Brevet 2023 — Maths, sujet complet corrigé
Exercice 1 — Statistiques et tableur
20 pointsStatistiques / médiane · Programmes de calculUn opticien vend différents modèles de lunettes de soleil. Il reporte dans un tableur des informations sur cinq modèles vendus pendant l'année 2022.
Le tableau donne :
- Ligne 2 (B2 à F2) : nombre de paires vendues pour les modèles 1 à 5 : 1 200, 950, 875, 250, 300.
- Ligne 3 (B3 à F3) : prix à l'unité en euros pour les modèles 1 à 5 : 75, 100, 110, 140, 160.
🟢 Je suis prêt
L'étendue d'une série, c'est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite. Regarde bien les prix dans le tableau : quel est le prix maximum ? Et le minimum ?
🟡 Je me souviens plus trop
Les prix des modèles sont : $75$, $100$, $110$, $140$ et $160$ euros.
Étape 1 : Repère le prix le plus élevé : c'est $160\,\text{€}$.
Étape 2 : Repère le prix le plus bas : c'est $75\,\text{€}$.
Étape 3 : Calcule la différence : $160 - 75 = 85$.
L'étendue des prix est bien de $85$ euros. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
L'étendue d'une série statistique se calcule en soustrayant la plus petite valeur de la plus grande :
Étape 1 : Identifie les prix des lunettes. Dans le tableau, les prix en euros sont sur la ligne 3 : $75$ (Modèle 1), $100$ (Modèle 2), $110$ (Modèle 3), $140$ (Modèle 4) et $160$ (Modèle 5).
Étape 2 : Trouve la valeur maximale : ici, c'est $160\,\text{€}$ (Modèle 5).
Étape 3 : Trouve la valeur minimale : ici, c'est $75\,\text{€}$ (Modèle 1).
Étape 4 : Effectue la soustraction : $\text{Étendue} = 160 - 75 = 85$.
On a bien montré que l'étendue est de $85$ euros. ✓
🟢 Je suis prêt
Dans un tableur, pour additionner plusieurs cellules, on utilise la fonction SOMME. Quelles sont les cellules qui contiennent les nombres de paires vendues ?
🟡 Je me souviens plus trop
Les nombres de paires vendues sont dans les cellules de B2 à F2.
Étape 1 : On veut leur somme. La formule commence toujours par =.
Étape 2 : On utilise la fonction SOMME avec la plage de cellules concernée.
La bonne formule est donc : =SOMME(B2:F2). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Dans un tableur, pour calculer une somme, on utilise la fonction SOMME. Voici la méthode :
Étape 1 : Repère les cellules à additionner. La ligne 2 contient le nombre de paires vendues, du modèle 1 (cellule B2) au modèle 5 (cellule F2). Les cellules sont donc B2, C2, D2, E2 et F2.
Étape 2 : On écrit toujours une formule en commençant par un signe =.
Étape 3 : On utilise la fonction SOMME, et on indique la plage de cellules séparée par deux points (B2:F2 signifie « de B2 jusqu'à F2 »).
La formule à saisir dans G2 est donc : =SOMME(B2:F2). ✓
🟢 Je suis prêt
Additionne les cinq nombres de paires vendues qui sont donnés dans le tableau. Vérifie bien que tu n'oublies aucun modèle.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Prends les nombres donnés : Modèle 1 : $1\,200$, Modèle 2 : $950$, Modèle 3 : $875$, Modèle 4 : $250$, Modèle 5 : $300$.
Étape 2 : Additionne-les : $1\,200 + 950 = 2\,150$ ; $2\,150 + 875 = 3\,025$ ; $3\,025 + 250 = 3\,275$ ; $3\,275 + 300 = 3\,575$.
Le nombre total de paires vendues est donc $3\,575$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On cherche la somme de toutes les paires de lunettes vendues, tous modèles confondus.
Étape 1 : Relève les données de la ligne 2 dans le tableau :
- Modèle 1 : $1\,200$
- Modèle 2 : $950$
- Modèle 3 : $875$
- Modèle 4 : $250$
- Modèle 5 : $300$
Étape 2 : Additionne méthodiquement :
$1\,200 + 950 = 2\,150$
$2\,150 + 875 = 3\,025$
$3\,025 + 250 = 3\,275$
$3\,275 + 300 = 3\,575$
Le nombre total de paires de lunettes vendues en 2022 est $3\,575$. ✓
🟢 Je suis prêt
Pour chaque modèle, multiplie le nombre de paires vendues par son prix unitaire, puis ajoute tous ces montants. Tu vas ainsi trouver la recette totale.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Calcule la recette pour chaque modèle :
- Modèle 1 : $1\,200 \times 75 = 90\,000$
- Modèle 2 : $950 \times 100 = 95\,000$
- Modèle 3 : $875 \times 110 = 96\,250$
- Modèle 4 : $250 \times 140 = 35\,000$
- Modèle 5 : $300 \times 160 = 48\,000$
Étape 2 : Additionne le tout : $90\,000 + 95\,000 = 185\,000$ ; $185\,000 + 96\,250 = 281\,250$ ; $281\,250 + 35\,000 = 316\,250$ ; $316\,250 + 48\,000 = 364\,250$.
Le montant total des ventes est de $364\,250$ euros. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le montant total des ventes correspond à la somme des recettes de chaque modèle. La recette d'un modèle se calcule en multipliant le nombre de paires vendues par le prix unitaire.
Étape 1 : Reprends les données du tableau :
- Modèle 1 : $1\,200$ paires à $75\,\text{€}$
- Modèle 2 : $950$ paires à $100\,\text{€}$
- Modèle 3 : $875$ paires à $110\,\text{€}$
- Modèle 4 : $250$ paires à $140\,\text{€}$
- Modèle 5 : $300$ paires à $160\,\text{€}$
Étape 2 : Calcule la recette de chaque modèle :
$1\,200 \times 75 = 90\,000$
$950 \times 100 = 95\,000$
$875 \times 110 = 96\,250$
$250 \times 140 = 35\,000$
$300 \times 160 = 48\,000$
Étape 3 : Additionne toutes les recettes :
$90\,000 + 95\,000 + 96\,250 + 35\,000 + 48\,000 = 364\,250$
Le montant total des ventes est $364\,250$ euros. ✓
🟢 Je suis prêt
Pour trouver un prix moyen, divise le montant total des ventes par le nombre total d'articles vendus. Tu as déjà ces deux valeurs : reprends les résultats des questions précédentes !
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Reprends le montant total trouvé en 3.a : $364\,250\,\text{€}$.
Étape 2 : Reprends le nombre total de paires trouvé en 2.b : $3\,575$.
Étape 3 : Calcule le quotient : $364\,250 \div 3\,575 \approx 101,8881...$
Étape 4 : Arrondis au centime près (deux décimales) : comme la troisième décimale est $8$ (supérieure ou égale à 5), on arrondit au-dessus : $101,89$.
Le prix moyen est d'environ $101,89$ euros. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La moyenne d'une série est le quotient de la somme des valeurs par l'effectif total. Ici, le prix moyen est égal au montant total des ventes divisé par le nombre total d'articles vendus.
Étape 1 : Utilise les résultats des questions précédentes :
- Montant total des ventes (question 3.a) : $364\,250\,\text{€}$
- Nombre total de paires vendues (question 2.b) : $3\,575$
Étape 2 : Pose et effectue la division : $\dfrac{364\,250}{3\,575} \approx 101,888111...$
Étape 3 : Pour arrondir au centime près (deux chiffres après la virgule), regarde le troisième chiffre après la virgule. Ici, c'est $8$, qui est supérieur ou égal à $5$. On augmente donc de $1$ le chiffre des centimes ($8$ devient $9$).
Le prix moyen arrondi est donc $101,89$ euros. ✓
Exercice 2 — Aires, Pythagore et Thalès
20 pointsThalès · Pythagore & réciproque · Proportionnalité & %Sur la figure (voir le sujet), $BCDE$ est un rectangle, $BAE$ est un triangle rectangle en $A$. La perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par $A$ coupe cette droite en $H$, et les droites $(AE)$ et $(CD)$ se coupent en $F$.
On donne :
- $AB = BC = 4{,}2 \text{ cm}$ ;
- $EB = EF = 7 \text{ cm}$.
(voir la figure du sujet)
🟢 Je suis prêt
Rappelle-toi la formule de l'aire d'un rectangle et identifie la longueur et la largeur du rectangle $BCDE$.
🟡 Je me souviens plus trop
La longueur du rectangle est $EB = 7$ cm, la largeur est $BC = 4{,}2$ cm.
L'aire est donc $\text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 7 \times 4{,}2 = 29{,}4$ cm$^2$.
L'aire du rectangle $BCDE$ est bien $29{,}4$ cm$^2$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur.
Ici, le rectangle $BCDE$ a pour longueur $EB$ (ou $CD$) et pour largeur $BC$ (ou $ED$). D'après l'énoncé, $BC = 4{,}2$ cm et $EB = 7$ cm.
Donc : $\text{Aire}_{BCDE} = EB \times BC = 7 \times 4{,}2$.
Effectuons le calcul : $7 \times 4{,}2 = 29{,}4$.
L'aire du rectangle $BCDE$ est égale à $29{,}4$ cm$^2$ ✓
🟢 Je suis prêt
Pense au théorème de Pythagore dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$. Quelle est l'hypoténuse ?
🟡 Je me souviens plus trop
Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$, l'hypoténuse est $BE$.
Le théorème de Pythagore donne : $BE^2 = AB^2 + AE^2$.
On a $BE = 7$ cm et $AB = 4{,}2$ cm. Donc $AE^2 = BE^2 - AB^2 = 7^2 - 4{,}2^2 = 49 - 17{,}64 = 31{,}36$.
Alors $AE = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6$ cm.
La longueur $AE$ est $5{,}6$ cm ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les longueurs des côtés : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est $[BE]$.
D'après le théorème : $BE^2 = AB^2 + AE^2$. On connaît $AB = 4{,}2$ cm et $BE = 7$ cm.
On isole $AE^2$ : $AE^2 = BE^2 - AB^2 = 7^2 - 4{,}2^2$.
Calculs : $7^2 = 49$ ; $4{,}2^2 = 17{,}64$ ; $49 - 17{,}64 = 31{,}36$.
Donc $AE^2 = 31{,}36$. Pour obtenir $AE$, on prend la racine carrée : $AE = \sqrt{31{,}36}$.
Or $\sqrt{31{,}36} = 5{,}6$ (car $5{,}6 \times 5{,}6 = 31{,}36$).
La longueur $AE$ est donc $5{,}6$ cm ✓
🟢 Je suis prêt
Comment calcule-t-on l'aire d'un triangle rectangle ? Utilise les longueurs des côtés de l'angle droit.
🟡 Je me souviens plus trop
Le triangle $ABE$ est rectangle en $A$. Les côtés de l'angle droit sont $AB$ et $AE$.
L'aire d'un triangle rectangle est donnée par : $\text{Aire} = \frac{\text{produit des côtés de l'angle droit}}{2}$.
Donc : $\text{Aire}_{ABE} = \frac{AB \times AE}{2} = \frac{4{,}2 \times 5{,}6}{2}$.
Calcul : $4{,}2 \times 5{,}6 = 23{,}52$ ; puis $23{,}52 \div 2 = 11{,}76$.
L'aire du triangle rectangle $ABE$ est $11{,}76$ cm$^2$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour un triangle rectangle, l'aire est la moitié du produit des longueurs des deux côtés de l'angle droit.
Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$, les côtés de l'angle droit sont $[AB]$ et $[AE]$.
On a $AB = 4{,}2$ cm et on a trouvé $AE = 5{,}6$ cm à la question précédente.
On calcule donc : $\text{Aire}_{ABE} = \frac{AB \times AE}{2} = \frac{4{,}2 \times 5{,}6}{2}$.
Multiplions d'abord $4{,}2 \times 5{,}6$. $4{,}2 \times 5{,}6 = 23{,}52$.
Puis divisons par 2 : $23{,}52 \div 2 = 11{,}76$.
L'aire du triangle $ABE$ est de $11{,}76$ cm$^2$ ✓
🟢 Je suis prêt
Utilise le fait que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Quelles droites sont perpendiculaires à $(CD)$ ou $(FH)$ ?
🟡 Je me souviens plus trop
On remarque que $(ED)$ est perpendiculaire à $(CD)$ car $BCDE$ est un rectangle.
De plus, par construction, $(AH)$ est perpendiculaire à $(CD)$ (puisque $H$ est le pied de la perpendiculaire).
Ainsi, $(ED)$ et $(AH)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(CD)$ (ou $(FH)$).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(ED) // (AH)$ ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles.
Dans la figure, $BCDE$ est un rectangle, donc ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. En particulier, $(ED) \perp (CD)$.
D'autre part, on a tracé la perpendiculaire à $(CD)$ passant par $A$ ; cette droite coupe $(CD)$ en $H$, donc $(AH) \perp (CD)$.
Ainsi, $(ED)$ et $(AH)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite $(CD)$ (qui est la même que $(FH)$).
D'après la propriété énoncée, on en déduit que $(ED)$ est parallèle à $(AH)$.
Donc $(ED) // (AH)$ ✓
🟢 Je suis prêt
Pense au théorème de Thalès dans la configuration avec les droites $(HA)$ et $(ED)$ parallèles. Écris les rapports égaux en partant du point $F$.
🟡 Je me souviens plus trop
Les droites $(AE)$ et $(HD)$ sont sécantes en $F$. Les droites $(HA)$ et $(ED)$ sont parallèles (question 3a).
D'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{FD}{FH} = \dfrac{ED}{AH}$.
On sait que $FE = 7$ cm et $FA = FE + EA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6$ cm. De plus, $ED = BC = 4{,}2$ cm.
En utilisant $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{ED}{AH}$, on obtient $\dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{AH}$.
Par produit en croix : $7 \times AH = 4{,}2 \times 12{,}6$, donc $AH = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7}$.
Calcul : $4{,}2 \times 12{,}6 = 52{,}92$ ; $52{,}92 \div 7 = 7{,}56$.
La longueur $AH$ est $7{,}56$ cm ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On applique le théorème de Thalès lorsque deux droites sont parallèles dans une configuration en papillon ou en emboîtement. Ici, on a le point $F$, les droites $(AE)$ et $(HD)$ sécantes en $F$, et $(HA) // (ED)$ (d'après la question précédente).
Le théorème de Thalès donne l'égalité des rapports : $$\frac{FE}{FA} = \frac{FD}{FH} = \frac{ED}{AH}.$$
Recensons les longueurs connues : $FE = 7$ cm (énoncé) ; $FA = FE + EA$. On a calculé $EA = 5{,}6$ cm (question 2a), donc $FA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6$ cm. De plus, $ED$ est la largeur du rectangle, donc $ED = BC = 4{,}2$ cm. On cherche $AH$.
On utilise le premier et le troisième rapport : $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{ED}{AH}$ soit $\dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{AH}$.
On résout l'équation par produit en croix : $7 \times AH = 4{,}2 \times 12{,}6$, donc $AH = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7}$.
Calculons : $4{,}2 \times 12{,}6 = 52{,}92$ puis $52{,}92 \div 7 = 7{,}56$.
On obtient $AH = 7{,}56$ cm ✓
Exercice 3 — QCM au Brevet
20 pointsProportionnalité & % · PGCD / facteurs premiers · Probabilités · Transformations du planCet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopie sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Dans une classe de 25 élèves, 60 % des élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?
Réponse A : 10
Réponse B : 15
Réponse C : 20
🟢 Je suis prêt
Prendre 60 % d'un nombre, c'est le multiplier par $\frac{60}{100}$ ou par $0{,}6$.
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule $60\,\%$ des $25$ élèves en faisant $25 \times 0{,}6$.
$25 \times 0{,}6 = 15$.
La classe compte donc 15 filles.✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On te dit que 60 % des 25 élèves sont des filles. En maths, un pourcentage se transforme en fraction : $60\,\% = \frac{60}{100} = 0{,}6$.
Pour trouver le nombre de filles, tu multiplies le nombre total d'élèves par cette fraction : $25 \times 0{,}6$.
$25 \times 0{,}6 = 15$.
Il y a donc 15 filles dans la classe, ce qui correspond à la réponse B.✓Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ?
Réponse A : $2 \times 9 \times 7$
Réponse B : $2^2 \times 5^2 + 2 \times 13$
Réponse C : $2 \times 3^2 \times 7$
🟢 Je suis prêt
Dans une décomposition en facteurs premiers, tous les facteurs doivent être des nombres premiers. 9 n'est pas un nombre premier.
🟡 Je me souviens plus trop
Divise 126 par les plus petits nombres premiers possibles : $126 \div 2 = 63$.
Puis $63 \div 3 = 21$ et $21 \div 3 = 7$, qui est premier.
On obtient $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
La bonne réponse est la réponse C.✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire comme une multiplication de nombres premiers. Un nombre premier est divisible seulement par 1 et par lui-même (ex : 2, 3, 5, 7…).
Commence par diviser 126 par 2 : $126 \div 2 = 63$. On a $126 = 2 \times 63$.
Ensuite, 63 n'est pas divisible par 2, mais par 3 : $63 \div 3 = 21$ et $21 \div 3 = 7$. 7 est un nombre premier.
Finalement, $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
La seule décomposition correcte est la réponse C.✓Dans un sac, il y a 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune ?
Réponse A : $\frac{2}{3}$
Réponse B : $0{,}6$
Réponse C : $\frac{17}{23}$
🟢 Je suis prêt
La probabilité est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas. Ici, les cas favorables sont les jetons rouges ou jaunes.
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule le nombre de jetons rouges ou jaunes : $17 + 23 = 40$.
Calcule le nombre total de jetons : $17 + 23 + 20 = 60$.
La probabilité est $\frac{40}{60} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
La bonne réponse est la réponse A.✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La probabilité d'un événement se calcule avec la formule : $\text{Probabilité} = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}}$.
Les cas favorables sont "obtenir un jeton rouge ou jaune". On additionne donc les jetons rouges et jaunes : $17 + 23 = 40$.
Le nombre total de cas est le nombre total de jetons dans le sac : $17 + 23 + 20 = 60$.
La probabilité est donc $\frac{40}{60}$. On simplifie en divisant par 10 puis par 2 : $\frac{40}{60} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge ou jaune est $\frac{2}{3}$, ce qui correspond à la réponse A.✓Sur l'octogone régulier ci-dessous, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D ? (voir la figure du sujet)
Réponse A : [GE]
Réponse B : [GF]
Réponse C : [AH]
🟢 Je suis prêt
Une rotation conserve les longueurs. L'angle de rotation correspond au déplacement d'un sommet à l'autre. Dans un octogone régulier, l'angle au centre vaut $45°$.
🟡 Je me souviens plus trop
La rotation qui transforme A en D fait tourner de $3 \times 45° = 135°$ dans le sens anti-horaire.
En appliquant cette même rotation au point D, il arrive sur G. En l'appliquant au point C, il arrive sur F.
L'image du segment [DC] est donc le segment [GF] qui relie les images. Il s'agit de la réponse B.✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Dans un octogone régulier, tous les points sont sur un cercle de centre O. Les angles au centre entre deux sommets consécutifs sont tous égaux à $360° \div 8 = 45°$.
La rotation qui transforme A en D déplace chaque point de 3 intervalles dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens anti-horaire), car de A à D il y a 3 côtés : $3 \times 45° = 135°$.
Appliquons cette rotation aux deux extrémités du segment [DC] : le point D, avancé de 135°, arrive sur G. Le point C, avancé de 135°, arrive sur F.
Le segment image est celui qui relie G et F, donc [GF].
La bonne réponse est la réponse B.✓Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur 1,5 m et de base rectangulaire de 2 m de longueur et 1,3 m de largeur ? On rappelle que $1~\text{m}^3 = 1~000~\text{L}$.
Réponse A : $2,6~\text{m}^3$
Réponse B : $3~900~\text{L}$
Réponse C : $3~000~\text{L}$
🟢 Je suis prêt
Le volume d'un pavé droit se calcule avec la formule : $\text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}$. Attention, il faut des unités cohérentes.
🟡 Je me souviens plus trop
Calcule le volume en $\text{m}^3$ : $2 \times 1{,}3 \times 1{,}5 = 3{,}9$.
Comme $1~\text{m}^3 = 1~000~\text{L}$, le volume est $3{,}9 \times 1~000 = 3~900~\text{L}$.
La bonne réponse est la réponse B.✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour trouver le volume d'un pavé droit, on multiplie ses trois dimensions : $V = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}$.
Toutes les dimensions sont en mètres : $\text{Longueur} = 2~\text{m}$, $\text{Largeur} = 1{,}3~\text{m}$, $\text{Hauteur} = 1{,}5~\text{m}$.
Volume en $\text{m}^3$ : $V = 2 \times 1{,}3 \times 1{,}5$. On peut faire $2 \times 1{,}5 = 3$, puis $3 \times 1{,}3 = 3{,}9$. Donc $V = 3{,}9~\text{m}^3$.
L'énoncé rappelle que $1~\text{m}^3 = 1~000~\text{L}$. Pour convertir, on multiplie : $3{,}9 \times 1~000 = 3~900~\text{L}$.
La réponse correcte est donc $3~900~\text{L}$, c'est la réponse B.✓Exercice 4 — Escalier en bois : proportionnalité, trigonométrie et Scratch
20 pointsProportionnalité & % · Trigonométrie · Programmes de calculOn veut fabriquer un escalier en bois de hauteur $272$ cm. La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.
La hauteur d’une marche est de $17$ cm. La profondeur d’une marche pour poser le pied mesure $27$ cm.
(Voir la figure du sujet : triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $BC = 272$ cm (hauteur totale), $AB$ longueur horizontale de l’escalier.)
🟢 Je suis prêt
Divise la hauteur totale de l’escalier par la hauteur d’une marche.
🟡 Je me souviens plus trop
On divise la hauteur totale $272$ cm par la hauteur d’une marche $17$ cm : $272 \div 17 = 16$.
Il faut donc $16$ marches. ✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Pour connaître le nombre de marches, on divise la hauteur totale de l’escalier par la hauteur d’une marche.
Donc $272 \div 17 = 16$.
On trouve exactement $16$, il faut donc $16$ marches. ✓🟢 Je suis prêt
Multiplie le nombre de marches par la profondeur d’une marche.
🟡 Je me souviens plus trop
On a $16$ marches avec une profondeur de $27$ cm chacune. $16 \times 27 = 432$ cm. Ainsi, $AB = 432$ cm.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : La longueur horizontale totale $AB$ est la somme des profondeurs de toutes les marches. Comme il y a $16$ marches, on multiplie $16$ par $27$ cm.
$16 \times 27 = 432$.
Donc $AB = 432$ cm. ✓🟢 Je suis prêt
Utilise la tangente de l’angle $\widehat{BAC}$ dans le triangle rectangle $ABC$.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB} = \frac{272}{432}$.
Avec la calculatrice, $\tan^{-1}(272/432) \approx 32{,}2^\circ$, donc $\widehat{BAC} \approx 32^\circ$ arrondi au degré.
✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au rapport $\frac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}$.
Ici, $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB} = \frac{272}{432} \approx 0{,}6296$. Avec la fonction $\tan^{-1}$ (ou arctan) de la calculatrice, on trouve $\widehat{BAC} \approx 32{,}2^\circ$, arrondi à $32^\circ$.
✓🟢 Je suis prêt
Compare l’angle trouvé avec l’intervalle donné $25^\circ$ à $40^\circ$.
🟡 Je me souviens plus trop
On a trouvé $\widehat{BAC} \approx 32^\circ$. Comme $25 < 32 < 40$, l’angle est bien dans la fourchette recommandée.
Donc oui, l’escalier permet une montée agréable. ✓🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Pour une montée agréable, l’angle doit être compris entre $25^\circ$ et $40^\circ$.
L’angle calculé est d’environ $32^\circ$, ce qui est bien entre $25^\circ$ et $40^\circ$. L’escalier est donc agréable à monter.
✓🟢 Je suis prêt
Observe le motif d’une marche : on avance de 17 pas (hauteur) puis on tourne et on avance de 27 pas (profondeur). Il y a 16 marches.
🟡 Je me souviens plus trop
Le programme doit reproduire 16 marches. Chaque marche nécessite de tourner de $90^\circ$ puis avancer de $17$ pas, tourner de $90^\circ$ puis avancer de $27$ pas.
Ligne 5 : « répéter 16 fois »
Ligne 6 : « tourner de 90 degrés »
Ligne 7 : « avancer de 17 pas »
Ligne 8 : « tourner de 90 degrés »
Ligne 9 : « avancer de 27 pas »
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Pour dessiner l’escalier, on répète le dessin d’une marche. Une marche est constituée d’un segment vertical (hauteur $17$ cm) et d’un segment horizontal (profondeur $27$ cm). Il faut s’orienter correctement.
On initialise l’orientation à $90^\circ$ (vers la droite). Ensuite, pour chaque marche :
— on tourne de $90^\circ$ (vers le haut), on avance de $17$ pas (contremarche),
— on tourne de $90^\circ$ (vers la droite), on avance de $27$ pas (marche).
On répète cela $16$ fois. D’où :
ligne 5 : « répéter 16 fois »
ligne 6 : « tourner de 90 degrés »
ligne 7 : « avancer de 17 pas »
ligne 8 : « tourner de 90 degrés »
ligne 9 : « avancer de 27 pas »
Exercice 5 — Programmes de calcul & Fonctions affines
20 pointsProgrammes de calcul · Calcul littéral · Fonctions linéaires/affinesVoici deux programmes de calcul.
Programme A
• Choisir un nombre
• Multiplier ce nombre par −2
• Ajouter 5 à ce résultat.
Programme B
• Choisir un nombre
• Soustraire 5 à ce nombre
• Multiplier le résultat par 3
• Ajouter 11 au résultat.
(voir la figure du sujet pour la question 3 : elle représente deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ dans un repère. $(D_1)$ passe par les points (0, -4) et (1, -1). $(D_2)$ passe par les points (0, 5) et (1, 3). On lit graphiquement une intersection vers $x \approx 1,8$.)
Montrer que, si on choisit $−3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est $11$.
🟢 Je suis prêt
Applique simplement les étapes du programme A dans l'ordre. Attention au signe lors de la multiplication.
🟡 Je me souviens plus trop
Étape 1 : Multiplier le nombre de départ par $-2$. On fait $(-2) \times (-3) = 6$.
Étape 2 : Ajouter $5$ à ce résultat. On calcule $6 + 5 = 11$.
Le résultat est bien $11$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Programme A
• On choisit le nombre $-3$.
• On le multiplie par $-2$ : $(-2) \times (-3)$. Souviens-toi que le produit de deux nombres négatifs est positif. On obtient donc $+6$.
• On ajoute $5$ à ce résultat : $6 + 5 = 11$.
En partant de $-3$, le programme A donne bien $11$. ✓
Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $5,5$ comme nombre de départ ?
🟢 Je suis prêt
Suis les opérations une par une. D'abord la soustraction, ensuite la multiplication, et enfin l'addition.
🟡 Je me souviens plus trop
On choisit $5,5$.
On soustrait $5$ : $5,5 - 5 = 0,5$.
On multiplie par $3$ : $3 \times 0,5 = 1,5$.
On ajoute $11$ : $1,5 + 11 = 12,5$.
Le résultat est $12,5$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Programme B
• Nombre de départ : $5,5$.
• Soustraire $5$ : $5,5 - 5 = 0,5$. On a $5,5$ moins $5$, il reste $0,5$.
• Multiplier le résultat par $3$ : $3 \times 0,5 = 1,5$. Trois fois $0,5$, cela fait $1,5$.
• Ajouter $11$ au résultat : $1,5 + 11 = 12,5$.
Avec $5,5$ au départ, le programme B donne $12,5$. ✓
En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $−2x + 5$ comme résultat avec le programme A. Montrer qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x − 4$.
🟢 Je suis prêt
Applique chaque étape du programme B à la lettre $x$. Développe puis réduis l'expression obtenue.
🟡 Je me souviens plus trop
On part de $x$.
On soustrait $5$ : $x - 5$.
On multiplie par $3$ : $3 \times (x - 5) = 3x - 15$.
On ajoute $11$ : $3x - 15 + 11 = 3x - 4$.
Le résultat est donc $3x - 4$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Traduisons le programme B avec la lettre $x$.
• Nombre de départ : $x$.
• Soustraire $5$ : cela donne $x - 5$. On ne peut pas simplifier plus, c'est une expression littérale.
• Multiplier le résultat par $3$ : on a $3 \times (x - 5)$. La multiplication est distributive : $3 \times x = 3x$ et $3 \times (-5) = -15$. Donc on obtient $3x - 15$.
• Ajouter $11$ : $3x - 15 + 11$. On regroupe les termes constants : $-15 + 11 = -4$. L'expression finale est $3x - 4$.
Le programme B donne bien le résultat $3x - 4$. ✓
On a représenté ci-contre les fonctions $f$ et $g$ définies par $f (x) = −2x + 5$ et $g (x) = 3x − 4$. Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
🟢 Je suis prêt
Regarde le signe du coefficient directeur de chaque fonction. Une fonction affine décroissante a un coefficient directeur négatif, une croissante a un coefficient directeur positif.
🟡 Je me souviens plus trop
La fonction $g(x)=3x-4$ a un coefficient directeur $+3$ positif, donc sa droite est croissante : c'est $(D_1)$. La fonction $f(x)=-2x+5$ a un coefficient $-2$ négatif, donc sa droite est décroissante : c'est $(D_2)$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Méthode : Une fonction affine s'écrit $mx + p$. Le nombre $m$ est le coefficient directeur. Si $m > 0$, la fonction est croissante (la droite monte). Si $m < 0$, la fonction est décroissante (la droite descend).
Pour $g(x) = 3x - 4$, on a $m = +3$, qui est positif. $g$ est donc croissante. Sur le graphique, c'est la droite qui monte, soit $(D_1)$.
Pour $f(x) = -2x + 5$, on a $m = -2$, qui est négatif. $f$ est donc décroissante. Sur le graphique, c'est la droite qui descend, soit $(D_2)$.
$(D_1)$ correspond à $g$ et $(D_2)$ correspond à $f$. ✓
Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$.
🟢 Je suis prêt
Il s'agit de trouver $x$ tel que $f(x) = g(x)$. Sur le graphique, c'est l'abscisse du point où les deux droites se croisent.
🟡 Je me souviens plus trop
On lit l'abscisse du point d'intersection des droites $(D_1)$ et $(D_2)$. Avec la précision du dessin, on trouve environ $1,8$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Méthode : Le nombre cherché est celui qui donne la même image par les deux fonctions. Graphiquement, c'est l'abscisse ($x$) du point où les deux droites se croisent.
On repère le point d'intersection des droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sur la figure.
On lit son abscisse sur l'axe horizontal. Le point se situe entre $1$ et $2$, un peu plus près de $2$. On peut estimer la valeur à environ $1,8$.
Le nombre est approximativement $1,8$. ✓
Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
🟢 Je suis prêt
Pour trouver ce nombre, pose l'équation où les deux expressions sont égales, puis résous-la en isolant $x$.
🟡 Je me souviens plus trop
On résout $-2x + 5 = 3x - 4$.
On ajoute $2x$ de chaque côté : $5 = 5x - 4$.
On ajoute $4$ de chaque côté : $9 = 5x$.
On divise par $5$ : $x = \frac{9}{5} = 1,8$.
Le nombre est $1,8$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Résolution de l'équation : On cherche $x$ tel que le programme A ($-2x+5$) et le programme B ($3x-4$) donnent le même résultat. On pose l'équation :
$-2x + 5 = 3x - 4$
On regroupe les termes en $x$ à gauche. Pour cela, on ajoute $2x$ aux deux membres :
$5 = 3x + 2x - 4$
$5 = 5x - 4$
On regroupe les constantes à droite en ajoutant $4$ des deux côtés :
$5 + 4 = 5x$
$9 = 5x$
On isole $x$ en divisant par $5$ :
$x = \frac{9}{5} = 1,8$
Les deux programmes donnent le même résultat pour $x=1,8$. ✓