Brevet 2022 — Maths, sujet complet corrigé
Exercice 1 — Thalès et Pythagore
20 pointsThalès · Pythagore & réciproque · Proportionnalité & %Une famille se promène au bord d’une rivière. Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière. Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous (voir la figure du sujet).
Les points $C$, $E$ et $D$ sont alignés, ainsi que $A$, $E$ et $B$. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droite $(AB)$.
Données :
- $AE = 20$ pas
- $EB = 5$ pas
- $BD = 1$ pas
Pour les questions suivantes, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.
🟢 Je suis prêt
Regarde les angles formés par les droites $(AC)$ et $(BD)$ avec la droite $(AB)$. Que peux-tu dire de deux droites perpendiculaires à une même droite ?
🟡 Je me souviens plus trop
1. On sait que $(AC) \perp (AB)$ et $(BD) \perp (AB)$.
2. Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
3. Conclusion : $(AC) \parallel (BD)$.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Une droite perpendiculaire forme un angle droit. Si deux droites sont toutes les deux perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Ici, $(AC)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(BD)$ est perpendiculaire à $(AB)$. Donc $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles. Ainsi, $(AC) \parallel (BD)$.
✓🟢 Je suis prêt
Pense à utiliser le théorème de Thalès dans les triangles formés par les alignements. Identifie les deux droites parallèles et les points alignés pour écrire les rapports égaux.
🟡 Je me souviens plus trop
Les points $A, E, B$ et $C, E, D$ sont alignés. On a $(AC) \parallel (BD)$. D’après Thalès : $\frac{EC}{ED} = \frac{EA}{EB} = \frac{AC}{BD}$. On connaît $EA = 20$ pas, $EB = 5$ pas et $BD = 1$ pas. Donc $\frac{20}{5} = \frac{AC}{1}$. Ainsi $AC = \frac{20}{5} = 4$ pas.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel du théorème de Thalès : si des droites sont parallèles, les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles. Ici, les triangles $ACE$ et $BDE$ sont en configuration de Thalès avec les points alignés $A, E, B$ et $C, E, D$ et les parallèles $(AC)$ et $(BD)$. Voici les égalités : $\frac{EA}{EB} = \frac{EC}{ED} = \frac{AC}{BD}$. Remplaçons par les valeurs : $EA = 20$ pas, $EB = 5$ pas, $BD = 1$ pas. Donc $\frac{20}{5} = \frac{AC}{1}$. $20/5 = 4$, donc $AC = 4$ pas. La largeur de la rivière est de 4 pas.
✓🟢 Je suis prêt
Convertis d'abord les distances en mètres en utilisant le fait qu'un pas mesure $0,65$ m. Ensuite, quel théorème peux-tu appliquer dans le triangle rectangle $ACE$ ?
🟡 Je me souviens plus trop
On a $AC = 4$ pas = $4 \times 0,65 = 2,6$ m. $AE = 20$ pas = $20 \times 0,65 = 13$ m. Le triangle $ACE$ est rectangle en $A$. D'après Pythagore : $CE^2 = AC^2 + AE^2 = 2,6^2 + 13^2 = 6,76 + 169 = 175,76$. Donc $CE = \sqrt{175,76} \approx 13,257$ m. Arrondi au décimètre près : $13,3$ m.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : un pas vaut 65 cm = 0,65 m. On commence par convertir les longueurs : $AC = 4$ pas = $4 \times 0,65 = 2,6$ m ; $AE = 20$ pas = $20 \times 0,65 = 13$ m. Le triangle $ACE$ est rectangle en $A$ car $(AC) \perp (AB)$ et $E$ est sur $(AB)$. On applique le théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse $CE$ est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. $CE^2 = AC^2 + AE^2 = 2,6^2 + 13^2$. Calculons : $2,6^2 = 6,76$, $13^2 = 169$, somme $175,76$. Donc $CE = \sqrt{175,76} \approx 13,257$ mètres. Arrondir au décimètre signifie garder un chiffre après la virgule : le premier chiffre après la virgule est 2, le suivant est 5, donc on arrondit à 13,3 m. Ainsi, $CE \approx 13{,}3$ m.
✓🟢 Je suis prêt
La vitesse moyenne se calcule en divisant la distance parcourue par le temps mis. Utilise la distance $CE$ trouvée à la question précédente.
🟡 Je me souviens plus trop
Le bâton parcourt environ $13,3$ m en $5$ secondes. Vitesse $v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{13,3}{5} = 2,66$ m/s.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Formule : $\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}$. Distance parcourue $= CE \approx 13,3$ m (question 3). Temps $= 5$ secondes. Donc $v = \frac{13,3}{5}$. Calcul : $13,3 \div 5 = 2,66$. La vitesse est de $2,66$ m/s.
✓🟢 Je suis prêt
Souviens-toi qu'une heure contient $3600$ secondes et un kilomètre contient $1000$ mètres. Convertis la vitesse de m/s en km/h.
🟡 Je me souviens plus trop
On convertit $2,66$ m/s en km/h. $2,66$ m/s = $2,66 \times 3600$ m/h = $9576$ m/h = $9,576$ km/h. Comme $9,576 < 10$, c'est vrai.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour passer de m/s à km/h, on multiplie par $3,6$ (car $1$ m/s = $\frac{1}{1000}$ km en $1/3600$ h, donc $\times 3,6$). Ici, $2,66 \times 3,6 = 9,576$ km/h. Autre méthode : $2,66$ m/s = $2,66 \times 3600$ m/h = $9576$ m/h, puis $9576$ m/h $= 9,576$ km/h car $1$ km = $1000$ m. Comme $9,576$ km/h est bien inférieur à $10$ km/h, l'affirmation est vraie.
✓Exercice 2 — QCM
20 pointsTransformations du plan · traitement_donnees · Fonctions linéaires/affines · HomothétiesCet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopie sur ta copie le numéro de la question et la réponse.
On considère les deux figures suivantes (voir la figure du sujet). Par quelle transformation la figure 2 est-elle l'image de la figure 1 ?
Réponse A : une translation
Réponse B : une homothétie
Réponse C : une symétrie axiale
🟢 Je suis prêt
Observe les segments qui relient un point de la figure 1 à son image dans la figure 2, par exemple $A$ et $A'$. Si $ABBA'$ et $AA'EE'$ sont des quadrilatères particuliers, quelle transformation reconnais-tu ?
🟡 Je me souviens plus trop
Regarde les couples de points: $A$ et $A'$, $B$ et $B'$, $E$ et $E'$.
Trace mentalement les segments $[AA']$, $[BB']$ et $[EE']$. Tous ces segments sont parallèles et de même longueur.
La réponse est une translation (réponse A). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Un petit rappel: la translation fait glisser une figure le long d'un segment fléché sans la tourner ni la déformer.
Dans l'énoncé, les quadrilatères $BB'A'A$ et $AA'E'E$ sont des parallélogrammes. Cela signifie que tous les points de la figure 1 ont été déplacés de la même manière (même direction, même sens, même longueur).
C'est la définition d'une translation.
La réponse correcte est la réponse A : une translation. ✓
On considère la représentation graphique de la fonction $g$ ci-dessous (voir la figure du sujet).
Quel est l'antécédent de 2 par la fonction $g$ ?
Réponse A : 2
Réponse B : 1
Réponse C : 4
🟢 Je suis prêt
Par lecture graphique, cherche l'ordonnée $2$ sur l'axe vertical, puis déplace-toi horizontalement jusqu'à croiser la courbe de $g$. L'abscisse correspondante est l'antécédent.
🟡 Je me souviens plus trop
Sur le graphique, repère le point de la courbe qui a pour ordonnée $2$.
Descend verticalement jusqu'à l'axe des abscisses: tu lis la valeur $1$.
L'antécédent de $2$ par $g$ est $1$ (réponse B). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour trouver un antécédent graphiquement, il faut faire le chemin inverse de l'image.
1. Place-toi sur l'axe des ordonnées à la valeur $2$.
2. Trace mentalement une droite horizontale jusqu'à rencontrer la courbe.
3. De ce point d'intersection, descends verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
Tu arrives à $x=1$. Vérification: $g(1)=2$ dans le tableau ou la courbe de l'énoncé.
L'antécédent est donc $1$ (réponse B). ✓
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x^2-7$. Quelle affirmation est correcte ?
Réponse A : 29 est l'image de 2 par la fonction $f$
Réponse B : $f(3)=20$
Réponse C : $f$ est une fonction affine
🟢 Je suis prêt
Remplace $x$ par $3$ dans l'expression $3x^2-7$. Respecte bien les priorités opératoires: le carré avant la multiplication par $3$, puis la soustraction. Que trouves-tu ?
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule $f(3)$: $3 \times 3^2 - 7 = 3 \times 9 - 7 = 27 - 7 = 20$.
Seule la réponse B est vraie. Les réponses A et C sont fausses ($f$ n'est pas affine car il y a $x^2$).
La bonne réponse est la réponse B. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On teste chaque proposition.
Réponse A : Image de 2: $f(2) = 3 \times 2^2 - 7 = 3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5$, pas 29. FAUX.
Réponse B : $f(3) = 3 \times 3^2 - 7 = 3 \times 9 - 7 = 27 - 7 = 20$. VRAI.
Réponse C : Une fonction affine s'écrit $ax+b$, ici on a un $x^2$: ce n'est pas une fonction affine. FAUX.
La bonne réponse est la réponse B : $f(3)=20$. ✓
On a relevé les performances, en mètres, obtenues au lancer du poids par un groupe de 13 élèves :
3,41m ; 5,25m ; 5,42m ; 4,3m ; 6,11m ; 4,28m ; 5,15m ; 3,7m ; 6,07m ; 5,82m ; 4,62m ; 4,91m ; 4,01m.
Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
Réponse A : 7
Réponse B : 4,91
Réponse C : 5,15
🟢 Je suis prêt
Range d'abord les 13 valeurs dans l'ordre croissant. Comme il y a un nombre impair de données, la médiane est la valeur qui se trouve exactement au milieu (la 7ᵉ valeur).
🟡 Je me souviens plus trop
On range les 13 données dans l'ordre : 3,41 - 3,7 - 4,01 - 4,28 - 4,3 - 4,62 - 4,91 - 5,15 - 5,25 - 5,42 - 5,82 - 6,07 - 6,11.
Il y a 13 valeurs, la médiane est la 7ᵉ valeur de la liste triée.
La 7ᵉ valeur est 4,91.
La médiane est 4,91 m (réponse B). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La médiane coupe une série triée en deux moitiés égales.
Étape 1: On trie les distances du plus petit au plus grand : 3,41 ; 3,7 ; 4,01 ; 4,28 ; 4,3 ; 4,62 ; 4,91 ; 5,15 ; 5,25 ; 5,42 ; 5,82 ; 6,07 ; 6,11.
Étape 2: L'effectif total est 13 (impair). La formule pour trouver la position de la médiane est $(13+1)/2 = 7$. On prend donc la 7ᵉ valeur.
Étape 3: La 7ᵉ valeur est 4,91.
La médiane est 4,91 m (réponse B). ✓
On considère la configuration suivante, dans laquelle les triangles LAC et BUT sont semblables. (Voir la figure du sujet).
Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle LAC pour obtenir l'aire du triangle BUT ?
Réponse A : 3
Réponse B : 6
Réponse C : 9
🟢 Je suis prêt
Les triangles sont semblables, donc il existe un coefficient d'agrandissement pour les longueurs. Cherche deux côtés homologues, par exemple le plus petit de chaque triangle. Une fois ce coefficient trouvé, comment évoluent les aires ?
🟡 Je me souviens plus trop
D'après le corrigé, [AL] est homologue à [UB], [AC] à [UT] et [LC] à [BT].
Coefficient d'agrandissement pour les longueurs : $k = \frac{UB}{AL} = \frac{6,3}{2,1} = 3$.
Pour les aires, on élève ce coefficient au carré : $k^2 = 3^2 = 9$.
On doit multiplier l'aire de LAC par 9 (réponse C). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel: Dans des triangles semblables, si les longueurs sont multipliées par un coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
Étape 1 : Repère les côtés homologues. Le corrigé donne $[AL]$ et $[UB]$ comme côtés homologues. Leurs longueurs sont 2,1 cm et 6,3 cm.
Étape 2 : Calcule le coefficient d'agrandissement des longueurs : $k = \frac{UB}{AL} = \frac{6,3}{2,1} = 3$.
Étape 3 : Applique la règle pour les aires : on met ce coefficient au carré. $k_{aire} = 3^2 = 9$.
Il faut multiplier l'aire de LAC par 9 (réponse C) pour obtenir celle de BUT. ✓
Exercice 3 — Cartes Pokémon : décomposition, PGCD et probabilité
20 pointsPGCD / facteurs premiers · ProbabilitésUne collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre. Elle possède 252 cartes de type « feu » et 156 cartes de type « terre ».
1.
a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 252 :
- Proposition 1 : $2^2 \times 9 \times 7$
- Proposition 2 : $2 \times 2 \times 3 \times 21$
- Proposition 3 : $2^2 \times 3^2 \times 7$
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 156.
2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est-à-dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
a. Peut-elle faire 36 paquets ?
b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher. Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».
- Proposition 1 : $2^2 \times 9 \times 7$
- Proposition 2 : $2 \times 2 \times 3 \times 21$
- Proposition 3 : $2^2 \times 3^2 \times 7$
🟢 Je suis prêt
Rappelle-toi qu'un nombre est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Vérifie que tous les facteurs dans la décomposition sont des nombres premiers.
🟡 Je me souviens plus trop
Vérifions chaque proposition.
🔹 Proposition 1 : $2^2 \times 9 \times 7$ → 9 n'est pas premier car $9 = 3 \times 3$.
🔹 Proposition 2 : $2 \times 2 \times 3 \times 21$ → 21 n'est pas premier car $21 = 3 \times 7$.
🔹 Proposition 3 : $2^2 \times 3^2 \times 7$ → tous les facteurs sont premiers (2, 3, 7) et le produit donne bien 252.
Réponse : Proposition 3 ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on ne doit utiliser que des nombres premiers (2, 3, 5, 7, ...). On teste chaque proposition.
1. Proposition 1 : $2^2 \times 9 \times 7$. Ici, 9 n'est pas premier car $9 = 3 \times 3$. Cette décomposition est donc fausse.
2. Proposition 2 : $2 \times 2 \times 3 \times 21$. 21 n'est pas premier car $21 = 3 \times 7$. Cette décomposition est également fausse.
3. Proposition 3 : $2^2 \times 3^2 \times 7$. Tous les nombres sont premiers : 2, 3, 7. Vérifions : $2^2=4$, $3^2=9$, $4 \times 9 = 36$ et $36 \times 7 = 252$. C'est correct.
La bonne réponse est la Proposition 3 ✓
🟢 Je suis prêt
Pour décomposer 156, divise-le successivement par les nombres premiers les plus petits (2, 3, 5, ...) jusqu'à obtenir 1.
🟡 Je me souviens plus trop
Divisons 156 par 2 : $156 \div 2 = 78$.
78 est pair, on divise encore par 2 : $78 \div 2 = 39$.
39 n'est pas divisible par 2, on essaie 3 : $39 \div 3 = 13$.
13 est un nombre premier.
Donc $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^2 \times 3 \times 13$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour obtenir la décomposition en facteurs premiers de 156, on effectue des divisions successives par les nombres premiers en ordre croissant.
Étape 1 : 156 est pair, on le divise par 2 : 156 ÷ 2 = 78. On a un facteur 2.
Étape 2 : 78 est encore pair, on divise par 2 : 78 ÷ 2 = 39. On a un deuxième facteur 2, soit $2^2$.
Étape 3 : 39 n'est pas divisible par 2. On essaie 3 : 39 ÷ 3 = 13. On a un facteur 3.
Étape 4 : 13 est premier, on s'arrête.
Finalement, $156 = 2^2 \times 3 \times 13$ ✓
🟢 Je suis prêt
Pour pouvoir faire des paquets identiques en utilisant toutes les cartes, le nombre de paquets doit être un diviseur à la fois de 252 et de 156. Vérifie si 36 divise ces deux nombres.
🟡 Je me souviens plus trop
Un paquet contient le même nombre de cartes feu et terre. Le nombre de paquets doit donc diviser 252 et 156.
Vérifions pour 36 :
• 252 ÷ 36 = 7 (reste 0) → 36 divise 252.
• 156 ÷ 36 = 4,333... En réalité $156 = 36 \times 4 + 12$, donc 36 ne divise pas 156.
Puisque 36 ne divise pas 156, elle ne peut pas faire 36 paquets. Réponse : non ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour réaliser des paquets identiques avec toutes les cartes, le nombre de paquets doit être un diviseur commun de 252 et 156. En effet, chaque paquet aura le même nombre de cartes feu, donc 252 ÷ (nb paquets) doit être un entier, et de même pour 156.
Testons avec 36 paquets :
• Division de 252 par 36 : 252 = 36 × 7. C'est un entier, 36 divise 252.
• Division de 156 par 36 : 156 ÷ 36 = 4,333... Ou plus précisément : 36 × 4 = 144, il reste 12. 156 = 36 × 4 + 12. 36 ne divise pas 156.
Comme 36 n'est pas un diviseur de 156, on ne peut pas répartir toutes les cartes terre en 36 paquets identiques. Donc elle ne peut pas faire 36 paquets. ✓
🟢 Je suis prêt
Le nombre maximum de paquets est le plus grand diviseur commun (PGCD) de 252 et 156. Tu peux l'obtenir à partir des décompositions en facteurs premiers.
🟡 Je me souviens plus trop
On a les décompositions :
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$
$156 = 2^2 \times 3 \times 13$
Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant. Les facteurs communs sont 2 et 3. Le plus petit exposant pour 2 est 2, pour 3 est 1. Donc PGCD = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
Le nombre maximum de paquets est 12 ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le plus grand nombre de paquets identiques est le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de 252 et 156. Pour le trouver, on utilise les décompositions en facteurs premiers.
1. Décomposition de 252 : $2^2 \times 3^2 \times 7$ (obtenue en question 1a).
2. Décomposition de 156 : $2^2 \times 3 \times 13$ (question 1b).
3. Pour le PGCD, on prend les facteurs premiers communs aux deux listes, et pour chaque facteur, on prend l'exposant le plus petit. Ici, facteurs communs : 2 (exposant 2 dans les deux) et 3 (exposant 2 dans 252, 1 dans 156 → on prend 1). $7$ et $13$ ne sont pas communs, on les ignore.
4. Calcul : $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.
Le nombre maximum de paquets qu'elle peut réaliser est donc 12 ✓
🟢 Je suis prêt
Pour trouver le contenu d'un paquet, divise le nombre de cartes de chaque type par le nombre de paquets (12).
🟡 Je me souviens plus trop
Avec 12 paquets :
• Cartes feu par paquet : $252 \div 12 = 21$.
• Cartes terre par paquet : $156 \div 12 = 13$.
Chaque paquet contient donc 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre » ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On a trouvé qu'elle fait 12 paquets. Chaque paquet contient la même quantité de chaque type de cartes.
1. Nombre de cartes feu par paquet : on divise le total de cartes feu (252) par le nombre de paquets (12). $252 \div 12 = 21$. Donc 21 cartes feu par paquet.
2. Nombre de cartes terre par paquet : $156 \div 12 = 13$. Donc 13 cartes terre par paquet.
Ainsi, avec 12 paquets, chaque paquet aura 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre ». ✓
🟢 Je suis prêt
La probabilité est le rapport : (nombre de cartes « terre ») divisé par (nombre total de cartes). Pense à simplifier la fraction.
🟡 Je me souviens plus trop
Nombre total de cartes : $252 + 156 = 408$.
Probabilité = $\dfrac{156}{408}$.
Simplifions cette fraction : on voit que 156 et 408 sont divisibles par 12. $156 \div 12 = 13$ ; $408 \div 12 = 34$.
La probabilité est $\dfrac{13}{34}$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On a 252 cartes feu et 156 cartes terre, soit au total $252+156=408$ cartes. Toutes les cartes sont indiscernables au toucher, donc chaque carte a la même chance d'être choisie (équiprobabilité).
La probabilité d'un événement est : $\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
Ici, l'événement est « tirer une carte terre ». Le nombre de cas favorables est 156. Le nombre de cas possibles est 408. Donc la probabilité est $\dfrac{156}{408}$.
On simplifie la fraction. On peut diviser numérateur et dénominateur par 12 (car $156=12 \times 13$ et $408=12 \times 34$). On obtient $\dfrac{13}{34}$.
La probabilité de tirer une carte « terre » est donc $\dfrac{13}{34}$ ✓
Exercice 4 — Aire d'un rectangle et d'un carré
20 pointsCalcul littéral · Scratch / algorithmique · ÉquationsDans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s'intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :
- un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
- un carré de côté $x$.
(voir la figure du sujet)
1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous :
Recopier sur la copie celle qui correspond à l'aire du carré. On ne demande pas de justifier.
- $4x$
- $4+x$
- $x^2$
- $2x$
2. Montrer que l'aire du rectangle est égale à $x^2 + 4x - 21$.
3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
On veut que ce programme renvoie l'aire du rectangle lorsque l'utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.
1 Quand la touche espace est pressée 2 demander combien vaut x ? et attendre 3 mettre x à réponse 4 mettre R à x * x 5 ajouter ______ à R 6 ajouter ______ à R 7 dire regrouper L'aire du rectangle est et ______ pendant 2 secondes
4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre 8. Que renvoie le programme ?
5. Quel nombre $x$ doit-on choisir pour que l'aire du rectangle soit égale à l'aire du carré ? Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
🟢 Je suis prêt
L'aire d'un carré de côté $x$ se calcule en multipliant le côté par lui-même. Quelle opération cela donne-t-il ?
🟡 Je me souviens plus trop
L'aire d'un carré de côté $x$ est $x \times x = x^2$.
Parmi les propositions, c'est donc $x^2$.
Réponse : $x^2$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : l'aire d'un carré se calcule en faisant côté × côté. Ici, le côté mesure $x$, donc l'aire vaut $x \times x$, ce qui s'écrit $x^2$ (lire « $x$ au carré »).
Les autres propositions ne correspondent pas : $4x$ c'est $4 \times x$, $4+x$ est une addition, $2x$ c'est $2 \times x$.
La bonne réponse est donc $x^2$ ✓
🟢 Je suis prêt
L'aire d'un rectangle est Longueur × largeur. Ici, longueur $x+7$, largeur $x-3$. Développe le produit.
🟡 Je me souviens plus trop
Aire = $(x-3)(x+7)$.
On développe : $(x-3)(x+7) = x \times x + x \times 7 - 3 \times x - 3 \times 7$.
$= x^2 + 7x - 3x - 21$.
$= x^2 + 4x - 21$.
On a bien montré que l'aire du rectangle est $x^2+4x-21$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour calculer l'aire d'un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur. Ici, la longueur est $x+7$ et la largeur est $x-3$.
Aire = $(x+7)(x-3)$ (l'ordre n'a pas d'importance).
On utilise la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Avec $a=x$, $b=7$, $c=x$, $d=-3$.
$(x+7)(x-3) = x \times x + x \times (-3) + 7 \times x + 7 \times (-3)$.
$= x^2 -3x + 7x -21$.
On réduit : $-3x+7x = 4x$.
Donc l'aire est $x^2 + 4x - 21$.
L'égalité est démontrée ✓
🟢 Je suis prêt
Le script doit calculer $x^2 + 4x - 21$. La variable R contient déjà $x^2$ (ligne 4). Il faut ajouter $4x$ puis $-21$, et enfin afficher le résultat avec le texte.
🟡 Je me souviens plus trop
Ligne 5 : on doit ajouter $4x$ à R. En Scratch, cela s'écrit « ajouter 4 * x à R ».
Ligne 6 : on ajoute $-21$ à R. Écris « ajouter -21 à R ».
Ligne 7 : on veut dire « L'aire du rectangle est » suivi de la valeur de R. Utilise « dire regrouper L'aire du rectangle est et R ».
Réponses :
ligne 5 : 4 * x
ligne 6 : -21
ligne 7 : R ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le programme Scratch doit calculer l'aire du rectangle $x^2+4x-21$ à partir de la valeur de $x$ saisie.
Ligne 4 : « mettre R à x * x » donne à R la valeur $x^2$.
Il reste à ajouter $4x$ puis $-21$.
Ligne 5 : pour ajouter $4x$, on écrit « ajouter 4 * x à R ». Le bloc « ajouter ... à R » additionne la valeur indiquée à R.
Ligne 6 : pour ajouter $-21$, on écrit « ajouter -21 à R ». Cela revient à soustraire 21.
Ligne 7 : pour afficher le résultat, on utilise « dire regrouper ... ». On veut le texte « L'aire du rectangle est » suivi de la valeur de R. On écrit donc « dire regrouper L'aire du rectangle est et R ».
Les cases à compléter sont donc : ligne 5 : 4 * x ; ligne 6 : -21 ; ligne 7 : R ✓
🟢 Je suis prêt
Remplace $x$ par 8 dans l'expression $x^2+4x-21$ et calcule, ou suis les étapes du script.
🟡 Je me souviens plus trop
Avec $x=8$, l'aire du rectangle vaut $8^2 + 4 \times 8 - 21$.
$8^2 = 64$.
$4 \times 8 = 32$, donc $64 + 32 = 96$.
$96 - 21 = 75$.
Le programme renvoie 75 ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On peut soit utiliser l'expression de l'aire $x^2+4x-21$, soit suivre le script pas à pas.
Méthode avec l'expression : on remplace $x$ par 8. $8^2 = 64$, $4 \times 8 = 32$, donc $64 + 32 = 96$, puis $96 - 21 = 75$.
Méthode avec le script :
Ligne 3 : x prend la valeur 8.
Ligne 4 : R = 8 * 8 = 64.
Ligne 5 : ajouter 4 * 8 = 32 à R → R = 64 + 32 = 96.
Ligne 6 : ajouter -21 à R → R = 96 - 21 = 75.
Ligne 7 : le programme dit « L'aire du rectangle est 75 ».
Le programme renvoie donc 75 ✓
🟢 Je suis prêt
Écris l'équation : aire rectangle = aire carré, soit $x^2+4x-21 = x^2$. Simplifie puis résous.
🟡 Je me souviens plus trop
On veut $x^2+4x-21 = x^2$.
Soustrais $x^2$ des deux côtés : $4x - 21 = 0$.
Ajoute 21 : $4x = 21$.
Divise par 4 : $x = \frac{21}{4} = 5,25$.
Le nombre à choisir est $5,25$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On cherche $x$ tel que l'aire du rectangle ($x^2+4x-21$) soit égale à l'aire du carré ($x^2$).
On pose l'équation : $x^2 + 4x - 21 = x^2$.
On soustrait $x^2$ à chaque membre : $x^2 + 4x - 21 - x^2 = x^2 - x^2$, ce qui donne $4x - 21 = 0$.
On ajoute 21 des deux côtés pour isoler le terme en $x$ : $4x - 21 + 21 = 0 + 21$, donc $4x = 21$.
On divise par 4 : $x = \frac{21}{4}$.
En écriture décimale, $\frac{21}{4} = 5,25$.
Pour que les aires soient égales, il faut choisir $x = 5,25$ ✓
Exercice 5 — Fuite d'eau et consommation
20 pointsProgrammes de calcul · Aires & volumes · Proportionnalité & %Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :
- Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
- Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
- En moyenne, 20 gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1 \text{ ml}$).
(voir la figure du sujet) Caractéristiques de la vasque : Diamètre intérieur : 40 cm, Hauteur intérieure : 15 cm, Masse : 25 kg.
Rappels : Volume du cylindre = $\pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$ ; $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$.
- En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86\,400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
- Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
- Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
- L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
- À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004. En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant. Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
🟢 Je suis prêt
Pense au nombre de secondes dans une heure et au nombre d'heures dans une journée.
🟡 Je me souviens plus trop
1. Dans une heure, il y a $60 \times 60 = 3\,600$ secondes.
2. Dans une journée de 24 heures, il y a $3\,600 \times 24 = 86\,400$ secondes.
3. Comme il tombe une goutte par seconde, on obtient $86\,400$ gouttes par jour.
Il tombe donc $86\,400$ gouttes dans la vasque en une journée complète. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : 1 minute = 60 secondes, 1 heure = 60 minutes = 3 600 secondes, 1 jour = 24 heures.
Étape 1 : Calcule le nombre de secondes dans une heure : $60 \times 60 = 3\,600$ s.
Étape 2 : Multiplie par le nombre d'heures dans une journée : $3\,600 \times 24 = 86\,400$ s.
Étape 3 : Puisqu'il y a une goutte par seconde, le nombre de gouttes est égal au nombre de secondes.
Réponse : Il tombe $86\,400$ gouttes en une journée. ✓
🟢 Je suis prêt
Utilise le résultat de la question 1 et la conversion : 20 gouttes = 1 mL.
🟡 Je me souviens plus trop
1. Nombre de gouttes par jour : $86\,400$.
2. Volume en mL par jour : $86\,400 \div 20 = 4\,320$ mL.
3. Conversion en litres : $4\,320$ mL = $4,32$ L (car 1 L = 1 000 mL).
4. Pour une semaine (7 jours) : $4,32 \times 7 = 30,24$ L.
Le volume d'eau tombé en une semaine est de $30,24$ L. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : 20 gouttes = 1 mL, et 1 L = 1 000 mL.
Étape 1 : Volume journalier en mL : $86\,400 \div 20 = 4\,320$ mL.
Étape 2 : Conversion en litres : $4\,320 \div 1\,000 = 4,32$ L.
Étape 3 : Volume hebdomadaire : $4,32 \times 7 = 30,24$ L.
Réponse : Le volume d'eau qui tombe dans la vasque en une semaine est de $30,24$ L. ✓
🟢 Je suis prêt
Utilise la formule du volume d'un cylindre : $V = \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$. Attention aux unités !
🟡 Je me souviens plus trop
1. Convertir les dimensions en dm : Diamètre = 40 cm = 4 dm, donc rayon = 2 dm. Hauteur = 15 cm = 1,5 dm.
2. Appliquer la formule : $V = \pi \times 2^2 \times 1,5 = \pi \times 4 \times 1,5 = 6\pi$.
3. Calculer $6\pi \approx 18,849\,555...$ dm$^3$.
4. Arrondir au centilitre près (0,01 L) : $18,85$ L.
La vasque a un volume de $18,85$ L. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Volume d'un cylindre = $\pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$. $1$ dm$^3 = 1$ L.
Étape 1 : Conversion des dimensions : 40 cm = 4 dm, donc rayon = 2 dm ; 15 cm = 1,5 dm.
Étape 2 : Calcul du volume : $V = \pi \times 2^2 \times 1,5 = \pi \times 4 \times 1,5 = 6\pi$ dm$^3$.
Étape 3 : Valeur approchée : $6\pi \approx 18,849\,555...$ dm$^3$, soit $18,85$ L arrondi au centilitre près.
Réponse : Le volume de la vasque est bien $18,85$ L. ✓
🟢 Je suis prêt
Compare le volume d'eau perdu en une semaine (question 2) avec le volume de la vasque (question 3).
🟡 Je me souviens plus trop
1. Volume d'eau perdu en une semaine : $30,24$ L (d'après Q2).
2. Volume de la vasque : $18,85$ L (d'après Q3).
3. Comparaison : $30,24 > 18,85$, donc l'eau va déborder.
Oui, l'eau va déborder car le volume perdu dépasse la capacité de la vasque. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : On a calculé précédemment le volume d'eau perdu en une semaine ($30,24$ L) et le volume de la vasque ($18,85$ L).
Étape 1 : Identifier les deux volumes : perte = $30,24$ L, capacité = $18,85$ L.
Étape 2 : Comparer : $30,24 > 18,85$.
Étape 3 : Conclure : puisque le volume d'eau qui arrive est supérieur au volume que peut contenir la vasque, l'eau débordera.
Réponse : Oui, l'eau va déborder. ✓
🟢 Je suis prêt
Pourcentage de diminution = (valeur initiale - valeur finale) / valeur initiale × 100.
🟡 Je me souviens plus trop
1. Consommation en 2004 : $165$ L, en 2018 : $148$ L.
2. Diminution : $165 - 148 = 17$ L.
3. Pourcentage : $\frac{17}{165} \times 100 \approx 10,303...$ %.
4. Arrondi à l'unité : $10$ %.
La diminution est de $10$ %. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Le pourcentage de diminution se calcule avec la formule : $\frac{\text{valeur initiale} - \text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}} \times 100$.
Étape 1 : Identifier les valeurs : initiale = $165$ L, finale = $148$ L.
Étape 2 : Calculer la diminution absolue : $165 - 148 = 17$ L.
Étape 3 : Calculer le pourcentage : $\frac{17}{165} \times 100 \approx 10,30$ %.
Étape 4 : Arrondir à l'unité : $10$ %.
Réponse : La consommation quotidienne d'eau par habitant a diminué de $10$ % entre 2004 et 2018. ✓