe pas par l'origine du repère.

L'axe horizontal représente le temps, l'axe vertical la vitesse. Au départ, c'est-à-dire au temps 0, on regarde l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 0. Le graphique indique que cette ordonnée est 20. Donc la vitesse initiale est de 20 tours par seconde.

Réponse : 20 tours/s.

D'abord, transformons le temps en secondes : 1 minute = 60 secondes, donc 1 min 20 s = 60 + 20 = 80 secondes. Ensuite, on repère 80 s sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit la valeur sur l'axe vertical. On trouve environ 3 tours par seconde.

Réponse : 3 tours/s.

Le hand-spinner s'arrête quand sa vitesse est égale à 0. Sur le graphique, cela correspond au point où la courbe rencontre l'axe des abscisses (l'axe horizontal). En lisant le temps à ce point, on trouve approximativement 93 secondes.

Réponse : au bout de 93 s environ.

La vitesse est donnée par la fonction $V(t) = -0,214t + 20$. Pour connaître la vitesse après 30 secondes, on remplace la variable $t$ par 30 dans l'expression.

On calcule : $V(30) = -0,214 \times 30 + 20$.

La multiplication est prioritaire : $-0,214 \times 30 = -6,42$.

Puis on additionne : $-6,42 + 20 = 13,58$.

Ainsi, au bout de 30 s, la vitesse est de 13,58 tours par seconde.

L'arrêt signifie que la vitesse est nulle : $V(t) = 0$. On résout l'équation $0 = -0,214t + 20$.

Étape 1 : on isole le terme en $t$. On ajoute $0,214t$ aux deux membres : $0 + 0,214t = -0,214t + 20 + 0,214t$, ce qui donne $0,214t = 20$.

Étape 2 : on divise chaque côté par $0,214$ pour obtenir $t$ : $t = \frac{20}{0,214}$.

On calcule : $20 \div 0,214 \approx 93,4579$, donc environ $93,46$ secondes.

Ainsi, le hand-spinner s'arrête au bout d'environ 93,46 s.

Cherchons une formule générale du temps d'arrêt $t_{\text{arrêt}}$ en fonction de la vitesse initiale $V_{\text{init}}$.

On résout $0 = -0,214t + V_{\text{init}}$ : $0,214t = V_{\text{init}}$ donc $t = \frac{V_{\text{init}}}{0,214}$.

Cette formule montre que $t$ et $V_{\text{init}}$ sont proportionnelles (coefficient $1/0,214$).

Ainsi, si on double la vitesse initiale, par exemple de 20 à 40 tours/s, le temps double aussi : $\frac{40}{0,214} = 2 \times \frac{20}{0,214}$.

Donc, oui, si on lance le hand-spinner deux fois plus vite, il tournera deux fois plus longtemps. Cela vient du fait que la relation entre la vitesse initiale et le temps d'arrêt est une proportionnalité.