Brevet 2025 — Maths, sujet complet corrigé
Exercice 1 — Probabilités : urnes A et B
20 pointsProbabilitésOn dispose d’une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 et d’une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire une boule dans l’urne A. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
🟢 Je suis prêt
Repère d'abord tous les nombres pairs de la liste, puis applique la règle : probabilité = (nombre de cas favorables) ÷ (nombre total de cas).
🟡 Je me souviens plus trop
Dans l’urne A, les nombres sont 7, 10, 12, 15, 24, 30. Les nombres pairs sont 10, 12, 24 et 30. Il y en a donc 4 sur un total de 6 boules.
Probabilité = $\dfrac{4}{6}$, qu'on simplifie en $\dfrac{2}{3}$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour calculer une probabilité, on cherche combien de boules répondent à la condition demandée, et on divise par le nombre total de boules dans l’urne.
Dans l’urne A, les boules sont au nombre de 6 : 7, 10, 12, 15, 24, 30. On regarde quels numéros sont pairs (c’est-à-dire qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8). Les boules 10, 12, 24 et 30 conviennent. Cela fait 4 boules favorables.
La probabilité est donc le nombre de cas favorables (4) divisé par le nombre total de cas (6) : $\dfrac{4}{6}$. On simplifie par 2 pour obtenir $\dfrac{2}{3}$. ✓
On tire une boule dans l’urne B. Justifier que la probabilité d’obtenir un nombre premier est $\dfrac{1}{3}$.
🟢 Je suis prêt
Un nombre premier est un nombre supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Repère ces nombres dans la liste de l’urne B.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans l’urne B, on a les nombres 2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25. Les nombres premiers sont 2, 5 et 17. Cela fait 3 boules sur un total de 9.
Probabilité = $\dfrac{3}{9}$, qu'on simplifie en $\dfrac{1}{3}$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Par exemple, 7 est premier, mais 9 ne l’est pas (car 9 ÷ 3 = 3).
Dans l’urne B, on examine chaque boule parmi les 9 : 2 est premier, 5 est premier, 6 n’est pas premier (divisible par 2 et 3), 8 pas premier, 17 est premier, 18 pas premier, 21 pas premier, 22 pas premier, 25 pas premier.
On a donc 3 boules dont le numéro est un nombre premier (2, 5, 17).
La probabilité s’écrit $\dfrac{\text{nombre de premiers}}{\text{nombre total de boules}} = \dfrac{3}{9}$. On simplifie cette fraction par 3 pour obtenir $\dfrac{1}{3}$. ✓
Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
🟢 Je suis prêt
Un multiple de 6 est un nombre que l’on peut diviser par 6 en obtenant un entier exact. Passe en revue chaque boule des deux urnes et compte.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans l’urne A, 12, 24 et 30 sont multiples de 6, soit 3 boules. Dans l’urne B, 6 et 18 sont multiples de 6, soit 2 boules.
L’urne A contient le plus grand nombre de multiples de 6. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On cherche les multiples de 6, c’est-à-dire des nombres qui donnent un entier quand on les divise par 6. On peut aussi reconnaître qu’ils sont dans la table de 6.
Dans l’urne A (7, 10, 12, 15, 24, 30) : 12 = 6 × 2, 24 = 6 × 4, 30 = 6 × 5. Cela en fait 3.
Dans l’urne B (2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25) : 6 = 6 × 1, 18 = 6 × 3. Cela en fait 2.
3 est plus grand que 2, donc c’est l’urne A qui remporte la comparaison. ✓
On tire une boule au hasard dans l’une des urnes. Démontrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.
🟢 Je suis prêt
Calcule séparément la probabilité dans chaque urne, puis compare les deux résultats. Si les deux fractions simplifiées sont identiques, les probabilités sont égales.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans l’urne A, les nombres ≥ 20 sont 24 et 30 (2 boules sur 6) : probabilité = $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Dans l’urne B, les nombres ≥ 20 sont 21, 22 et 25 (3 boules sur 9) : probabilité = $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Les deux probabilités valent $\dfrac{1}{3}$, elles sont donc égales. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On va démontrer que les deux probabilités sont identiques en les calculant séparément.
Urne A : les boules sont 7, 10, 12, 15, 24, 30. Combien sont supérieures ou égales à 20 ? Seules 24 et 30 le sont, soit 2 boules sur 6. La probabilité est $\dfrac{2}{6}$, qui se simplifie en $\dfrac{1}{3}$.
Urne B : les boules sont 2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25. Celles qui sont ≥ 20 sont 21, 22 et 25, soit 3 boules sur 9. La probabilité est $\dfrac{3}{9}$, qui se simplifie en $\dfrac{1}{3}$.
Les deux probabilités valent $\dfrac{1}{3}$. La probabilité d’obtenir un nombre ≥ 20 est donc la même quelle que soit l’urne. ✓
En repartant avec la composition initiale des urnes A et B, on décide d’ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d’entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l’urne choisie ?
🟢 Je suis prêt
Reprends les deux urnes avec leur nouvelle composition : ajoute une boule 50 dans chaque urne, recalcule chaque probabilité, et compare les fractions.
🟡 Je me souviens plus trop
Urne A (nouvelle) : 7, 10, 12, 15, 24, 30, 50. Nombres ≥ 20 : 24, 30, 50 (3 sur 7). Probabilité : $\dfrac{3}{7}$.
Urne B (nouvelle) : 2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25, 50. Nombres ≥ 20 : 21, 22, 25, 50 (4 sur 10). Probabilité : $\dfrac{4}{10} = 0,4$.
$\dfrac{3}{7} \neq 0,4$, les probabilités ne sont plus égales. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On repart des urnes originales et on ajoute une boule « 50 » dans chaque urne.
Nouvelle urne A : elle contient maintenant 7 boules : 7, 10, 12, 15, 24, 30 et la nouvelle 50. Les boules avec un numéro ≥ 20 sont 24, 30 et 50 : 3 boules favorables. La probabilité est donc $\dfrac{3}{7}$.
Nouvelle urne B : elle contient maintenant 10 boules : 2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25 et 50. Celles ≥ 20 sont 21, 22, 25 et 50 : 4 boules favorables. La probabilité est $\dfrac{4}{10}$, qui vaut $0,4$.
On compare $\dfrac{3}{7}$ (environ 0,428) et $0,4$. Ces deux nombres ne sont pas égaux. Les probabilités ne sont donc plus les mêmes après l’ajout de la boule 50. ✓
Exercice 2 — Aquathlon : distances & statistiques
23 pointsPythagore & réciproque · Thalès · TrigonométrieCet exercice porte sur un aquathlon (course à pied et natation).
Partie A – Course à pied
(voir la figure du sujet) Le parcours ACDEB a pour départ A et arrivée B. A, C, B sont alignés. A, D, E sont alignés. ADC est rectangle en A.
AC = 480 m, CB = 120 m, AE = 250 m, DE = 50 m.
Partie B – Natation
Distance : 200 m. Temps de 9 élèves : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.
Justifier que AD = 200 m.
🟢 Je suis prêt
Observe l'alignement des points A, D et E sur la figure. Tu connais deux longueurs, à toi de voir si c'est une addition ou une soustraction.
🟡 Je me souviens plus trop
Les points A, D et E sont alignés dans cet ordre, donc la longueur AE est la somme des longueurs AD et DE. On connaît AE = 250 m et DE = 50 m.
Calcule AD = AE − DE = 250 − 50.
Réponse : AD = 200 m. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
D'après le codage, les points A, D et E sont alignés sur la même droite, avec D situé entre A et E. Ainsi, la longueur totale AE est égale à AD + DE.
On a AE = 250 m et DE = 50 m. Donc AD + 50 = 250. Pour trouver AD, on soustrait 50 à 250.
AD = 250 − 50 = 200 m.
Réponse : AD mesure bien 200 m. ✓
Calculer la longueur CD.
🟢 Je suis prêt
Tu es dans le triangle ADC rectangle en A. Tu connais AD et AC. Quel célèbre théorème relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?
🟡 Je me souviens plus trop
Dans le triangle ADC rectangle en A, applique le théorème de Pythagore : CD² = AD² + AC².
AD² = 200² = 40 000 et AC² = 480² = 230 400. Leur somme fait 270 400. Trouve le nombre positif qui, au carré, donne 270 400 (c'est 520).
Réponse : CD = 520 m. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Le triangle ADC est rectangle en A. Son hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc CD. Le théorème de Pythagore nous dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
CD² = AD² + AC².
On remplace : AD = 200 m, donc AD² = 40 000. AC = 480 m, donc AC² = 230 400. CD² = 40 000 + 230 400 = 270 400.
Pour obtenir CD, on cherche le nombre positif dont le carré est 270 400. 520 × 520 = 270 400, donc CD = √270 400 = 520.
Réponse : CD mesure 520 m. ✓
Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?
🟢 Je suis prêt
On veut savoir si deux droites sont parallèles dans une configuration avec des points alignés. Pense à la réciproque du théorème de Thalès : il faut comparer deux rapports de longueurs.
🟡 Je me souviens plus trop
On a A, C, B alignés et A, D, E alignés dans le même ordre. Comparons AC/AB et AD/AE.
AC/AB = 480/(480+120) = 480/600 = 4/5. AD/AE = 200/250 = 4/5. Les rapports sont égaux.
Réponse : D'après la réciproque de Thalès, (CD) et (BE) sont parallèles. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour vérifier le parallélisme, on utilise la réciproque du théorème de Thalès. On se place dans les triangles ACD et ABE : les points A, C, B sont alignés dans cet ordre, et A, D, E le sont aussi.
On calcule deux rapports :
– Côté (AC) et (AB) : AC = 480, AB = AC + CB = 480 + 120 = 600. AC/AB = 480/600 = 4/5.
– Côté (AD) et (AE) : AD = 200, AE = 250. AD/AE = 200/250 = 4/5.
Les deux rapports sont égaux. De plus, les points sont alignés dans le bon ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont donc parallèles.
Réponse : Oui, (CD) // (BE). ✓
La mesure de l'angle $\widehat{ACD}$ est-elle supérieure à 20° ?
🟢 Je suis prêt
Dans le triangle rectangle ADC, tu connais le côté opposé et le côté adjacent à l'angle cherché. Utilise la tangente.
🟡 Je me souviens plus trop
Dans ADC rectangle en A, $\tan(\widehat{ACD}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AD}{AC}$.
$\tan(\widehat{ACD}) = \frac{200}{480} = \frac{5}{12}$. Avec la calculatrice, $\arctan(5/12) \approx 22{,}6°$.
Réponse : Oui, $\widehat{ACD} \approx 22{,}6°$, c'est supérieur à 20°. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On se place dans le triangle ADC rectangle en A. On cherche l'angle $\widehat{ACD}$ situé au sommet C. Par rapport à cet angle :
– Le côté opposé est AD, qui mesure 200 m.
– Le côté adjacent est AC, qui mesure 480 m.
La formule de trigonométrie qui relie côté opposé et côté adjacent est la tangente : $\tan(\widehat{ACD}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AD}{AC}$.
$\tan(\widehat{ACD}) = \frac{200}{480} = \frac{5}{12}$. Pour trouver la valeur de l'angle, on utilise la touche arctan ou tan⁻¹ de la calculatrice : $\widehat{ACD} = \arctan(5/12) \approx 22{,}6°$.
22,6° est bien supérieur à 20°.
Réponse : Oui, l'angle mesure environ 22,6° ( > 20°). ✓
Le parcours est-il validé ?
🟢 Je suis prêt
Tu as toutes les réponses dans les questions précédentes. Relève les deux conditions et vérifie si elles sont remplies.
🟡 Je me souviens plus trop
Deux conditions : 1) (CD) // (BE) → Oui d'après 3a. 2) $\widehat{ACD} > 20°$ → Oui d'après 3b (≈ 22,6°).
Réponse : Les deux conditions sont remplies, le parcours est validé. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Pour que le parcours soit validé, il faut respecter deux conditions en même temps :
1) Les droites (CD) et (BE) doivent être parallèles. Dans la question 3a, on a prouvé grâce à la réciproque de Thalès que c'est bien le cas.
2) L'angle $\widehat{ACD}$ doit être strictement supérieur à 20°. Dans la question 3b, on a calculé qu'il mesure environ 22,6°, ce qui est bien supérieur à 20°.
Les deux conditions étant vérifiées, le parcours est validé.
Réponse : Oui, le parcours est validé. ✓
Quel est le temps médian de cette série ?
🟢 Je suis prêt
Range les 9 temps du plus petit au plus grand. La médiane est la valeur qui partage la série en deux moitiés égales. Pour 9 valeurs, c'est la 5ᵉ.
🟡 Je me souviens plus trop
Série ordonnée : 5 min 30, 5 min 45, 5 min 49, 5 min 50, 6 min, 6 min 11, 6 min 12, 6 min 20, 6 min 40.
Il y a 9 temps. La médiane est le 5ᵉ temps, soit 6 min. Il y a 4 temps avant et 4 temps après.
Réponse : La médiane est 6 minutes. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
La médiane est le nombre qui partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif.
On commence par classer les 9 temps du plus court au plus long :
5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.
L'effectif total est 9 (impair). La position de la médiane est donnée par (9+1)/2 = 5ᵉ valeur.
La 5ᵉ valeur dans la liste ordonnée est 6 min. Cela signifie qu'il y a 4 nageurs strictement plus rapides (moins de 6 min) et 4 nageurs strictement plus lents (plus de 6 min).
Réponse : Le temps médian est 6 minutes. ✓
Un poisson rouge nage à la vitesse de 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l'élève le plus rapide ?
🟢 Je suis prêt
Exprime la vitesse de l'élève le plus rapide en km/h. Pour cela, convertis son temps en heures, et utilise la distance en km.
🟡 Je me souviens plus trop
L'élève le plus rapide a nagé 200 m en 5 min 30 s = 330 s.
Sa vitesse en m/s : 200 ÷ 330 ≈ 0,606 m/s. En km/h : 0,606 × 3,6 ≈ 2,18 km/h.
Réponse : Le poisson rouge (5 km/h) nage bien plus vite que l'élève (≈ 2,2 km/h). ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On veut comparer la vitesse du poisson (5 km/h) avec celle de l'élève le plus rapide. D'après le tableau, le temps le plus court est 5 min 30 s.
1) Convertir ce temps en secondes : 5 min = 5 × 60 = 300 s, donc 5 min 30 s = 330 s.
2) Distance parcourue : 200 m.
3) Vitesse en m/s : v = distance / temps = 200 / 330 ≈ 0,606 m/s.
4) Convertir en km/h : on multiplie par 3,6 (car 1 m/s = 3,6 km/h). 0,606 × 3,6 ≈ 2,18 km/h.
La vitesse de l'élève est environ 2,2 km/h, celle du poisson est 5 km/h. 5 > 2,2.
Réponse : Oui, le poisson rouge nage beaucoup plus vite que l'élève le plus rapide. ✓
Exercice 3 — QCM de maths générales
18 pointsProportionnalité & % · Transformations du plan · Programmes de calcul · Thalès · Calcul littéral · Aires & volumesCet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses (A, B, C ou D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopie sur ta copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.
Le prix de 3 melons est $8,40$ €. Combien coûtent 5 melons ?
Réponse A : $16,40$ € | Réponse B : $42$ € | Réponse C : $14$ € | Réponse D : $10,40$ €
🟢 Je suis prêt
Souviens-toi de la règle de trois : si tu connais le prix pour 3 melons, commence par chercher le prix d'un seul melon.
🟡 Je me souviens plus trop
Pour trouver le prix d'un melon, divise $8,40$ par $3$. Ensuite, multiplie ce résultat par $5$ pour avoir le prix de 5 melons.
$8,40 \div 3 = 2,80$ € le melon
$2,80 \times 5 = 14$ €
La bonne réponse est la Réponse C. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Dans une situation de proportionnalité, on peut utiliser le passage à l'unité (prix d'un melon) pour trouver le prix de plusieurs.
Étape 1 : Calculer le prix d'un melon en divisant le prix des 3 melons par 3.
$8,40 \div 3 = 2,80$ €
Étape 2 : Multiplier le prix d'un melon par le nombre de melons souhaité (5).
$2,80 \times 5 = 14$ €
5 melons coûtent donc $14$ €. La bonne réponse est la Réponse C. ✓
Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ?
Réponse A : Une symétrie centrale | Réponse B : Une rotation | Réponse C : Une translation | Réponse D : Une symétrie axiale
🟢 Je suis prêt
Observe bien si la figure a subi un effet de pliage (miroir) ou de glissement. Une symétrie axiale correspond à un effet miroir par rapport à une droite.
🟡 Je me souviens plus trop
En regardant les deux figures, on remarque qu'elles se font face comme dans un miroir, sans sortir de la feuille. Cela correspond à un pliage le long d'une droite située entre elles.
Il s'agit d'une symétrie par rapport à une droite (ou symétrie axiale).
La bonne réponse est la Réponse D. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : Une symétrie axiale transforme une figure en son image par effet miroir le long d'une droite appelée axe de symétrie. Contrairement à la symétrie centrale, elle ne fait pas tourner la figure. Ici, les figures se regardent comme dans un miroir, donc il s'agit d'une symétrie axiale.
La bonne réponse est la Réponse D. ✓
Un article coûte $350$ €. Son prix augmente de $20\%$. Quel est son nouveau prix ?
Réponse A : $420$ € | Réponse B : $330$ € | Réponse C : $370$ € | Réponse D : $280$ €
🟢 Je suis prêt
Pour augmenter un prix de 20 %, tu peux multiplier le prix initial par $1,20$. Attention, n'additionne pas simplement 20 € !
🟡 Je me souviens plus trop
Augmenter de $20\%$ signifie multiplier par $1 + \frac{20}{100} = 1,20$.
Nouveau prix = $350 \times 1,20 = 420$ €.
La bonne réponse est la Réponse A. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Méthode : Pour augmenter un nombre de $p\%$, on le multiplie par $1 + \frac{p}{100}$.
Étape 1 : Calculer le coefficient multiplicateur : $1 + \frac{20}{100} = 1 + 0,20 = 1,20$.
Étape 2 : Multiplier l'ancien prix par ce coefficient : $350 \times 1,20 = 420$ €.
Le nouveau prix est donc $420$ €. La bonne réponse est la Réponse A. ✓
Quelle est l'aire du triangle rectangle ABC ? On donne : $AB = 6$ cm, $BC = 4,5$ cm, $AC = 7,5$ cm (voir la figure du sujet).
Réponse A : $27$ cm² | Réponse B : $13,5$ cm² | Réponse C : $18$ cm² | Réponse D : $9$ cm²
🟢 Je suis prêt
Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont une base et sa hauteur correspondante. L'hypoténuse ne sert pas ici.
🟡 Je me souviens plus trop
L'hypoténuse est $AC$ (le plus long côté, $7,5$ cm). Les côtés de l'angle droit sont $AB = 6$ cm et $BC = 4,5$ cm.
Aire = $\frac{base \times hauteur}{2} = \frac{6 \times 4,5}{2}$
$6 \times 4,5 = 27$, puis $27 \div 2 = 13,5$ cm².
La bonne réponse est la Réponse B. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : L'aire d'un triangle rectangle se calcule en multipliant les longueurs des deux côtés de l'angle droit et en divisant par 2.
Étape 1 : Identifier l'hypoténuse (le côté le plus long). Ici $AC = 7,5$ cm. Les côtés de l'angle droit sont donc $AB$ et $BC$.
Étape 2 : Calculer l'aire : $\frac{6 \times 4,5}{2}$.
$6 \times 4,5 = 27$, puis $27 \div 2 = 13,5$ cm².
L'aire du triangle rectangle ABC est $13,5$ cm². La bonne réponse est la Réponse B. ✓
Quelle est la forme développée et réduite de l'expression $(2x + 3)(x - 4)$ ?
Réponse A : $2x^2 - 5x - 12$ | Réponse B : $2x^2 - 11x - 12$ | Réponse C : $2x^2 - 12$ | Réponse D : $3x - 1$
🟢 Je suis prêt
Utilise la double distributivité : $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$. Attention aux signes en multipliant.
🟡 Je me souviens plus trop
Développe pas à pas :
$2x \times x = 2x^2$
$2x \times (-4) = -8x$
$3 \times x = 3x$
$3 \times (-4) = -12$
On regroupe les termes en $x$ : $-8x + 3x = -5x$. Résultat final : $2x^2 - 5x - 12$.
La bonne réponse est la Réponse A. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel de la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Étape 1 : Identifier les termes : $a=2x$, $b=3$, $c=x$, $d=-4$.
Étape 2 : Calculer chaque produit :
- $2x \times x = 2x^2$
- $2x \times (-4) = -8x$
- $3 \times x = 3x$
- $3 \times (-4) = -12$
Étape 3 : Réduire les termes en $x$ : $-8x + 3x = -5x$.
La forme développée réduite est $2x^2 - 5x - 12$.
La bonne réponse est la Réponse A. ✓
Quel est le volume de cette pyramide à base rectangulaire ? (voir la figure du sujet). On donne : longueur $7$ cm, largeur $4$ cm, hauteur $12$ cm.
Réponse A : $23$ cm³ | Réponse B : $112$ cm³ | Réponse C : $336$ cm³ | Réponse D : $168$ cm³
🟢 Je suis prêt
Le volume d'une pyramide se calcule avec la formule : $V = \frac{aire\_de\_la\_base \times hauteur}{3}$. Fais bien attention à diviser par 3.
🟡 Je me souviens plus trop
L'aire de la base rectangulaire est longueur $\times$ largeur.
$B = 7 \times 4 = 28$ cm².
On applique la formule : $V = \frac{28 \times 12}{3}$.
$V = \frac{336}{3} = 112$ cm³.
La bonne réponse est la Réponse B. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.
Étape 1 : Calculer l'aire de la base rectangulaire : $B = longueur \times largeur = 7 \times 4 = 28$ cm².
Étape 2 : Multiplier l'aire de la base par la hauteur et diviser par 3 : $V = \frac{28 \times 12}{3}$.
Étape 3 : Simplifier le calcul : $ \frac{336}{3} = 112$ cm³.
Le volume de la pyramide est $112$ cm³. La bonne réponse est la Réponse B. ✓
Exercice 4 — Programmes de calcul et Scratch
20 pointsProgrammes de calcul · Scratch / algorithmique · Calcul littéral · ÉquationsAu club « Mathsetmagie », on s’amuse à créer des programmes de calcul plus ou moins magiques.
Partie A : Le programme de Zoé
Voici le programme de calcul de Zoé :
- Choisir un nombre
- Soustraire 4
- Multiplier par 2
- Ajouter 8.
1. Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20 avec ce programme.
2. Quel résultat obtient-on avec ce programme si on choisit −7 comme nombre de départ ?
3. Zoé prétend que son programme est « magique » car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?
Partie B : Le programme de Fred
Fred décide de faire son programme de calcul sur Scratch :
quand ⚑ est cliqué demander Choisir un nombre et attendre mettre résultat à réponse * 4 mettre résultat à résultat + 10 mettre résultat à résultat * 5 dire résultat
4. Démontrer que si le nombre de départ est $x$, le résultat obtenu avec le programme de Fred est $20x + 50$.
5. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred ?
6. Constatant que son programme n’a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie la sixième ligne du programme pour que ce soit le cas.
quand ⚑ est cliqué demander Choisir un nombre et attendre mettre résultat à réponse * 4 mettre résultat à résultat + 10 mettre résultat à résultat * 5 mettre résultat à ... dire résultat
🟢 Je suis prêt
Applique chaque étape du programme au nombre 10 : soustrais 4, multiplie par 2, ajoute 8.
🟡 Je me souviens plus trop
On part de 10.
On soustrait 4 : 10 - 4 = 6.
On multiplie par 2 : 6 × 2 = 12.
On ajoute 8 : 12 + 8 = 20.
On obtient bien 20. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Rappel : pour appliquer un programme de calcul, on effectue les opérations dans l'ordre.
On choisit 10.
Soustraire 4 : 10 - 4 = 6.
Multiplier par 2 : 6 × 2 = 12.
Ajouter 8 : 12 + 8 = 20.
Le résultat est 20, ce qui vérifie l'affirmation. ✓
🟢 Je suis prêt
Même méthode : pars de -7, soustrais 4, multiplie par 2, ajoute 8. Attention aux signes !
🟡 Je me souviens plus trop
-7 - 4 = -11
-11 × 2 = -22
-22 + 8 = -14
Le résultat est -14. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On applique le programme à -7.
Soustraction : -7 - 4 = -11.
Multiplication : -11 × 2 = -22.
Addition : -22 + 8 = -14.
Le résultat est -14. ✓
🟢 Je suis prêt
Pour le prouver, appelle $a$ le nombre de départ et exprime le résultat en fonction de $a$.
🟡 Je me souviens plus trop
En partant de $a$ : on obtient $a-4$.
Puis $2(a-4)=2a-8$.
Enfin $2a-8+8=2a$.
Le résultat est bien $2a$, le double de $a$. Zoé a raison. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On utilise le calcul littéral. Soit $a$ le nombre choisi.
Après soustraction : $a-4$.
Après multiplication par 2 : $2(a-4)=2a-8$.
Après ajout de 8 : $2a-8+8=2a$.
Le résultat est $2a$, c'est-à-dire le double du nombre de départ. Donc Zoé a raison : le programme est magique. ✓
🟢 Je suis prêt
Traduis chaque bloc Scratch en expression mathématique : multiplier par 4, ajouter 10, multiplier par 5.
🟡 Je me souviens plus trop
$x \rightarrow 4x$
$4x \rightarrow 4x+10$
$4x+10 \rightarrow 5(4x+10) = 20x+50$
Le résultat est $20x+50$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On part de $x$.
Le bloc 'mettre résultat à réponse * 4' donne $4x$.
Ensuite '+10' donne $4x+10$.
Enfin '×5' donne $5(4x+10)$.
On développe : $5 \times 4x + 5 \times 10 = 20x + 50$.
Le résultat est bien $20x+50$. ✓
🟢 Je suis prêt
Résous l'équation $20x + 50 = 75$.
🟡 Je me souviens plus trop
$20x+50=75$
$20x=75-50=25$
$x=25/20=5/4=1,25$
Il faut choisir 1,25. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
On cherche $x$ tel que $20x+50=75$.
On soustrait 50 des deux côtés : $20x = 25$.
On divise par 20 : $x = 25/20 = 5/4 = 1,25$.
Vérification : $20 \times 1,25 + 50 = 25+50=75$.
Le nombre à choisir est 1,25. ✓
🟢 Je suis prêt
Compare ce que donne le programme, $20x+50$, à ce que tu veux obtenir, $20x$ : quel est l'écart entre les deux ?
🟡 Je me souviens plus trop
On veut $20x$ au lieu de $20x+50$, donc il faut enlever 50.
La sixième ligne est : mettre résultat à résultat - 50. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
Actuellement, le programme donne $20x+50$. On veut qu'il donne $20x$, soit 20 fois le nombre de départ.
Il faut donc soustraire 50 au résultat obtenu après la multiplication par 5.
La ligne à ajouter est : 'mettre résultat à résultat - 50'.
Ainsi, le programme complet donnera $20x+50-50=20x$. ✓
Exercice 5 — Option Achat vs Option Location
19 pointsFonctions linéaires/affines · Programmes de calcul · Lecture graphiqueUn garage propose 2 options au client :
- Option Achat : prix d’achat de la voiture 22 400 €. Assurance obligatoire 75 € par mois.
- Option Location : 425 € par mois, assurance comprise.
L’objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.
(voir la figure du sujet pour le graphique de la Partie B - les courbes sont des droites, Cg part de l'origine, Cf part de 22 400 €)
Montrer qu’avec l’option Achat la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.
🟢 Je suis prêt
🟢 Pense à bien additionner le prix d'achat de la voiture et le coût total de l'assurance sur 12 mois.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Le prix d'achat est de 22 400 €. L'assurance coûte 75 € par mois. Pour 12 mois, calcule d'abord $12 \times 75$, puis ajoute ce résultat à 22 400 €.
$12 \times 75 = 900$ €. $22 400 + 900 = 23 300$ €. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Pour l'option Achat, il faut payer la voiture une fois (22 400 €) puis l'assurance chaque mois (75 €). Sur une année, c'est-à-dire 12 mois, l'assurance coûte $12 \times 75$ €.
On calcule le coût de l'assurance : $12 \times 75 = 900$ €. Ensuite, on ajoute le prix d'achat : $22 400 + 900 = 23 300$ €. ✓
Après 36 mois, calculer l’économie réalisée par le client s’il choisit l’option Location.
🟢 Je suis prêt
🟢 Calcule séparément la dépense totale pour chaque option sur 36 mois, puis fais la différence pour trouver l'économie.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Option Achat : $22 400 + 36 \times 75$. Option Location : $36 \times 425$. Calcule ces deux montants, puis soustrais le plus petit du plus grand.
Achat : $22 400 + 2 700 = 25 100$ €. Location : $15 300$ €. Économie : $25 100 - 15 300 = 9 800$ €. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Pour savoir combien on économise, on doit d'abord calculer combien coûte chaque option après 36 mois.
Option Achat : prix d'achat $22 400$ € + assurance sur 36 mois ($36 \times 75$). $22 400 + 2 700 = 25 100$ €.
Option Location : $36 \times 425 = 15 300$ €.
L'économie avec la location est la différence : $25 100 - 15 300 = 9 800$ €. ✓
Quelle formule doit être saisie dans la cellule B3 qui, étendue jusqu’à la cellule F3, permet de compléter le tableau ?
🟢 Je suis prêt
🟢 La formule doit multiplier le nombre de mois (ligne 1) par le coût mensuel de la location (425 €).
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Dans un tableur, on utilise le signe = pour commencer une formule. Le nombre de mois est en ligne 1, donc pour la colonne B c'est la cellule B1. La formule est donc =425 * B1.
La formule exacte est =425*B1. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Dans la cellule B3, on veut la dépense pour l'option Location. La location coûte 425 € par mois. Le nombre de mois est écrit dans la cellule au-dessus, en B1 (qui contient 12).
Pour faire le calcul automatiquement, on écrit une formule qui commence par =. On multiplie le coût fixe (425) par la cellule qui contient le nombre de mois (B1). On obtient =425*B1. Quand on étirera vers la droite, B1 deviendra C1, D1, etc., et le calcul s'adaptera. ✓
Déterminer l’expression de $f(x)$ permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Achat.
🟢 Je suis prêt
🟢 C'est une fonction affine : il y a un coût fixe au début (la voiture) et un coût qui dépend de $x$, le nombre de mois (l'assurance).
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Le coût fixe est 22 400 €. Chaque mois coûte 75 €, donc pour $x$ mois, l'assurance coûte $75x$. La dépense totale est $f(x) = 22 400 + 75x$.
Donc $f(x) = 22 400 + 75x$. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 $x$ représente le nombre de mois. Pour l'option Achat, on paie la voiture une seule fois au début : 22 400 €, c'est le coût fixe. Ensuite, chaque mois, on paie 75 € d'assurance. Pour $x$ mois, cela fait $75 \times x$, soit $75x$. C'est la partie variable qui dépend de $x$.
La dépense totale est la somme des deux : le coût fixe + le coût variable. Donc $f(x) = 22 400 + 75x$. ✓
Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois, l’option Achat est la plus avantageuse.
🟢 Je suis prêt
🟢 L'option Achat est plus avantageuse quand sa courbe est en dessous de celle de la Location. Cherche le point d'intersection des deux droites sur le graphique.
🟡 Je me souviens plus trop
🟡 Les deux droites se croisent au point d'abscisse 64. Avant 64 mois, la droite de l'option Location est en dessous. Après 64 mois, la droite de l'option Achat est en dessous, donc l'achat devient moins cher. On répond : à partir de 65 mois.
À partir de 65 mois, l'option Achat est la plus avantageuse. ✓
🔴 Jamais vu ça (ou presque)
🔴 Sur le graphique, la courbe la plus basse correspond à la dépense la moins élevée, donc la plus avantageuse. On lit d'abord l'abscisse (le nombre de mois) du point où les deux droites se croisent : c'est 64 mois. À ce moment-là, les deux options coûtent pareil.
Avant 64 mois, la courbe de la Location est en dessous : la location est plus avantageuse. Après 64 mois, c'est la courbe de l'Achat qui passe en dessous : l'option Achat devient alors moins chère. Donc à partir de 65 mois, il vaut mieux choisir l'option Achat. ✓