Brevet 2019 — Maths, sujet complet corrigé

🔴 Rappel : décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c’est l’écrire comme une multiplication de nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…).

Pour 69 : c’est $3 \times 23$, car 69 ÷ 3 = 23 et 23 est premier. Donc $69 = 3 \times 23$.

Pour 1 150 : on peut commencer par $1\,150 = 115 \times 10$. Ensuite, $115 = 5 \times 23$ et $10 = 2 \times 5$. Donc $1\,150 = 2 \times 5 \times 5 \times 23$, ce qui s’écrit $2 \times 5^2 \times 23$.

Pour 4 140 : on peut d’abord écrire $4\,140 = 414 \times 10$. Puis $414 = 6 \times 69$, avec $6 = 2 \times 3$ et $69 = 3 \times 23$. Donc $414 = 2 \times 3 \times 3 \times 23$. Enfin, $10 = 2 \times 5$. En regroupant tous les facteurs : $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 23$, soit $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$.

Réponse : $69 = 3 \times 23$ ; $1\,150 = 2 \times 5^2 \times 23$ ; $4\,140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$. ✓

🔴 Le partage est équitable, donc chaque marin reçoit le même nombre de diamants, de perles et de pièces. Le nombre de marins doit donc diviser 69, 1 150 et 4 140. C’est un diviseur commun aux trois nombres.

On utilise les décompositions obtenues en question 1 : $69 = 3 \times 23$, $1\,150 = 2 \times 5^2 \times 23$ et $4\,140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$.

Le seul facteur premier présent dans les trois décompositions est 23 (et aucune puissance plus élevée de 23 n’apparaît). Le nombre de marins est donc 23.

Réponse : il y a 23 marins. ✓

Tout d'abord, identifie bien le triangle $ADM$ rectangle en $A$. On connaît l'angle $\widehat{ADM}=60°$, le côté adjacent à cet angle $AD=2$ m, et on cherche le côté opposé $AM$.

Le rapport trigonométrique qui fait intervenir le côté opposé et le côté adjacent est la tangente de l'angle :
$\tan(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

On écrit donc :
$\tan(\widehat{ADM}) = \dfrac{AM}{AD}$
$\tan(60°) = \dfrac{AM}{2}$.

Pour isoler $AM$, on multiplie les deux membres par $2$ :
$AM = 2 \times \tan(60°)$.

Or, $\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1{,}73205...$, donc :
$AM \approx 2 \times 1{,}732 \approx 3{,}464$.

En arrondissant au centième près, on obtient $3{,}46$ m.✓

La plaque est représentée par le segment $[AB]$. La partie non utilisée correspond au segment $[MB]$, car $[AM]$ est la partie découpée.

On commence par calculer $MB$ sachant que $AB = 4$ m et $AM \approx 3{,}46$ m :
$MB = AB - AM \approx 4 - 3{,}46 \approx 0{,}54$ m.

La proportion de plaque non utilisée est le rapport entre la longueur non utilisée et la longueur totale :
$\text{Proportion} = \dfrac{MB}{AB} \approx \dfrac{0{,}54}{4}$.

On effectue la division : $0{,}54 \div 4 = 0{,}135$.

Pour arrondir au centième près, on regarde le chiffre des millièmes (le troisième après la virgule). Ici, c'est $5$, donc on arrondit au-dessus : $0{,}14$.

La proportion non utilisée de la plaque est d'environ $0{,}14$ (soit $14\%$).✓

Pour démontrer que des triangles sont semblables, on peut utiliser la propriété : si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.

Triangle ADM :
Il est rectangle en $A$, donc $\widehat{DAM}=90°$.
On sait que $\widehat{ADM}=60°$.
La somme des angles d'un triangle étant $180°$, le troisième angle $\widehat{AMD}$ mesure $180° - (90° + 60°) = 30°$.

Triangle DPN :
Il est rectangle en $P$, donc $\widehat{DPN}=90°$.
En observant la figure ou d'après le découpage, l'angle $\widehat{PDN}$ vaut $30°$.
Ce triangle a donc un angle de $90°$ et un angle de $30°$, comme le triangle $ADM$. Ils sont donc semblables.

Triangle PNM :
Il est rectangle en $P$, donc $\widehat{MPN}=90°$.
Dans le triangle $PDN$, l'angle $\widehat{PND}$ vaut $60°$. Par complémentarité (ou angle alterne-interne), l'angle $\widehat{PNM}$ vaut $30°$, donc $\widehat{PMN} = 180° - (90° + 30°) = 60°$.
Ce triangle a donc un angle de $90°$ et un angle de $60°$, comme le triangle $ADM$. Ils sont donc semblables.

Ainsi, les trois triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ sont semblables.✓

Pour comparer des grandeurs dans des triangles semblables, on peut utiliser le coefficient d'agrandissement, qui est un rapport constant entre les longueurs correspondantes des deux triangles.

On choisit des longueurs qu'on connaît, par exemple les hypoténuses des deux triangles rectangles :

Étape 1 : calcul de l'hypoténuse $DM$ du triangle $ADM$
Dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$, on connaît $AD=2$ m (adjacent à $60°$) et on cherche l'hypoténuse $DM$. On utilise le cosinus :
$\cos(\widehat{ADM}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\cos(60°) = \dfrac{AD}{DM} = \dfrac{2}{DM}$.

On sait que $\cos(60°) = 0{,5}$. Donc $0{,5} = \dfrac{2}{DM}$.
En multipliant en croix : $DM = \dfrac{2}{0{,5}} = 4$ m.

Étape 2 : hypoténuse du triangle $PDN$
Dans la figure, $DN$ a la même longueur que $AM$, soit environ $3{,}46$ m.

Étape 3 : calcul du coefficient d'agrandissement
Le coefficient pour passer de $PDN$ à $AMD$ est :
$k = \dfrac{\text{longueur dans } AMD}{\text{longueur correspondante dans } PDN}$.
En prenant les hypoténuses : $k = \dfrac{DM}{DN} \approx \dfrac{4}{3{,}46}$.

On effectue l'opération : $4 \div 3{,}46 \approx 1{,}15606...$

Le coefficient vaut environ $1{,}16$, ce qui est bien inférieur à $1{,}5$.
Donc oui, le coefficient est plus petit que $1{,}5$.✓

Rappel : volume d'un cylindre = aire de la base $\times$ hauteur, et aire d'un disque de rayon $r$ = $\pi r^2$.

1. Le cylindre $C_2$ a un diamètre de $1,5$ cm, donc son rayon est $r = \frac{1,5}{2} = 0,75$ cm.

2. L'aire de la base est $B = \pi \times r^2 = \pi \times (0,75)^2 = \pi \times 0,5625$.

3. La hauteur est $h=4,2$ cm, donc le volume du cylindre $C_2$ est $V_{C2} = B \times h = \pi \times 0,5625 \times 4,2$.

4. Le sable remplit les deux tiers de $C_2$, donc $V_{\text{sable}} = \frac{2}{3} \times V_{C2} = \frac{2}{3} \times \pi \times 0,5625 \times 4,2$.

5. Calcul approché : $0,5625 \times 4,2 = 2,3625$ ; multiplié par $\pi \approx 3,1416$ donne $\approx 7,422$ ; multiplié par $\frac{2}{3} \approx 4,948$, arrondi à $4,95$.

✓ Le volume de sable est environ $4,95$ cm$^3$.

Rappel : quand un débit est constant, $\text{temps} = \dfrac{\text{volume}}{\text{débit}}$.

1. On prend le volume de sable trouvé à la question précédente : $V \approx 4,95$ cm$^3$.

2. Le débit est $d = 1,98$ cm$^3$/min (volume écoulé par minute).

3. On calcule le temps en minutes : $t = \dfrac{4,95}{1,98}$.

4. On pose la division : $4,95 \div 1,98 = \dfrac{495}{198} = \dfrac{5}{2} = 2,5$ (car $198 \times 2,5 = 495$). Donc $t = 2,5$ min.

5. Conversion en minutes et secondes : $0,5$ min $= 0,5 \times 60 = 30$ s. Donc $2,5$ min $= 2$ min $30$ s.

✓ Le sable mettra $2$ minutes $30$ secondes pour s'écouler.

Rappel : pour trouver l'effectif total d'une série, on additionne tous les effectifs partiels.

Voici les effectifs donnés : $1, 1, 2, 6, 3, 7, 6, 3, 1, 2, 3, 2, 3$.

On les additionne pas à pas :

$1+1=2$, $2+2=4$, $4+6=10$, $10+3=13$, $13+7=20$, $20+6=26$, $26+3=29$, $29+1=30$, $30+2=32$, $32+3=35$, $35+2=37$, $37+3=40$.

✓ Il y a eu $40$ tests au total.

Rappel :

Étendue = valeur maximale - valeur minimale.

Médiane : si l'effectif total $N$ est pair, la médiane est la moyenne des $\frac{N}{2}^{\text{e}}$ et $(\frac{N}{2}+1)^{\text{e}}$ valeurs ordonnées.

Moyenne = somme de toutes les valeurs / effectif total.

1. Étendue : le plus grand temps est $2$ min $38$ s, le plus petit est $2$ min $22$ s. En secondes : $2$ min $38$ s $= 2\times 60 + 38 = 158$ s, $2$ min $22$ s $= 2\times 60 + 22 = 142$ s. Étendue $= 158 - 142 = 16$ s. On a bien $16 < 20$, donc première condition vérifiée.

2. Médiane : il y a $40$ valeurs. On les range par ordre croissant. La médiane est la moyenne de la $20^{\text{e}}$ et de la $21^{\text{e}}$ valeur. Cumulons les effectifs : $1$ (22 s) $\rightarrow 2$ (24 s) $\rightarrow 4$ (26 s) $\rightarrow 10$ (27 s) $\rightarrow 13$ (28 s) $\rightarrow 20$ (29 s). Le $20^{\text{e}}$ temps est donc $2$ min $29$ s. Le suivant (le $21^{\text{e}}$) est le premier de la classe suivante : $2$ min $30$ s. La médiane vaut donc la moyenne de ces deux temps : en secondes, $149$ s et $150$ s, moyenne $= 149,5$ s $= 2$ min $29,5$ s. Ce temps est bien compris entre $2$ min $29$ s et $2$ min $31$ s. Deuxième condition vérifiée.

3. Moyenne : comme tous les temps commencent par $2$ min, on peut calculer la moyenne des secondes uniquement puis ajouter $2$ min. On multiplie chaque nombre de secondes par son effectif :

$1\times 22 = 22$
$1\times 24 = 24$
$2\times 26 = 52$
$6\times 27 = 162$
$3\times 28 = 84$
$7\times 29 = 203$
$6\times 30 = 180$
$3\times 31 = 93$
$1\times 32 = 32$
$2\times 33 = 66$
$3\times 34 = 102$
$2\times 35 = 70$
$3\times 38 = 114$

Somme des secondes $= 1204$.

Moyenne des secondes $= 1204 \div 40 = 30,1$ s.

Le temps moyen est donc $2$ min $+ 30,1$ s $= 2$ min $30,1$ s, qui est bien entre $2$ min $28$ s et $2$ min $32$ s. Troisième condition vérifiée.

Les trois conditions sont vérifiées.

✓ Le sablier testé ne sera pas éliminé.

Rappel : 1 cm correspond à 2 pixels, donc 5 pixels = 2,5 cm. Le script Carré fait répéter 4 fois : « avancer de 5, tourner de 90 degrés, avancer de 5 ». Cela trace deux demi-côtés par répétition, formant un côté complet de 10 pixels (5 cm).

Après la répétition, on a donc dessiné un carré de 5 cm de côté. Le stylo termine en position basse à gauche (point de départ du dessin).

Ensuite, le stylo se relève, s’oriente à 90°, avance de 10 (soit 5 cm) et se remet en écriture. Le point d’arrivée est donc décalé de 5 cm vers la droite par rapport au point de départ.

Sur ton dessin, trace un carré de 5 cm, marque la position de départ en bas à gauche et la position d’arrivée 5 cm plus à droite.

Lis les scripts :

Script 1 : « répéter 23 fois (Carré ; Tiret) » → il trace 23 fois un carré suivi d’un tiret. La suite obtenue est parfaitement régulière : carré, tiret, carré, tiret...

Script 2 : « répéter 46 fois (si aléatoire = 1 alors Carré sinon Tiret) » → l’ordre des carrés et tirets est aléatoire.

Le dessin B est régulier : il correspond au script 1. Le dessin A est irrégulier : il correspond au script 2.

Probabilité = $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.

Le nombre aléatoire est entre 1 et 2 (inclus). Cas possibles : 1 et 2 (2 cas).

Carré est tracé si nombre = 1 (1 cas favorable).

Probabilité = $\frac{1}{2} = 0,5$.

Pour deux tirages indépendants, probabilité = proba 1er × proba 2e.

Ici, $P(\text{1er carré}) = 0,5$ et $P(\text{2e carré}) = 0,5$.

Donc $P(\text{deux carrés}) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$.

Autre méthode : 4 issues équiprobables : CC, CT, TC, TT. Une seule favorable, CC. Probabilité = $\frac{1}{4} = 0,25$.

Le but est de choisir aléatoirement la couleur avant chaque tracé. On crée :

si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1 alors mettre la couleur du stylo à rouge sinon mettre la couleur du stylo à noir.

On insère cette instruction dans la boucle « répéter 46 fois » du script 2, avant le bloc conditionnel qui choisit entre Carré et Tiret (par exemple juste après « stylo en position d’écriture » si c’est le script complet, ou au début de la boucle).

Une translation est un glissement qui conserve les longueurs et les angles. Ici, on translate le rectangle ④ selon le vecteur $\overrightarrow{CE}$ : le point $C$ va en $E$, le point $D$ va en $F$, etc. Le rectangle ④ vient exactement se superposer au rectangle ③.

Réponse : Le rectangle ③ est l’image du rectangle ④ par la translation qui transforme $C$ en $E$. ✓

Une rotation de centre $F$ et d’angle $90°$ dans le sens horaire fait pivoter une figure autour de $F$. Le rectangle ①, situé en haut à gauche, tourne pour venir occuper la position du rectangle ③ en bas à gauche (selon la figure).

Réponse : Le rectangle ③ est l’image du rectangle ① par la rotation de centre $F$ et d’angle $90°$ dans le sens des aiguilles d’une montre. ✓

Une homothétie de centre un point et de rapport $k>0$ multiplie toutes les distances par $k$. Ici, $k=3$. Plusieurs réponses sont possibles selon le petit rectangle choisi et le sommet correspondant du grand rectangle. Par exemple, le rectangle ② a pour sommet $D$ (ou un point proche). En prenant $D$ comme centre, le rectangle ② est agrandi d’un facteur $3$ pour couvrir tout $ABCD$. Autre possibilité : rectangle ③ avec centre $B$, ou rectangle ④ avec centre $C$.

Une réponse acceptée : Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle ② par l’homothétie de centre $D$ et de rapport $3$. ✓

D’après la question 1c, le grand rectangle $ABCD$ est l’image d’un petit rectangle par une homothétie de rapport $3$. Cela signifie que les dimensions du grand rectangle sont $3$ fois celles d’un petit rectangle. Donc un petit rectangle est une réduction du grand de rapport $\frac{1}{3}$.

Règle : quand on réduit une figure par un rapport $k$, son aire est multipliée par $k^2$.

Ici $k = \frac{1}{3}$, donc le coefficient multiplicateur pour l’aire est $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Aire d’un petit rectangle $= 1{,}215 \times \frac{1}{9} = \frac{1{,}215}{9} = 0{,}135$ m².

Réponse : $0{,}135$ m². ✓

On note $\ell$ la largeur et $L$ la longueur du rectangle $ABCD$.

Le ratio longueur:largeur $= 3:2$ signifie que $L$ est proportionnel à $3$ et $\ell$ à $2$. On a donc $\frac{L}{3} = \frac{\ell}{2}$, ce qui donne $2L = 3\ell$, soit $L = \frac{3}{2}\ell = 1{,}5\ell$.

L’aire du rectangle est $L \times \ell = 1{,}215$ m². En remplaçant $L$ par $1{,}5\ell$, on obtient $1{,}5\ell \times \ell = 1{,}215$, c’est-à-dire $1{,}5\ell^2 = 1{,}215$.

On divise par $1{,}5$ : $\ell^2 = \frac{1{,}215}{1{,}5} = 0{,}81$.

Comme $\ell$ est une longueur positive, $\ell = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ m.

Ensuite, $L = 1{,}5 \times 0{,}9 = 1{,}35$ m.

Réponse : la largeur est $0{,}9$ m et la longueur $1{,}35$ m. ✓

Rappel : un programme de calcul s'exécute étape par étape en partant du nombre choisi.

Programme 1 : on choisit $5$. On multiplie par $3$ : $5 \times 3 = 15$. On ajoute $1$ : $15 + 1 = 16$. Le résultat est $16$.

Programme 2 : on choisit $5$. On soustrait $1$ : $5 - 1 = 4$. On ajoute $2$ : $5 + 2 = 7$. On multiplie les deux résultats : $4 \times 7 = 28$. Le résultat est $28$.

On retrouve bien $16$ et $28$. ✓

Rappel : pour exprimer un programme en fonction de $x$, on écrit les étapes avec $x$ comme nombre de départ.

Programme 1 : nombre $x$ → multiplier par $3$ → $3x$ → ajouter $1$ → $3x+1$.

L'expression de $A$ est donc $A(x)=3x+1$. ✓

On cherche le nombre $x$ tel que le programme 1 donne $0$, c'est-à-dire $A(x)=0$. Or $A(x)=3x+1$. L'équation est $3x+1=0$.

Étape 1 : on isole l'inconnue. On soustrait $1$ des deux côtés : $3x = -1$.

Étape 2 : on divise par le coefficient de $x$ : $x = -\dfrac{1}{3}$.

Donc en choisissant $-\dfrac{1}{3}$ au départ, le programme 1 donne $0$. ✓

Rappel de la formule : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. Ici, on a $(x-1)(x+2)$, donc $a=x$, $b=-1$, $c=x$, $d=2$.

On calcule chaque produit :

$ac = x \times x = x^2$

$ad = x \times 2 = 2x$

$bc = (-1) \times x = -x$

$bd = (-1) \times 2 = -2$

On obtient $x^2 + 2x - x - 2$. On réduit : $2x - x = x$, donc $x^2 + x - 2$.

L'expression développée et réduite est $B(x)=x^2+x-2$. ✓

On remplace $B(x)$ et $A(x)$ :

$B(x)-A(x) = (x^2+x-2)-(3x+1)$. Attention au signe « moins » : on retire les parenthèses en changeant les signes du deuxième groupe : $x^2+x-2-3x-1$.

On regroupe les termes en $x$ : $x-3x = -2x$, et les constantes : $-2-1 = -3$. Donc $B(x)-A(x)=x^2-2x-3$.

On développe $(x+1)(x-3)$ par double distributivité : $x \times x - 3x + x - 3 = x^2 -3x + x -3 = x^2-2x-3$.

Les deux expressions sont identiques, donc $B(x)-A(x) = (x+1)(x-3)$. ✓

On cherche les nombres $x$ tels que les deux programmes donnent le même résultat, donc $B(x)=A(x)$. Cela revient à $B(x)-A(x)=0$.

D'après la question 4.a, $B(x)-A(x) = (x+1)(x-3)$. L'équation devient $(x+1)(x-3)=0$.

Rappel : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc $x+1=0$ ou $x-3=0$.

On résout : $x+1=0$ donne $x=-1$ ; $x-3=0$ donne $x=3$.

Vérification (non demandée) : pour $x=-1$, programme 1 : $-1 \times 3 + 1 = -2$, programme 2 : $(-1-1)(-1+2) = (-2)(1) = -2$. Pour $x=3$, programme 1 : $3 \times 3 + 1 = 10$, programme 2 : $(3-1)(3+2) = 2 \times 5 = 10$. Les deux programmes donnent bien le même résultat pour $-1$ et $3$. ✓