Brevet 2021 — Maths, sujet complet corrigé
Exercice 1 — Statistiques et pourcentages
20 pointsStatistiques / médiane · Programmes de calcul · Proportionnalité & %Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019.
| Mois | J | F | M | A | M | J | J | A | S | O | N | D | Moyenne annuelle |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Température en °C | 4,4 | 7,8 | 9,6 | 11,2 | 13,4 | 19,4 | 22,6 | 20,5 | 17,9 | 14,4 | 8,2 | 7,8 |
D'après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Cherche dans le tableau la colonne qui correspond au mois de novembre (noté N). La valeur cherchée est dans la ligne du dessous, en °C.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Dans le tableau, la colonne du mois de novembre est l'avant-dernière. La température correspondante se lit directement.
La température moyenne en novembre 2019 était de $8,2$ °C. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 On te demande de lire une valeur dans un tableau.
1. Repère la colonne indiquant le mois de novembre (lettre N).
2. Descends dans cette colonne pour trouver la température enregistrée.
La température moyenne à Tours en novembre 2019 fut de $8,2$ °C. ✓
Déterminer l'étendue de cette série.
🟢 Je suis prêt
🟢 L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Regarde bien toutes les températures dans le tableau.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 L'étendue se calcule ainsi : valeur maximale - valeur minimale.
La température la plus élevée est $22,6$ °C, la plus basse est $4,4$ °C.
$22,6 - 4,4 = 18,2$.
L'étendue de cette série est de $18,2$ °C. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 L'étendue d'une série statistique mesure sa dispersion : c'est l'écart entre la valeur maximale et la valeur minimale.
1. Identifie la température la plus chaude : c'est en juillet avec $22,6$ °C.
2. Identifie la température la plus froide : c'est en janvier avec $4,4$ °C.
3. Effectue la soustraction : $22,6 - 4,4 = 18,2$.
L'étendue est donc de $18,2$ °C. ✓
Quelle formule doit-on saisir en cellule N2 pour calculer la température moyenne annuelle ?
🟢 Je suis prêt
Dans un tableur, une moyenne se calcule avec la fonction MOYENNE, à laquelle tu indiques la plage de cellules à moyenner. Repère dans quelles colonnes se trouvent les 12 mois.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Il faut utiliser la fonction MOYENNE qui s'écrit =MOYENNE(plage de cellules).
Les températures sont dans les cellules B2 à M2.
Une formule possible est : =MOYENNE(B2:M2). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Pour trouver une moyenne avec un tableur, on utilise la fonction MOYENNE.
1. Repère les cellules qui contiennent les valeurs : ce sont les cellules B2, C2, ..., jusqu'à M2.
2. Écris « = » pour commencer une formule.
3. Tape MOYENNE( suivi de la première et de la dernière cellule séparées par deux-points : B2:M2.
La formule est donc =MOYENNE(B2:M2). ✓
Vérifier que la température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
🟢 Je suis prêt
🟢 Pour vérifier une moyenne, tu additionnes toutes les valeurs, puis tu divises par le nombre total de valeurs (ici 12 mois).
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Somme des températures : $4,4 + 7,8 + 9,6 + 11,2 + 13,4 + 19,4 + 22,6 + 20,5 + 17,9 + 14,4 + 8,2 + 7,8 = 157,2$.
Divisons par 12 : $157,2 \div 12 = 13,1$.
La température moyenne annuelle est bien de $13,1$ °C. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Pour calculer une moyenne, on suit deux étapes :
1. On additionne toutes les valeurs des 12 mois : $4,4 + 7,8 + 9,6 + 11,2 + 13,4 + 19,4 + 22,6 + 20,5 + 17,9 + 14,4 + 8,2 + 7,8 = 157,2$.
2. On divise cette somme par l'effectif total (le nombre de mois, soit 12) : $157,2 \div 12 = 13,1$.
On retrouve bien une moyenne annuelle de $13,1$ °C. ✓
La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de $11,9$ °C. Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l'unité, est-il de : $7$ % ; $10$ % ou $13$ % ? Justifier la réponse.
🟢 Je suis prêt
🟢 Pour trouver un pourcentage d'augmentation, calcule d'abord la différence entre la nouvelle et l'ancienne valeur, puis divise cette différence par l'ancienne valeur. Enfin, multiplie par 100.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Différence de température : $13,1 - 11,9 = 1,2$.
Pourcentage : $\dfrac{1,2}{11,9} \approx 0,101$.
En multipliant par 100, on obtient environ $10,1$ %, donc $10$ % arrondi à l'unité.
Le pourcentage d'augmentation est de $10$ %. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Pour calculer un pourcentage d'augmentation, voici la méthode :
1. Calcule l'augmentation absolue : nouvelle valeur - ancienne valeur = $13,1 - 11,9 = 1,2$ °C.
2. Divise cette augmentation par la valeur initiale (celle de 2009) : $\dfrac{1,2}{11,9}$.
3. Effectue le calcul : $\dfrac{1,2}{11,9} \approx 0,1008$.
4. Convertis en pourcentage en multipliant par $100$ : $0,1008 \times 100 \approx 10,08$ %.
En arrondissant à l'unité, on obtient $10$ %. C'est bien une des trois propositions. ✓
Exercice 2 — Fréquentation, arithmétique et hauteur (Thalès)
20 pointsPGCD / facteurs premiers · Thalès · Proportionnalité & %Un professeur étudie avec sa classe quelques données sur le Futuroscope. Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
En 2019, le parc a accueilli environ 1,9 million de visiteurs.
Pour la dernière question, Marie et Adrien cherchent la hauteur de la Gyrotour. Ils tracent un schéma où les points A, E, B sont alignés ainsi que A, D et C, avec (DE) parallèle à (BC). On donne : AD = 2 m ; DC = 54,25 m ; DE = 1,60 m (taille de Marie).
Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Indice. Pense à convertir 1,9 million en écriture décimale pour bien comparer avec 2 millions.
🟡 Je me souviens plus trop
1. 1,9 million = 1 900 000.
2. Calcule la différence : 2 000 000 − 1 900 000.
Il aurait fallu 100 000 visiteurs de plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
1. Tu dois d'abord écrire les deux quantités sous la même forme. 1,9 million, c'est 1 900 000. 2 millions, c'est 2 000 000.
2. Ensuite, tu soustrais les visiteurs de 2019 à l'objectif de 2 millions :
$2 000 000 - 1 900 000 = 100 000$.
Il aurait fallu 100 000 visiteurs de plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs.✓
L’affirmation « Il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
🟢 Je suis prêt
🟢 Indice. Pense que 2019 n'est pas une année bissextile. Combien cela fait-il de jours ?
🟡 Je me souviens plus trop
1. En 2019 (année non bissextile), il y a 365 jours.
2. Calcule la moyenne journalière : $1 900 000 \div 365 \approx 5 205,48$.
Cela donne environ 5 200 visiteurs par jour, donc l’affirmation est vraie.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
1. L’année 2019 est une année non bissextile, elle compte donc 365 jours.
2. Pour vérifier l’affirmation, on calcule le nombre moyen de visiteurs par jour :
$\text{Moyenne} = \dfrac{1 900 000}{365}$.
3. On effectue la division : $1 900 000 \div 365 \approx 5 205$.
En arrondissant à la centaine près, on obtient bien environ 5 200 visiteurs par jour. L’affirmation est donc vraie.✓
Un professeur répartit 126 garçons et 90 filles. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90.
🟢 Je suis prêt
🟢 Indice. Commence par diviser 126 par 2, puis par 3, jusqu'à ne plus pouvoir.
🟡 Je me souviens plus trop
1. Pour 126 : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
2. Pour 90 : $90 = 2 \times 45 = 2 \times 9 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$.
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
Décomposer en produit de facteurs premiers, c'est écrire le nombre comme une multiplication de nombres premiers (2, 3, 5, 7…).
Pour 126 :
$126 \div 2 = 63$, puis $63 = 3 \times 21$ et $21 = 3 \times 7$.
Donc $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Pour 90 :
$90 \div 2 = 45$, puis $45 = 3 \times 15$ et $15 = 3 \times 5$.
Donc $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$.
Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90.
🟢 Je suis prêt
Un diviseur commun se construit uniquement avec les facteurs premiers présents dans les deux décompositions (celles de la question précédente). Repère ceux qui sont communs.
🟡 Je me souviens plus trop
Les facteurs communs sont $2$ et $3^2$. Les diviseurs communs s'obtiennent en combinant ces facteurs : $1$, $2$, $3$, $2 \times 3 = 6$, $3^2 = 9$, $2 \times 3^2 = 18$. Il y en a six.
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
1. On reprend les décompositions :
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
2. Les facteurs communs aux deux nombres sont $2$ et $3^2$.
3. Pour obtenir tous les diviseurs communs, on prend toutes les combinaisons possibles de ces facteurs :
- $1$ (aucun facteur) ;
- $2$ ;
- $3$ ;
- $2 \times 3 = 6$ ;
- $3^2 = 9$ ;
- $2 \times 3^2 = 18$.
Les six diviseurs communs à 126 et 90 sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
🟢 Je suis prêt
🟢 Indice. Cherche le plus grand diviseur commun de 126 et 90 parmi ceux trouvés à la question précédente.
🟡 Je me souviens plus trop
Le plus grand diviseur commun est 18. Le professeur pourra constituer au maximum 18 groupes.
Chaque groupe contiendra : $126 \div 18 = 7$ garçons et $90 \div 18 = 5$ filles.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
1. Le plus grand nombre de groupes possibles est le plus grand diviseur commun à 126 et 90, c'est-à-dire 18.
2. Chaque groupe étant identique, on divise le nombre de garçons et de filles par 18.
3. Nombre de garçons par groupe : $126 \div 18 = 7$.
4. Nombre de filles par groupe : $90 \div 18 = 5$.
Le professeur peut constituer 18 groupes composés chacun de 7 garçons et 5 filles.✓
(Voir la figure du sujet). Marie et Adrien mesurent la hauteur de la Gyrotour grâce à son ombre et celle de Marie. On suppose (DE) et (BC) parallèles. Calculer BC.
🟢 Je suis prêt
🟢 Indice. Les points A, D, C sont alignés, tout comme A, E, B. Avec deux droites parallèles (DE) et (BC), pense à appliquer le théorème de Thalès.
🟡 Je me souviens plus trop
1. Dans le triangle ABC, D est sur (AC) et E sur (AB). On a (DE)//(BC).
2. Thalès donne : $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$, donc $\dfrac{2}{56,25} = \dfrac{1,60}{BC}$.
3. Produit en croix : $BC = \dfrac{1,60 \times 56,25}{2} = 45$ m.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Explication complète.
1. La situation montre deux triangles emboîtés avec des droites parallèles : on peut utiliser le théorème de Thalès.
2. On a A, D, C alignés et A, E, B alignés. De plus, (DE) // (BC). Donc, d'après Thalès : $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$.
3. On connaît AD = 2 m et DC = 54,25 m, donc AC = AD + DC = 56,25 m. On connaît DE = 1,60 m (taille de Marie).
4. On remplace dans l'égalité : $\dfrac{2}{56,25} = \dfrac{1,60}{BC}$.
5. Pour trouver BC, on fait un produit en croix : $BC = \dfrac{1,60 \times 56,25}{2}$.
6. Calcul : $1,60 \times 56,25 = 90$, puis $90 \div 2 = 45$.
La hauteur BC de la Gyrotour est de 45 mètres.✓
Exercice 3 — Probabilités et transformations
20 pointsProbabilités · Transformations du plan · HomothétiesPartie A : Probabilités
Une urne contient 7 jetons verts, 4 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard.
Partie B : Transformations
On considère la figure ci-dessous (voir la figure du sujet), composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20. On sait que :
- $\widehat{AOB} = 36°$
- Le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
À quel événement correspond une probabilité de $\frac{7}{16}$ ?
- A : Obtenir un jeton de couleur rouge ou jaune.
- B : Obtenir un jeton qui n'est pas vert.
- C : Obtenir un jeton vert.
🟢 Je suis prêt
Compte le nombre total de jetons dans l'urne. La fraction $\frac{7}{16}$ représente le nombre de jetons d'une certaine couleur par rapport au total. Cherche la couleur qui apparaît 7 fois.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Calcule le nombre total de jetons : $7 + 4 + 3 + 2 = 16$.
Étape 2 : La probabilité $\frac{7}{16}$ signifie qu'il y a 7 issues favorables sur 16 possibles.
Étape 3 : Quelle couleur est présente 7 fois ? Il y a 7 jetons verts. Donc $\frac{7}{16}$ est la probabilité d'obtenir un jeton vert.
Réponse : C ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : La probabilité d'un événement est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.
Étape 1 : Détermine le nombre total de jetons. On a 7 verts, 4 rouges, 3 bleus et 2 jaunes. Total = $7+4+3+2=16$. Il y a donc 16 issues possibles.
Étape 2 : La probabilité donnée est $\frac{7}{16}$. Le dénominateur 16 correspond bien au total. Le numérateur 7 correspond au nombre de jetons d'une certaine couleur.
Étape 3 : On cherche l'événement qui a 7 issues favorables. On lit l'énoncé : il y a 7 jetons verts. Donc l'événement "obtenir un jeton vert" a une probabilité de $\frac{7}{16}$.
Étape 4 : Vérifions les autres propositions : la réponse A (rouge ou jaune) aurait $4+2=6$ issues, soit $\frac{6}{16}$ ; la réponse B (pas vert) aurait $16-7=9$ issues, soit $\frac{9}{16}$. Aucune ne correspond.
Réponse : C ✓
Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu ?
- A : $\frac{13}{16}$
- B : $\frac{3}{16}$
- C : $\frac{3}{4}$
🟢 Je suis prêt
Calcule d'abord la probabilité de tirer un jeton bleu. Ensuite, souviens-toi que la probabilité de l'événement contraire vaut $1$ moins cette probabilité.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Calcule la probabilité de tirer un jeton bleu. Il y a 3 jetons bleus sur 16 au total. Donc $P(\text{bleu}) = \frac{3}{16}$.
Étape 2 : L'événement "ne pas tirer un jeton bleu" est le contraire de "tirer un jeton bleu".
Étape 3 : La probabilité de l'événement contraire est $1 - P(\text{bleu}) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16}{16} - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.
Réponse : A ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : La probabilité d'un événement contraire $\overline{A}$ est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Étape 1 : On cherche la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu. On note B l'événement "tirer un jeton bleu".
Étape 2 : Calcule $P(B)$. Il y a 3 jetons bleus et 16 jetons au total, donc $P(B) = \frac{3}{16}$.
Étape 3 : L'événement "ne pas tirer un jeton bleu" est $\overline{B}$. Sa probabilité est $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.
Étape 4 : On vérifie parmi les réponses : A correspond à $\frac{13}{16}$.
Réponse : A ✓
Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe la droite (d) ? (voir figure)
- A : Le motif 17
- B : Le motif 15
- C : Le motif 12
🟢 Je suis prêt
Imagine que la droite (d) est un miroir. Le symétrique d'un point se trouve de l'autre côté de l'axe, à la même distance. Repère le motif 20 sur la figure et cherche son reflet par rapport à (d).
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Sur la figure, repère le motif 20. Il est situé sur le cercle extérieur, en bas à droite (selon la disposition).
Étape 2 : Trace mentalement la droite perpendiculaire à (d) passant par le motif 20. Le symétrique se trouve de l'autre côté de (d), à la même distance.
Étape 3 : En observant la symétrie circulaire, le motif 17 est l'image du motif 20 par cette symétrie.
Réponse : A ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : La symétrie axiale d'axe (d) transforme un point M en un point M' tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM']. M et M' sont symétriques l'un de l'autre par rapport à (d).
Étape 1 : Identifie la droite (d) sur la figure. Elle passe par le centre O et partage la figure en deux.
Étape 2 : Repère le motif 20. Il se trouve à une certaine position angulaire. Cherche le motif qui lui est symétrique : il doit être à l'opposé par rapport à (d).
Étape 3 : En comptant les positions, on constate que le motif 17 est exactement le reflet du motif 20. Les autres propositions (15 et 12) ne correspondent pas à cette symétrie.
Réponse : A ✓
Par quelle rotation le motif 3 est-il l'image du motif 1 ?
- A : Une rotation de centre O, d'angle 36°.
- B : Une rotation de centre O, d'angle 72°.
- C : Une rotation de centre O, d'angle 90°.
🟢 Je suis prêt
Observe la position des motifs 1 et 3 autour du point O. Compte combien d'intervalles les séparent. Chaque intervalle entre deux motifs voisins correspond à un angle de 36° (car $\widehat{AOB}=36°$ avec A et B situés sur les motifs 1 et 2).
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Les motifs 1 à 10 sont sur un même cercle, régulièrement espacés. L'angle entre le motif 1 et le motif 2 est $\widehat{AOB}=36°$, donc l'angle entre deux motifs consécutifs est 36°.
Étape 2 : Pour aller du motif 1 au motif 3, on passe par le motif 2. Cela fait deux intervalles.
Étape 3 : L'angle de rotation est donc $2 \times 36° = 72°$.
Réponse : B ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Une rotation est définie par un centre et un angle. L'image d'un point par rotation se trouve sur le cercle de centre O passant par ce point, à la distance angulaire donnée.
Étape 1 : Sur la figure, les motifs 1 à 10 sont placés sur le cercle intérieur. On nous donne $\widehat{AOB}=36°$ où A et B sont vraisemblablement les points correspondant aux motifs 1 et 2. Donc l'angle au centre entre deux motifs voisins du cercle intérieur est 36°.
Étape 2 : Le motif 3 est situé deux crans après le motif 1 (1 → 2 → 3). La rotation qui envoie le motif 1 sur le motif 3 a donc un angle de $2 \times 36° = 72°$.
Étape 3 : Vérification : 36° correspondrait à envoyer le motif 1 sur le motif 2, et 90° ne correspond pas à un multiple de 36°.
Réponse : B ✓
L'aire du motif 11 est-elle égale :
- A : au double de l'aire du motif 1 ?
- B : à 4 fois l'aire du motif 1 ?
- C : à la moitié de l'aire du motif 1 ?
🟢 Je suis prêt
L'homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$. Comment l'aire est-elle modifiée ? Rappelle-toi que si les dimensions sont multipliées par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Le motif 11 est l'image du motif 1 par une homothétie de centre O et de rapport $k = 2$.
Étape 2 : Dans une homothétie de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $k$. Ici, les dimensions du motif 11 sont donc doublées par rapport au motif 1.
Étape 3 : L'aire d'une figure est proportionnelle au carré du facteur d'agrandissement des longueurs. Ainsi, l'aire est multipliée par $k^2 = 2^2 = 4$.
Étape 4 : Donc l'aire du motif 11 est égale à 4 fois l'aire du motif 1.
Réponse : B ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Lors d'une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$, et les volumes par $k^3$.
Étape 1 : On sait que le motif 11 est l'image du motif 1 par une homothétie de centre O et de rapport 2. Donc $k=2$.
Étape 2 : Les longueurs du motif 11 sont donc deux fois plus grandes que celles du motif 1.
Étape 3 : L'aire étant une mesure à deux dimensions, elle est multipliée par $k^2$. On calcule $k^2 = 2^2 = 4$.
Étape 4 : Par conséquent, l'aire du motif 11 est égale à 4 fois l'aire du motif 1. La réponse "au double" correspondrait à une multiplication des longueurs par $\sqrt{2}$, et "à la moitié" serait pour une réduction.
Réponse : B ✓
Exercice 4 — Programme de calcul et équation produit nul
20 pointsProgrammes de calcul · Calcul littéral · ÉquationsVoici un programme de calcul :
- Choisir un nombre.
- Prendre le carré du nombre de départ.
- Ajouter le triple du nombre de départ.
- Soustraire 10 au résultat.
Vérifier que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 18.
🟢 Je suis prêt
Applique le programme étape par étape en partant de 4 : calcule son carré, puis ajoute le triple de 4, et enfin soustrais 10.
🟡 Je me souviens plus trop
On remplace le nombre de départ par 4.
Carré : $4^2 = 16$
Triple : $3 \times 4 = 12$
On ajoute : $16 + 12 = 28$
On soustrait 10 : $28 - 10 = 18$
Le résultat est bien 18. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On suit le programme de calcul avec le nombre 4 :
Étape 1 : On prend le carré de 4. Cela signifie $4 \times 4$, ce qui donne $4^2 = 16$.
Étape 2 : On ajoute le triple de 4. Le triple, c'est $3 \times 4 = 12$. Donc on calcule $16 + 12 = 28$.
Étape 3 : On soustrait 10 au résultat précédent. On fait $28 - 10 = 18$.
On obtient bien 18. ✓
Appliquer ce programme de calcul au nombre −3.
🟢 Je suis prêt
Reprends les étapes avec -3. Attention : le carré d'un négatif est positif, et multiplier -3 par 3 donne un négatif.
🟡 Je me souviens plus trop
On part de -3.
Carré : $(-3)^2 = 9$
Triple : $3 \times (-3) = -9$
Ajout : $9 + (-9) = 0$
Soustraction : $0 - 10 = -10$
Le résultat est -10. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On applique le programme à -3, étape par étape :
Carré du nombre : $(-3)^2$. Rappel : un nombre négatif élevé au carré devient positif, car $(-3)\times(-3)=9$. Donc $(-3)^2 = 9$.
Triple du nombre : $3 \times (-3) = -9$.
On ajoute ce triple : $9 + (-9)$. Ajouter un négatif revient à soustraire : $9 - 9 = 0$.
On soustrait 10 : $0 - 10 = -10$.
Le résultat final est -10. ✓
Compléter les lignes 5 et 6 du script Scratch pour qu'il corresponde au programme de calcul. (voir la figure du sujet représentant les blocs Scratch)
🟢 Je suis prêt
Regarde quelles variables sont déjà calculées et ce que le programme doit afficher à la fin : déduis-en l'opération manquante à chaque ligne.
🟡 Je me souviens plus trop
Ligne 4 : $y = x * x$ (le carré).
Ligne 5 : mettre $z$ à $y + 3 * x$ (ajouter le triple).
Ligne 6 : mettre Résultat à $z - 10$ (soustraire 10).
Le script est complet. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On analyse ce que fait le programme en Scratch :
La variable $x$ contient le nombre choisi.
La variable $y$ contient le carré, calculé par $x * x$ (ligne 4).
Pour la ligne 5, on doit ajouter le triple du nombre de départ. Le triple de $x$ est $3 \times x$, ou $3*x$ en Scratch. On l'ajoute à $y$. Donc : mettre z à y + 3*x.
Pour la ligne 6, le programme dit qu'il faut soustraire 10 au résultat. Le résultat après l'étape 5 est stocké dans $z$. Donc on fait : mettre Résultat à z - 10.
Ainsi, les lignes à compléter sont bien $y + 3 * x$ et $z - 10$. ✓
On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
🟢 Je suis prêt
Écris la formule générale en suivant les étapes : carré de $x$ → ajouter $3x$ → soustraire 10.
🟡 Je me souviens plus trop
On part de $x$.
Carré : $x^2$
Ajout du triple : $x^2 + 3x$
Soustraction : $x^2 + 3x - 10$
Le résultat final est $x^2 + 3x - 10$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour exprimer le résultat en fonction de $x$, on reprend chaque étape du programme avec la lettre $x$ au lieu d'un nombre :
Le nombre de départ s'appelle $x$.
Carré du nombre : c'est $x$ multiplié par lui-même, donc $x^2$.
Triple du nombre : c'est $3 \times x$, donc $3x$.
On ajoute ce triple au carré : $x^2 + 3x$.
On soustrait 10 au résultat : $(x^2 + 3x) - 10$, soit $x^2 + 3x - 10$.
Le résultat final en fonction de $x$ est donc $x^2 + 3x - 10$. ✓
Vérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme $(x + 5)(x − 2)$.
🟢 Je suis prêt
Pour vérifier, développe $(x + 5)(x - 2)$ en utilisant la double distributivité. Tu dois retrouver l'expression de la question précédente.
🟡 Je me souviens plus trop
On développe :
$(x+5)(x-2) = x \times x + x \times (-2) + 5 \times x + 5 \times (-2)$
$= x^2 - 2x + 5x - 10$
$= x^2 + 3x - 10$
C'est la même expression. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On veut vérifier que l'expression $x^2 + 3x - 10$ trouvée est bien égale à $(x + 5)(x - 2)$.
Pour cela, on développe $(x + 5)(x - 2)$ avec la règle de la double distributivité : $(a+b)(c+d) = a\times c + a\times d + b\times c + b\times d$.
Avec $a=x$, $b=5$, $c=x$, $d=-2$, on obtient :
$x \times x = x^2$
$x \times (-2) = -2x$
$5 \times x = 5x$
$5 \times (-2) = -10$
En additionnant tout : $x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$.
On retombe bien sur notre résultat. L'égalité est vérifiée. ✓
Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre 0 à l'arrivée ?
🟢 Je suis prêt
Tu dois résoudre $(x+5)(x-2)=0$. C'est une équation produit nul : un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
🟡 Je me souviens plus trop
On résout $(x+5)(x-2) = 0$.
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul.
Donc $x+5 = 0$ ou $x-2 = 0$.
$x = -5$ ou $x = 2$.
Les nombres à choisir sont -5 ou 2. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour obtenir 0 à la fin du programme, le résultat final doit être nul. Ce résultat est donné par l'expression factorisée : $(x+5)(x-2)$. On doit donc résoudre l'équation $(x+5)(x-2) = 0$.
Règle importante : Un produit de facteurs est égal à zéro si et seulement si au moins un des facteurs est égal à zéro.
Ici, les deux facteurs sont $(x+5)$ et $(x-2)$. On a donc deux possibilités :
1) $x + 5 = 0$ → en enlevant 5 de chaque côté, on trouve $x = -5$.
2) $x - 2 = 0$ → en ajoutant 2 de chaque côté, on trouve $x = 2$.
Ces deux valeurs de $x$ annulent le produit, donc le résultat final est bien 0.
Pour obtenir 0, il faut choisir -5 ou 2 au départ. ✓
Exercice 5 — Diminution des déchets et composteur
20 pointsProportionnalité & % · Pythagore & réciproqueEn 2007, la production annuelle de déchets par Français était de 5,2 tonnes par habitant. Entre 2007 et 2017, elle a diminué de 6,5 %.
1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à 2007 ?
2. Pour continuer à diminuer leurs déchets, des familles utilisent un composteur. Une famille a choisi le modèle ci-dessous, composé d'un pavé droit et d'un prisme droit. Le descriptif annonce une contenance d'environ 0,5 m³. On cherche à vérifier cette information.
(Voir la figure du sujet). Le composteur a la forme d'un prisme droit de profondeur 70 cm. Sa face avant est constituée :
- d'un trapèze rectangle $ABCD$ de bases $AD = 39$ cm (petite base) et $BC = 67$ cm (grande base), avec un côté oblique $CD = 53$ cm, et de hauteur $DH$ (à calculer) ;
- d'un rectangle accolé de longueur $1,1~\text{m} - DH$ et de largeur $67$ cm.
Ainsi, $C$, $H$, $B$ sont alignés sur la grande base, et $H$ est le pied de la hauteur issue de $D$. Les angles en $A$, $B$ et $H$ sont droits.
a. Dans le trapèze $ABCD$, calculer la longueur $CH$.
b. Montrer que la longueur $DH$ est égale à $45$ cm.
c. Vérifier que l’aire du trapèze $ABCD$ est de $2\,385$ cm$^2$.
d. Calculer le volume du composteur. L’affirmation « il a une contenance d’environ $0,5$ m$^3$ » est-elle vraie ? Justifier.
Rappels : Aire du trapèze = (Petit côté + Grand côté) × Hauteur / 2 ; Volume du prisme droit = Aire de la base × hauteur ; Volume du pavé droit = Longueur × largeur × hauteur.
🟢 Je suis prêt
Tu dois prendre $6,5\%$ de la valeur de départ $5,2$ tonnes. Un pourcentage se calcule en multipliant par $\frac{\text{pourcentage}}{100}$.
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule $6,5\%$ de $5,2$ t : $\frac{6,5}{100} \times 5,2 = 0,065 \times 5,2$.
Effectue la multiplication : $0,065 \times 5,2 = 0,338$.
La production a diminué de 0,338 tonne (soit 338 kg).✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour calculer la diminution, on applique le pourcentage de baisse à la valeur initiale.
On écrit $6,5\%$ sous forme décimale : $\frac{6,5}{100}=0,065$.
On multiplie ce coefficient par la valeur de 2007 : $0,065 \times 5,2$.
Calculons : $0,065 \times 5,2 = 0,338$.
La production annuelle de déchets par Français a diminué de 0,338 tonne (soit 338 kg).✓
🟢 Je suis prêt
Observe que $C$, $H$ et $B$ sont alignés sur la grande base $[CB]$ du trapèze. La petite base $AD$ mesure 39 cm et, par parallélisme, le segment $[HB]$ a la même longueur.
🟡 Je me souviens plus trop
On sait que $CB = 67$ cm et $HB = 39$ cm car $AD = 39$ cm et $ADHB$ est un rectangle (angles droits en $A$ et $H$).
Ainsi, $CH = CB - HB = 67 - 39 = 28$ cm.
La longueur $CH$ est de 28 cm.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le trapèze $ABCD$ est rectangle en $A$ et $B$. $C$, $H$, $B$ sont alignés sur la grande base $[CB]$. Comme $AD$ est parallèle à $CB$ et que $AH$ est perpendiculaire à $CB$, le quadrilatère $ADHB$ est un rectangle, donc $HB = AD = 39$ cm.
On a $CB = 67$ cm (grande base).
Donc $CH = CB - HB = 67 - 39 = 28$ cm.
La longueur $CH$ est de 28 cm.✓
🟢 Je suis prêt
Applique le théorème de Pythagore dans le triangle $CHD$ rectangle en $H$. Tu connais $CD$ (donné dans la figure) et $CH$ (calculé).
🟡 Je me souviens plus trop
Dans le triangle $CHD$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore : $CD^2 = CH^2 + DH^2$.
On sait $CD = 53$ cm et $CH = 28$ cm. Donc $53^2 = 28^2 + DH^2$, soit $2809 = 784 + DH^2$.
Ainsi $DH^2 = 2809 - 784 = 2025$, donc $DH = \sqrt{2025} = 45$ cm.
La longueur $DH$ est bien de 45 cm.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le triangle $CHD$ est rectangle en $H$ car $DH$ est la hauteur issue de $D$.
D'après le théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse $CD$ est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit $CH$ et $DH$. On écrit : $CD^2 = CH^2 + DH^2$.
On remplace : $CD = 53$ cm (donné), $CH = 28$ cm (calculé) : $53^2 = 28^2 + DH^2$, c'est-à-dire $2809 = 784 + DH^2$.
On isole $DH^2$ : $DH^2 = 2809 - 784 = 2025$.
On prend la racine carrée : $DH = \sqrt{2025} = 45$ cm (valeur positive).
On a bien $DH = 45$ cm.✓
🟢 Je suis prêt
Utilise la formule rappelée : $\frac{(\text{petite base} + \text{grande base}) \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, petite base $=39$ cm, grande base $=67$ cm, hauteur $=DH=45$ cm.
🟡 Je me souviens plus trop
Formule : $\mathscr{A} = \frac{(b + B) \times h}{2}$ avec $b = 39$ cm, $B = 67$ cm, $h = 45$ cm.
Calcul : $\mathscr{A} = \frac{(39 + 67) \times 45}{2} = \frac{106 \times 45}{2} = \frac{4770}{2} = 2385$ cm$^2$.
L'aire du trapèze est bien de 2 385 cm$^2$.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On applique la formule de l'aire du trapèze : $\frac{\text{(petite base + grande base)} \times \text{hauteur}}{2}$.
Les bases sont $AD = 39$ cm et $BC = 67$ cm. La hauteur est $DH = 45$ cm (calculée).
Calcul : $\frac{(39 + 67) \times 45}{2} = \frac{106 \times 45}{2}$.
On effectue : $106 \times 45 = 106 \times 40 + 106 \times 5 = 4240 + 530 = 4770$, puis $\frac{4770}{2} = 2385$.
L'aire du trapèze $ABCD$ est exactement 2 385 cm$^2$.✓
🟢 Je suis prêt
Calcule d'abord l'aire de la base complète (trapèze + rectangle) en utilisant les données de la figure. Convertis les cm en m. Puis multiplie par la profondeur (hauteur du prisme).
🟡 Je me souviens plus trop
Aire du trapèze : $0,2385$ m$^2$ (d'après c).
Aire du rectangle (pavé droit) : longueur $= 1,1 - 0,45 = 0,65$ m, largeur $= 0,67$ m, donc $0,65 \times 0,67 = 0,4355$ m$^2$.
Aire totale de la base : $0,2385 + 0,4355 = 0,674$ m$^2$.
Volume : $V = \text{aire base} \times \text{profondeur} = 0,674 \times 0,7 = 0,4718$ m$^3$.
Le volume est $0,4718$ m$^3$, proche de $0,5$ m$^3$. L'affirmation est vraie.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour calculer le volume du composteur, on peut le considérer comme un prisme droit de profondeur $70$ cm $= 0,7$ m, dont la base est une figure plane composée du trapèze $ABCD$ et d'un rectangle accolé (le pavé droit).
Convertissons les aires en m$^2$. L'aire du trapèze est $2 385$ cm$^2 = 0,2385$ m$^2$.
Le rectangle a pour dimensions : longueur $= 1,1 - 0,45 = 0,65$ m (car la hauteur totale est $1,1$ m et $DH = 0,45$ m) et largeur $= 0,67$ m. Son aire est $0,65 \times 0,67 = 0,4355$ m$^2$.
Aire totale de la base : $0,2385 + 0,4355 = 0,674$ m$^2$.
Volume du composteur : $V = \text{aire base} \times \text{profondeur} = 0,674 \times 0,7 = 0,4718$ m$^3$.
Le volume obtenu est $0,4718$ m$^3$, ce qui est proche de $0,5$ m$^3$. L'affirmation « contenance d'environ $0,5$ m$^3$ » est donc vraie.✓